张文君 王淑红

19世纪以来，代数数论得到了蓬勃发展，树立了数学史上的一座座丰碑。在其产生和演化的过程中，涌现出大批数学英雄人物。在这些英雄人物中，有一位却鲜为人所提及。他英年早逝，却在数学的多个领域留下厚重的足印。这就是圣彼得堡数学学派的伊戈尔·伊万诺维奇·佐洛塔廖夫（Egor Ivanovich Zolotarev， 1847—1878）。

短暂而奋发图强的一生

佐洛塔廖夫1847年3月31日出生于圣彼得堡的一个中产阶级家庭，其父伊万·佐洛塔廖夫（Ivan Zolotarev）是钟表店老板，其母阿加菲娅·佐洛塔廖夫（Agafya Zolotarev）是一位家庭主妇。

1857年，佐洛塔廖夫进入圣彼得堡第五文法学校（The Fifth St Petersburg Grammar School）学习。这所学校以数学和自然科学为重心，数学出身的校长特别注重选拔优秀的数学、物理教師，甚至还亲自教授数学课程。他曾写道：“在每一次算术运算和代数量的学习中，学生们将被安排尽可能多的任务，大部分是实际可操作的，并进一步考察尽可能广泛的问题[1]。”优秀的老师使佐洛塔廖夫接受了丰富的数学知识，培养了独立思考的能力，再加上自己具有很强的数学天赋，使他在学生中脱颖而出。

1863年，佐洛塔廖夫以第二名的优异成绩毕业，同年进入圣彼得堡大学（St Petersburg University），因为年纪太小只能当旁听生。1864年，他正式被圣彼得堡大学物理和数学学院（Faculty of Physics and Mathematics）录取。在此期间，他聆听了切比雪夫（P. L. Chebyshev， 1821—1894）和科尔金（A. Korkin， 1837—1908）的课，两位老师精彩的课程以及提出的建议帮助他迅速提高，后来他与他们有多方面合作。此外，他的老师还有索莫夫（I. Somov， 1815—1876）等人，佐洛塔廖夫与他们建立起亲密的科学友谊。1860年代是俄罗斯综合国力的全盛时期，许多杰出科学家活跃于这个时代。

1867年，佐洛塔廖夫完成了大学学业，为获得教师应聘资格，他完成论文“关于回转方程的积分”（About the integration of gyroscope equation）。1868年，他完成了求职论文“关于极小值的一个问题”（About one question on minima）。这篇文章很出色，展示了作者强大的知识储备和较为深刻的研究成果。之后，佐洛塔廖夫开始作为无薪讲师在圣彼得堡大学授课。他先是为自然科学学院（School of Natural Science）的学生讲授微积分（直到1871年夏天），之后为数学系低年级学生讲授积分和分析导论。除了中间一段短暂时期，他在担任讲师和教授期间还为数学专业的高年级学生讲授高等代数。

在为学生授课的同时，佐洛塔廖夫继续在物理和数学学院学习，研究三次不定方程。1869年春，22岁的他通过了硕士入学考试，师从切比雪夫。同年12月，他完成硕士论文“关于三次不定方程的解”（About the solution of the indefinite equation of the third degree）。这篇文章共62页，是佐洛塔廖夫科研上的一次重大突破[2]。值得一提的是，当时俄国的硕士论文水平相当于英国或美国大学的博士学位论文水平。硕士毕业后，佐洛塔廖夫继续在切比雪夫的指导下做博士论文，1873年获得博士学位。博士论文于1874年4月28日发表，题目为“复数理论在积分学中的应用”（Theory of complex numbers with an application to integral calculus），这篇论文讨论了一系列更重要的问题，使他一跃成为当时最杰出的数论学家之一。

其间，即1872年，佐洛塔廖夫曾出国游学，访问了柏林。这是他第一次出国访学。在那里他聆听了魏尔斯特拉斯（K. T. W. Weierstrass， 1815—1897）的解析函数论课程、柯尼斯伯格（L. K？nigsberger， 1837—1921）的复变函数论课程和库默尔（E. E. Kummer， 1810—1893）的解析几何课程。佐洛塔廖夫觉得库默尔讲课非常有趣，会认真听其课上的每一句话。佐洛塔廖夫后来在代数数论方面的成果也得益于与库默尔的交流。

1876年夏，佐洛塔廖夫再次出国访学，这次去的是巴黎。在巴黎期间，他与埃尔米特（C. Hermite， 1822—1901）进行了许多讨论。埃尔米特对他和科尔金合作的二次型算术理论方面的工作非常感兴趣，并给予高度评价。佐洛塔廖夫遂写信给科尔金，在信中他谈到了国外访学的感受，对德国和法国数学家的印象，并讨论一些相关的数学问题。

1876年冬季学期的开始，佐洛塔廖夫被任命为圣彼得堡大学物理和数学学院的教授。索莫夫去世后，佐洛塔廖夫是他的继任者，成为圣彼得堡科学院数学学院的副院士。该院的成员中包括许多法国和德国数学家，从一个侧面说明佐洛塔廖夫在俄国和欧洲受到了广泛的赞赏。

1878年7月7日，正值暑假，佐洛塔廖夫在去普希金探亲的途中，意外跌倒在一辆车下，因救治无效，于7月19日不幸去世。

在多个数学领域建立功勋

虽然佐洛塔廖夫因意外离世，其科学活动仅仅持续了10多年，但他在代数数论、逼近论、二次型和椭圆积分等方面做出了奠基性工作。

佐洛塔廖夫研究了代数数域中的整数环，给出了这类整数环的可除性理论，发展了库默尔的思想。1878年他在《数学年刊》（Mathematische Annalen）上发表的论文“关于复数”（On complex numbers），主要探讨了具有整系数的函数，证明了在奇异情况下的定理，还包含一个基本引理的证明，该引理是适用于非奇异和奇异情形的可除性理论的基础。1880年在《纯粹与应用数学杂志》（Journal de Mathématiques Pures et Appliquées）上发表的论文“关于复数理论”（On the theory of complex numbers），其中包含了可除性理论的一般构造方法。

佐洛塔廖夫于1874年在《纯粹与应用数学杂志》上发表了文章“关于切比雪夫先生的积分方法”（Sur la méthode dintégration de M.Tchebichef）。这篇文章强调了椭圆函数和复变函数之间的关系，将复整数理论应用于椭圆微分的积分。阿贝尔已经证明了某些椭圆微分可以用对数积分，但他的方法几乎没有实际应用价值。佐洛塔廖夫提供了更有效的解决方案。

埃尔米特提出了求含有n个实系数变量的二次型最小值的问题。佐洛塔廖夫与科尔金一起研究，他们能分别给出含有4个变量和5个变量二次型的最小值。

佐洛塔廖夫在逼近论中提出了4个问题，并都进行了解答，这些成果主要出现在1877年的《数学年刊》上。他研究的前两个问题，试图将多项式p（x）上的max{p（x）：-1≤x≤1}最小化，其中多项式p（x）的系数满足给定条件。第三和第四个问题是关于给定区间上的有理函数的最优逼近[3]。

佐洛塔廖夫发表论著共28篇（部）。从1870年代初一直到1877年，他的文章都发表在《数学年刊》上。从同时代人对他的评价来看，佐洛塔廖夫是一个非常善良、直率和友好的人，他对于教学持有极其认真的态度并深受同事和学生们的爱戴。除了在圣彼得堡大学任教之外，他自1869年还在交通工程学院（School of Transportation Engineering）教授“分析力学”。他参与编写了一些教科书，比如《分析力学教程》（Course in Analytical Mechanics）、《高等代数》（Higher Algebra）等。

抒写代数数论壮丽华章

佐洛塔廖夫的代數数论思想来源于高斯的复整数理论和库默尔的理想数理论。

高斯在1801年出版了《算术研究》（Disquisitiones arithmeticae），开始了互反律的研究。1832年，高斯又发表了一篇重要论文，其中出现了四次互反律。他为了简洁完美地表述这一定理，使用了形如a+bi的数，将其称为复数，这里a， b是整数且i是x2+1=0的一个根。后人为了将它与通常的复数相区分，称之为复整数（或高斯整数）。他把形如a+bi的每一个数a都定义其范数为Nα=（a+bi）（a-bi）=a2+b2。根据范数的定义可以得到Nαβ=NαNβ。容易看出，复整数之间进行加、减、乘运算仍是复整数。在通常的整数论中，可逆元素是±1，而在高斯的复整数论中，可逆元素却是±1和±i。进一步高斯又证明：只要不把4个可逆元素作为不同的因数，唯一因子分解定理对复整数也成立。通过复整数，高斯能够给出四次互反律的一种更为简洁的表述形式。但遗憾的是，高斯未曾发表它的证明。第一个给出这一定理的证明的人是雅可比（C. Jacobi， 1804—1851），后来，雅可比为了阐述高次互反律的特殊情形，又分别研究了具有5次、8次、12次单位根的复整数，而且把这些数分解成了素整数的乘积，规定它们也满足自然数通常的性质。

虽然库默尔和佐洛塔廖夫在文章中都提到“理想因子”，但是他们本质上主要讨论的是理想因子在整数中的指数。佐洛塔廖夫发展了库默尔的局部方法，构造了一种完全严格的代数运算。同样值得注意的是，在他的代数数构造中，佐洛塔廖夫依赖于上述引理，该引理同时对代数数和代数函数成立，因此他的理论可以立即推广到代数函数环上。

同时代的戴德金（J. W. R. Dedekind， 1831—1916）和克罗内克（L. Kronecker， 1823—1891）也对库默尔的理想数理论进行了发展，但只有戴德金的理想论获得了更多的传承。佐洛塔廖夫虽然与戴德金一样将库默尔的理论推广到代数数域和函数域，但他们所采用的方法是不同的[8]。戴德金将库默尔理论推广到代数整数环上，他的基本思想是用理想的概念取代库默尔的理想数概念。佐洛塔廖夫也在同样的环中做研究，但是对于有理素数p，他引入了关于p的特定概念，证明了由代数整数所表示的理想素因子的存在性，用的是指数赋值的思想。虽然戴德金和佐洛塔廖夫两人在学术上有着相似的研究课题，但是他们没有多少交流，通信很少。他们之间缺少沟通的原因可能正是他们的基本思想方法不同，以至于双方觉得跟对方讨论数学是徒劳的，即使如此，他们对彼此的文章还是有所了解的，比如通过佐洛塔廖夫1874年的博士论文以及其他材料，可以知道他也知道戴德金的理想论。

在传承中获得长久生命力

佐洛塔廖夫的代数数论思想对博列维奇（Z. I. Borevich， 1922—1955）和沙法列维奇（I. R. Shafarevich， 1923—2017）产生了重要的影响。博列维奇与沙法列维奇在1964年共同出版了著作《数论》（Number theory）。该书的主要内容既有经典理论，也有当时的新理论，包含了许多其他书籍所没有的重要且有意义的结果。在大多数章节末尾都有一个习题集。作者在前言中介绍了研究不定方程的主要方法，包括代数方法、几何方法和分析方法。该书分为五章，每章都有七八节。这五章的内容分别为同余、用可分解的型表示数、可除性理论、局部方法和分析方法。作者特别重视局部方法，其中许多内容是对佐洛塔廖夫代数数论思想的继承和发展。

在第三章“可除性理论”中作者概述了代数整数分解为素因子乘积的问题。本部分介绍了源于库默尔的可除性理论。然后，作者进一步描述了可除性理论和给定环的商环的指数之间的密切联系，阐述了指数的性质并证明了指数在环的最终扩张上保持不变的定理，延续了佐洛塔廖夫的指数赋值思想。在这一部分的附录中，作者给出了构造因子和计算因子类数的方法，并对费马大定理和其他理论进行了评述，其中有佐洛塔廖夫的可除性理论。在第四章“局部方法”中，作者专门介绍了佐洛塔廖夫的方法，主要内容是研究局部环和这些环上解析函数的性质。

《数论》自出版以来，就在数学界被广泛传播，1966年分别被译成德文和英文出版，1967年又被译为法文出版，俄文的第二版与第三版分别出现在1972年和1984年，法文版于1992年出了第二版。据谷歌学术不完全统计，截止到2021年1月，各个版本的《数论》被引用总量超过2200余次，其中英文版本的被引用量最高，高达2100余次，法文、德文、俄文版本的引用量也都超过10余次。该书不仅仅为人们广泛阅读，而且得到了大家的一致好评和高度赞誉。数学家尼文（I. Niven， 1915—1999）这样评价《数论》英文版：“这是一本非常独特并且富有价值的书，因为它很少与其他目前可用的相关英语文本重叠。该书神韵与深度并存，它在数论方面提供了一种高水平教材[9]。”数学家莫德尔（L. J. Mordell， 1888—1972）对《数论》评价道：“这本书是我有幸读过的最迷人的书之一，它非常具有启发性，每一个对数论有兴趣的人都应该得到这本有意义的书[10]。”总之，《数论》中关于数论的内容非常丰富，提供了一些很有价值的成果，这些成果使公众以更容易的方式涉足这一领域，必将会继续影响一批又一批的数学工作者。

佐洛塔廖夫勤奮好学，不畏艰难，勇攀科学高峰，致力于攻克重要的数学问题。他在高斯和库默尔等人的数论思想基础上，发展了库默尔的局部方法，构造了一种完全严格的代数数的运算，运用局部化和整体化的方法研究局部环和半局部环，证明了关于主理想环的结果。这一方法之后被亨泽尔（K. Hensel，1861—1941）所独立发展。佐洛塔廖夫和亨泽尔的工作是局部代数核心思想和方法的开端。佐洛塔廖夫31岁便因意外溘然长逝，不得不说这是国际数学界的重大损失。但他给出的理论和方法仍为人们所沿用和发展，相信他卓越的数学成就将永远被人们铭记。

[本文相关工作获国家自然科学基金项目（11871018）资助。]

[1]OConnor J J， Robertson E F. Egor Ivanovich Zolotarev. [2003-03-01].https：//mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Zolotarev/

[2]Kolmogorov A N， Yushkevich A P. Mathematics of the 19th century： geometry， analytic function theory. Boston： Birkh？user Verlag， 1992： 245-256.

[3]Bashmakova I G. Zolotarev， Egor Ivanovich. [2021-01-19]. https：// mathshistory.st-andrews.ac.uk/DSB/Zolotarev.pdf

[4]Edwards H. The background of Kummers proof of Fermats last theorem for regular primes. Archive for History of Exact Sciences， 1975，14（3）： 219-236.

[5]Goldstein C， Schappacher N， Schwermer J. The shaping of arithmetic after Gausss disquisitiones arithmeticae. New Nork： Springer， 2007： 453-462.

[6]Zolotarev E I. On the theory of complex numbers. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées， 1880， VI（3）： 51-85； 115-129； 145-167.

[7]Nalbandjan M B. The theory of elliptic functions and its applications in the works of E. I. Zolotarev. Istoriko-Matematicheskie Issledovaniya， 1965（16）： 905-908.

[8]王淑红. 环论源流. 北京： 科学出版社， 2020： 8-25.

[9]Niven I. Number theory by Z. I. Borevich， I. R. Shafarevich. American Mathematical Monthly， 1967， 74（6）： 751.

[10]Mordell L J. Thought on number theory. Journal of London Mathematical Society， 1946， 22（1）： 58–74.

关键词：佐洛塔廖夫 代数数论 理想 p整数 ■