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扩展的辅助函数法求一类非线性分数阶偏微分方程的精确解

2021-12-17张静

关键词:将式行波导数

张静

(南京财经大学 应用数学学院,江苏 南京 210023)

0 引言

非线性偏微分方程广泛应用于数学和物理学的各个分支,尤其是流体学、非线性光学.目前,已有很多方法用于获得非线性偏微分方程的精确解[1-11].为找到一种求解方法简单直接,并能获得更丰富的精确解.杨健等[12]利用辅助函数法,借助数学软件Maple获得Benjamin-Bona-Mahonye(简称BBM)方程和Burgers方程的新精确解.此外,王书敏等人[13]利用修正的辅助函数法对非线性BBM方程进行求解,获得形式更为丰富的行波解.受此启发,考虑对辅助函数法进行推广,借助分数阶复变换和整合的分数阶导数的性质,研究时间分数阶modified Benjamin-Bona-Mahony(简称mBBM)方程和(3+1)维非线性分数阶Jimbo-Miwa方程的精确行波解.

1 预备知识

首先给出几个概念,为后续研究做准备.整合的分数阶导数定义及基本性质如下.

设f:(0,∞)→R,f的α阶导数定义为:,t>0,0<α≤1.

基本性质[14]设α∈(0,1],f=f(t),g=g(t),在t>0时可微并有

性质1,a,b∈R,

性质2,μ∈R,

性质3,

性质4.

2 扩展的辅助函数法

对于分数阶非线性偏微分方程

其中u=u(x,t),是u关于x和t的整合分数阶导数,P是u和u的关于x和t的各阶偏导数的多项式.

扩展的辅助函数法分为3步.

步骤1对方程(1)作分数阶复变换,

其中k、l是任意非零常数.将方程(1)转化为常微分方程,

步骤2假设方程(3)的精确解具有如下形式,

其中ai为待定系数,而幂级数的最高次幂n通过平衡常微分方程的非线性项和最高阶导数项来确定.

F(ξ)满足一般的Riccati方程

对应的辅助方程的解有,

①当A=B=0时,

②当A=0,B≠0时,

③当C≠0,Δ=B2-4AC>0时,

④当C≠0,Δ=B2-4AC<0时,

⑤当C≠0,Δ=B2-4AC=0时,

其中C1,C2为积分常数.

步骤3通过常微分方程获得非线性代数方程组.把假设的具有式(4)形式的解和一般Riccati方程(5)代入方程(3)中,合并F(ξ)的同次幂项,并令其各项系数和为零,由此得到形式解(4)中各项的含系数ai,c,l的非线性代数方程组,利用吴消元法求解这组代数方程组,并将ai代入解(4),c,l代入式(6)~(12)中,结合式(2),即得分数阶偏微分方程的精确行波解.

3 方法应用

3.1 时空分数阶mBBM方程

考虑如下时空分数阶mBBM方程

对方程(13)做分数阶复变换,

其中k、l是任意非零常数.将式(14)代入式(13)并化简可得,

由式(15)中的φ2φ'(ξ)和φ‴(ξ),得到n=1.可设方程解的形式如下,

将式(16)和方程(5)代入式(15),然后合并F(ξ)的同次幂项系数,得到非线性代数方程组并求解得,

其中k为任意常数.将所求得的式(17)代入式(16)得到时空分数阶mBBM方程的形式解为,

再将式(6)~(12)的结果分别代入式(18)可获得如下5组解:

①当A=B=0时,

②当A=0,B≠0时,

③当C≠0,Δ=B2-4AC>0时,

④当C≠0,Δ=B2-4AC<0时,

⑤当C≠0,B2-4AC=0时,

图1 取正向u7(x,t)的三维图

图2 取负向u7(x,t)的三维图

3.2 (3+1)维非线性分数阶Jimbo-Miwa方程

考虑如下分数阶Jimbo-Miwa方程

对方程(19)做分数阶复变换,

其中ω是任意非零常数.将式(20)代入式(19),令φ'=v并化简可得,

由式(21)中的vv'(ξ)和v‴(ξ),得到n=2.可设方程解的形式如下,

将式(22)和方程(5)代入式(21),然后合并F(ξ)的同次幂项系数,得到非线性代数方程组并求解得,

情形1

将所求得的式(23)代入式(22)得到分数阶Jimbo-Miwa方程的形式解为,

再将式(6)~(12)的结果分别代入式(24)可获得5组解:

①当A=B=0时,

②当A=0,B≠0时,

③当C≠0,Δ=B2-4AC>0时,

④当C≠0,Δ=B2-4AC<0时,

⑤当C≠0,B2-4AC=0时,

情形2

将所求得的式(25)代入式(22)得到分数阶Jimbo-Miwa方程的形式解为

再将式(6)~(12)的结果分别代入式(26)同样可获得如下5组解:

①当A=B=0时,

②当A=0,B≠0时,

③当C≠0,Δ=B2-4AC>0时,

④当C≠0,Δ=B2-4AC<0时,

取A=B=C=2,η=β=γ=1,y=0,z=2,的图像如图3、图4所示.

图3 u12(x,y,z,t)的三维图

图4 u13(x,y,z,t)的三维图

⑤当C≠0,B2-4AC=0时,

4 结语

综上,本文推广辅助函数法,将F(ξ)满足的方程F'(ξ)=F(ξ)2+λF(ξ)+μ推广到满足一般的Riccati方程F(ξ)'=A+BF(ξ)+CF(ξ)2上,利用该方法得到时间分数阶mBBM方程以及(3+1)维非线性分数阶Jimbo-Miwa方程的新精确解.并运用mathematica绘出部分精确解取不同值的三维波形图.同样的该方法也可以运用到求其他时间分数阶、空间分数阶微分方程(组)的精确行波解中.

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