施伟

数列不等式证明题的难度较大，侧重于考查同学们的逻辑推理能力和综合分析能力.而放缩法是证明数列不等式的重要方法之一.放缩法是指通过放大或缩小不等式的范围，从而证明不等式的方法.在解题时，我们需合理利用数列的单调性、重要不等式、不等式的性质等，将目标不等式进行合理的放缩，才能证明结论.

一、根据数列的单调性进行放缩

数列是一种特殊的函数，具有单调性.在解答数列不等式问题时，我们可以充分利用数列的单调性来解题.首先将数列的通项公式或前 n 项和看作关于 n 的函数式，判断出数列的单调性，再利用数列的单调性来求得最值，证明不等式成立.

例1.

证明：

在解答本题时，我们先用反证法證明， 并判断出数列的单调性，然后利用数列的单调性证明.有时证明数列不等式，利用数列的单调性进行放缩较为便捷.

二、利用重要不等式进行放缩

在运用放缩法证明数列不等式时，我们要注意先利用一些重要的不等式或者相关结论进行适当的放缩，将复杂的、没有规律的式子化为简单的、有一定规律的数列的和，然后再利用等差、等比的求和公式、错位相减法、分组求和法等求得数列的和.在放缩不等式

时，常用的重要不等式有糖水不等式、基本不等式等.

例2.

解析：我们由已知条件容易求得数列的通项公式并化简目标式，再利用糖水不等式将数列的通项公式进行放缩，把目标式转化为等比数列的和，再利用等比数列的前 n 项和公式就可以证明结论.

证明：

解答本题，还可以利用重要不等式对数列的通项公式进行放缩，构造出等比数列，从而证明数列不等式成立.

可见，运用放缩法证明不等式，关键是对不等式或者数列的通项公式进行合理的放缩.放缩的技巧有很多，除了上述两种外，还有添项、减项、扩大分子、缩小分母、借助中间值等.而放缩的关键在于，将已知条件和目标式关联起来，灵活运用数列的单调性、重要不等式等，“凑”出所需要的条件，将问题转化为常规的不等式或者数列问题来求解.

（作者单位：江苏省南通市海门第一中学）