黄瑞

（阜阳师范大学 数学与统计学院，安徽 阜阳 236037）

0 引言

点集拓扑是一门研究空间结构和映射性质的几何学分支，已成为现代数学的一门基础学科，且已渗透到信息技术、经济管理、物理、化学等领域.2016年诺贝尔物理学奖的3位获得者戴维·索利斯、邓肯·霍尔丹和迈克尔·科斯特利茨在他们的物理学研究领域中引入“拓扑”这一重要工具，从而开启研究奇异物质的大门，他们也因此获得物理学界的最高殊荣.点集拓扑这门课程是由一些抽象的概念及由概念出发而得到的定理和性质组成，教学中的实例非常少，平庸空间、离散空间、有限补空间、可数补空间这4类拓扑空间是学习点集拓扑中经常接触到的，对其拓扑性质的研究始终伴随着点集拓扑的学习.近年来，对“复杂”拓扑空间性质的研究有很多［1-6］，实数集是最常见的集合，其上定义不同的拓扑就得到实数集上具有不同拓扑性质的拓扑空间.文献［7-10］研究实数集上的上限拓扑空间、下限拓扑空间和右手拓扑空间的性质.文献［11］研究实数集上的去倒数拓扑空间.文献［12-13］研究有限补空间和可数补空间的部分拓扑性质，但目前并未对有限补空间ℝ的道路连通性、局部道路连通性、有关可数性的公理、序列紧致性等拓扑性质进行研究.本文将系统地研究有限补空间ℝ的诸多拓扑性质，比如连通性、有关可数性的公理、分离性公理、诸多紧致性质，并给出什么样的子集是有限补空间中的连通子集、道路连通子集、局部道路连通子集和紧致子集.文中的概念和符号均可见文献［14］，文中不再一一说明.

1 预备知识

定义1［14］ℝ是实数集，ℝ上的拓扑Γ={U⊂ℝ|U'是ℝ中的有限集}∪{∅}，则称Γ为ℝ上的有限补拓扑，(ℝ,Γ)为有限补空间ℝ.

由定义1知，有限补空间ℝ中的开集是∅、ℝ、U'；闭集是∅、ℝ、U.其中U是ℝ中的有限集.易见有限补空间ℝ中既开又闭的子集只有∅和ℝ，从而得到有限补空间ℝ是连通空间.同理可得无限集上定义的有限补空间都是连通空间.

定义2［14］设X为一个拓扑空间，若∀x∈X和x的任一邻域U，存在x的一个道路连通邻域V，使得V⊂U，则称拓扑空间X是局部道路连通空间.若X的子集Y作成的子空间是局部道路连通空间，则称Y是X的局部道路连通子集.

引理1设A是有限补空间ℝ中的子集，则

（1）若A是无限集，则

（2）若A是有限集，则.

证明（1）假设,则存在x0的邻域，由邻域的定义知，存在ℝ中的开集,从而,则.易见开集V0既不是空集也不是全集，即左边是无限集，右边是有限集，矛盾.故.

又有限集A是闭集，故=A,同样利用和有限补空间ℝ中的无限子集的闭包等于ℝ即可得出其他结论.

引理2设U,V是有限补空间ℝ中的2个非空开集，则.

证明若U,V中有一个是ℝ，结论显然成立.

假设U,V均不是ℝ，则U=ℝ-U0,V=ℝ-V0,其中U0,V0都是ℝ中的非空有限集，U∩V=ℝ-(U0∪V0)为ℝ中的无限集，结论成立.

引理3设(Y,Γ|Y)是有限补空间(ℝ,Γ)的子空间，则

（1）Y是ℝ中的有限子集时，子空间(Y,Γ|Y)是离散空间；

（2）Y是ℝ中的无限子集时，子空间(Y,Γ|Y)是有限补空间.

证明（1）Y是ℝ中的有限子集时，(Y,Γ|Y)是(ℝ,Γ)的闭子空间.，有限集A是(ℝ,Γ)中的闭集，从而A也是闭子空间(Y,Γ|Y)中的闭集，由离散空间的定义知结论得证.

（2）当Y是ℝ的无限子集时，子空间(Y,Γ|Y)中的开集为、Y、(ℝ-U)∩Y=Y-(U∩Y),其中U是ℝ中的有限集，从而U∩Y为Y中的有限集，由有限补拓扑的定义知结论成立.

引理4设x,y是有限补空间X中的任意2个不同的点，其中X是不可数集，则在有限补空间X中存在从x到y的道路.

证明由[0,1]与X的基数相等知，存在映射f:[0,1]→X,满足f既单又满，且不防令f(0)=x,f(1)=y，下说明f连续.

有限补空间X中的闭集是∅、X、有限集.显然X中的闭集∅、X在f下的原像是[0,1]中的闭集，有限集在f下的原像是[0,1]中的有限集，而有限集是[0,1]中的闭集，故f连续，于是得到f是有限补空间X中从x到y的道路.

引理5已知有限补空间X，且X是无限可数集，不妨记X={x1,x2,…}，则对于有限补空间X中的任意2个不同的点xi,xj(i≠j),在有限补空间X中不存在从xi到xj的道路.

证明不防取xi=x1，xj=x2.假设有限补空间X中存在从x1到x2的道路f，即存在连续映射f：[0,1]→X，满足f（0）=x1，f（1）=x2.

又{x1}，{x2},…是有限补空间X中两两无交的闭集，则f-1({x1}),f-1({x2}),…是实数空间ℝ的闭子空间[0,1]中两两无交的闭集，且f-1({x1})包含0，f-1({x2})包含1，f-1({x3}),f-1({x4}),…既不包含0又不包含1.

取A={x3,x4,…},则A是有限补空间X中的开集，f-1(A)=f-1({x3})∪f-1({x4})∪….

由f连续知，f-1(A)是[0,1]中的开集.再由f-1({x3}),f-1({x4}),…是[0,1]中不包含0,1的两两无交的闭集知，[0,1]中的开集f-1(A)只能是∅.

于是f-1({x1}),f-1({x2})是[0,1]中的非空无交的闭集，且f-1({x1})∪f-1({x2})=[0,1]，这与[0,1]是连通空间矛盾，因此有限补空间X中不存在从x1到x2的道路.

引理6已知拓扑空间X,∀x∈X，则x的邻域系ux的交等于x的邻域基vx的交.

证明一方面，vx⊂ux，则ux的交⊂vx的交.

另一方面，∀U∈ux，则存在V∈vx，使得x∈V⊂U.

引理7拓扑空间X是T1空间，x的邻域系ux的交={x}.

证明必要性.假设x的邻域系ux的交≠{x}，则存在y∈X，x≠y,y∈ux的交，即x的每一个邻域都包含y，这与拓扑空间X是T1空间矛盾，故x的邻域系ux的交={x}.

充分性.∀x,y∈X,x≠y,y∉{x}=ux的交，则存在x的邻域U,y∉U.由邻域的定义知存在开集V，使得x∈V⊂U，则y∉V，即存在x的开邻域V不包含y.同理可得存在y的开邻域不包含x，故拓扑空间X是T1空间.

引理8设Λ是拓扑空间X的一个开覆盖，若存在A∈Λ，且A'是X中的有限集，则Λ必存在关于X的一个有限子覆盖.

证明∀x∈A'(有限)⊂X，则存在，则Λ*是Λ关于拓扑空间X的有限子覆盖.

引理9设是有限补空间ℝ中两两互不相等的序列，则.

证明∀a∈ℝ，A是ℝ中任一个不包含a的有限集，即a∈A'，则A'是a的任一开邻域.

若有限集A中不含序列中的点，则取M=1，当i＞M时有xi∈A'；

若有限集A中含有序列中的点，则A中只能含有序列中的有限个点，不妨记为xn1,xn2,…,xnk,n1＜n2＜…＜nk，k∈Z+.

此时取M=nk，当i＞M时有xi∈A'.因此，对于a的任一开邻域A'，存在M∈Z+，当i＞M时有xi∈A'.再由有限补空间ℝ中点的邻域都是开邻域知结论成立.

顺便指出，若ℝ中的点a,b,x0,x1,x2,x3,…两两互不相同，则有限补空间ℝ中的序列{x0,x0,x0,…}和{x1,x0,x2,x0,x3,x0,…}收敛且只收敛到x0，而序列{x0,x1,x0,x1,…}和{x1,a,b,x2,a,b,x3,a,b,…}则不收敛.

2 有限补空间ℝ的拓扑性质

2.1 连通性

定理1有限补空间ℝ是连通空间，且有限补空间ℝ的连通子集是空集、单点集和无限子集.

证明由引理3知，有限补空间ℝ中的无限子集作成的子空间是无限集上的有限补空间，从而无限子集是连通子集.包含多于一个点的有限子集作成的子空间是离散空间，从而得包含多于一个点的有限子集不是连通子集，故结论成立.

定理2有限补空间ℝ是局部连通空间.

证明有限补空间ℝ中的非空开集都是不可数集，当然是无限集，从而有限补空间ℝ中的开集都是连通的，结论成立.

定理3有限补空间ℝ是道路连通空间，且有限补空间ℝ的道路连通子集是空集、单点集和不可数子集.

证明由引理3～5易见包含多于一个点的有限子集和无限可数子集作成的子空间不是道路连通空间，不可数子集作成的子空间是道路连通空间，结论得证.

定理4有限补空间ℝ是局部道路连通空间，且有限补空间ℝ的局部道路连通子集是有限子集和不可数子集.

证明有限补空间ℝ中的非空开集都是不可数集，由引理4知非空开集都是道路连通的，由定义2知有限补空间ℝ是局部道路连通空间.由引理3～5知，不可数子集作为有限补空间ℝ的子空间是不可数集上的有限补空间，它的每一个开集都是道路连通的；无限可数子集作为有限补空间ℝ的子空间是无限可数集上的有限补空间，它的每一个开集都不是道路连通的.又无限集上的有限补空间中点的邻域都是开邻域，故有限补空间ℝ的无限子集中只有不可数子集是局部道路连通子集.

又有限子集作为有限补空间ℝ的子空间是离散空间，而离散空间显然是局部道路连通空间.综上有限补空间ℝ的局部道路连通子集是有限子集和不可数子集.

2.2 分离性公理

定理5有限补空间ℝ是T0空间、T1空间，但不是T2空间、T3空间、T3.5空间、T4空间，也不是正则空间、正规空间、完全正则空间.

证明∀x∈ℝ，有限集{x}是有限补空间ℝ中的闭集，故有限补空间ℝ是T1空间，从而也是T0空间.再由引理2知，定理中的其他分离性公理有限补空间ℝ都不满足.

2.3 可数性公理

定理6有限补空间ℝ不是A1空间，从而也不是A2空间.

证明假设有限补空间ℝ是A1空间，则∀x∈ℝ，有限补空间ℝ在x处存在可数邻域基vx，不妨记作vx={U1,U2,U3,…}，Ui∈ux,i=1,2,3,…，其中ux是x的邻域系.

对于可数邻域基vx中的x的每一个邻域Ui，存在有限补空间ℝ中的非空开集Vi，使得x∈Vi⊂Ui,i=1,2,3,….于是ℝ-Ui⊂ℝ-Vi，闭集ℝ-Vi是有限集，从而ℝ-Ui为有限集，i=1,2,3,….

由引理6，7和定理5知，x的邻域基vx的交，于是，左边是不可数集，右边是可数集，矛盾.故有限补空间ℝ不是A1空间，从而也不是A2空间.

顺便指出，由于无限可数集的所有有限子集作成的子集族是一个无限可数集，于是得到无限可数集上的有限补空间共有无限可数个闭集，从而无限可数集上的有限补空间只有无限可数个开集，故无限可数集上的有限补空间是A2空间、A1空间、可分空间、Lindelöf空间.

定理7有限补空间ℝ是可分空间.

证明由引理1知，有限补空间ℝ存在可数的稠密子集Q，从而有限补空间ℝ是可分空间.

2.4 紧性

定理8有限补空间ℝ是紧致空间，从而是Lindelöf空间、列紧空间、可数紧致空间、局部紧致空间、仿紧致空间.

证明由引理8知，有限补空间ℝ是紧致空间，从而由各种紧性之间的相互蕴含关系［14-15］知定理中的其他结论成立.

定理9有限补空间ℝ中的任意子集都是紧致子集.

证明由引理3知，无限子集作为有限补空间ℝ的子空间是有限补空间，再由引理8知，无限子集是有限补空间ℝ的紧致子集.又有限子集是任一拓扑空间的紧致子集，故结论成立.

定理10有限补空间ℝ是序列紧致空间.

证明设是有限补空间ℝ中的任意一个序列，若中存在一个点在该序列中出现无限次，不妨记作x0，则的收敛子列可取常值x0的子列.若中的每一点在该序列中都只出现了有限次，则该序列必定包含无数个两两互不相同的点，由引理9知中的两两互不相同的子列即是的收敛子列.

综上结论成立.

3 结语

有限补空间ℝ是点集拓扑学中的一个重要拓扑空间，其常常作为反例出现，对其拓扑性质的研究能够促使学习者更加深刻地理解相关的拓扑性质.本文系统而全面地研究有限补空间ℝ的拓扑性质，包括诸多连通性质、有关可数性公理、分离性公理、诸多紧致性质.除此之外，定理1，3，4，9分别指出有限补空间ℝ中什么样的子集是连通子集、道路连通子集、局部道路连通子集和紧致子集.引理7证明T1空间所具有的一个性质，并据此证明有限补空间ℝ不满足第一可数性公理.引理9证明有限补空间ℝ中两两互不相等的序列收敛，且收敛到该空间中的任意点，由此证明有限补空间ℝ是序列紧致空间.需要说明的是，有限补空间ℝ与不可数集上定义的有限补空间是同胚的，故不可数集上定义的有限补空间同样满足文中证明的有限补空间ℝ的每一个拓扑不变性质.