席建彬

判别式法是一种常用的解题方法，常用于解答与一元二次方程有关的问题.一般地，若方程有解或者有实根，则方程的判别式;若方程无解，则判别式法就是根据一元二次方程是否有实根来建立关系式解答问题的方法.在解题时，我们需根据题意构造一元二次方程，抓住方程是否有实数解这一关键点，运用判别式判断方程解的情况，从而求得问题的答案.

一、解答二次函数的定义域问题

二次函数的定义域问题一般与二次函数、二次方程有关.在解题时，我们需首先明确要使函数式有意义，需确保分母不为0、根号下的式子恒大于或等于0、幂的底数不为0、对数的底数大于0等，建立一元二次方程，将问题转化为一元二次方程有解的問题，建立判定式与0之间的关系式，便可求得问题的答案.

例1.若函数的定义域为R，求实数 m 的取值范围.

解：

在解答的方程问题时，首先要考虑 a 是否为0，若 a ≠0，方程才是一元二次方程，然后再用判别式法解答问题，才能得到完整的答案.

二、解答二次不等式证明问题

不等式与方程有着紧密的联系.一般地，若一元二次方程的根为且，则不等式的解集为或，若不等式的解集为.在解答一元二次不等式证明问题时，我们可将不等式的解集的端点值看作一元二次方程的两个根，根据方程有解来建立不等式，从而证明结论成立.

例2.

证明：

我们通过变形，把两个已知等式转化为一个二次方程式，这是运用判别式法解题的重要前提，建立不等式即可得到不等式的解，证明结论成立.

三、求解二次曲线的交点问题

对于抛物线、双曲线、椭圆等二次曲线的交点问题，我们可以直接令两个曲线的方程相等，这样就将问题转化为二次方程问题，利用方程的判别式建立关系式，即可求得交点的坐标，从而顺利解题.

例3.已知抛物线，A（2，0），若存在过A点的直线l，使抛物线上存在不同的两点关于直线l对称，求直线l 的斜率k 的取值范围.

解：

判别式法是解答直线与二次曲线交点问题的重要“武器”，但要注意一些特例，如直线与抛物线的对称轴平行、直线与双曲线的渐近线平行时只有一个交点，此时就不能只看△是否等于零的一种情况了.

判定式法是解答与二次函数、二次不等式、二次曲线有关问题的重要方法.在解题时，我们需根据一元二次方程的根与二次函数的交点、二次不等式解集的端点、二次曲线的交点之间的联系，将问题转化为方程问题，利用判别式来建立关系式，求得问题的答案.

（作者单位：甘肃省兰州新区高级中学）