何燕 冯帆

从不同视角、不同方向寻求问题的多种解法，有利于拓宽解题的思路，培养数学思维.数列不等式证明题属于综合性较强的问题，侧重于考查同学们的逻辑推理能力和运算能力.本文以一道数列不等式证明题为例，谈一谈解答数列证明题的几种方法.

题目：在数列

解答本题，需将已知的递推关系和所证明目标式关联起来，寻找解题的思路.我们可将递推关系式或目标式进行变形，通过作差、作商、因式分解、取倒数等方式将递推关系式或者目标式转化，进而证明结论;可将数列视为特殊的函数，借助函数的图象和性质来解题;也可将问题视为与自然数相关的证明题，采用数学归纳法进行证明;还可考虑用反证法来解题.

方法一：作差法

作差法是比较两式大小、证明不等式的重要方法.在运用作差法证明不等式时，可以将不等式左右两边的式子作差，然后采用因式分解、配方等方式将差式变形为易于判断正负符号的式子.一般地，若 A -B >0 ， 则 A >B ;若 A -B <0 ，则 A

证明：

我们将目标式左右两边的式子平方再作差，通过变形便可发现与之间的递推关系，而1是一个不动点，通过对递推式进行变形即可构造出，从而证明结论.

方法二：作商法

作商法是指将不等式左右两边的式子相除，通过恒等变形证明结论的方法.恒等变形商式的方法有因式分解、配方、约分、通分等.一般地，

证明：

我们将目标式两边的式子相除并平方，构造出，通过化简得到式子，再将其与1进行比较，即可证明结论.

方法三：函数法

我们知道，数列是一种特殊的函数，因此数列具有函数的性质，如单调性、有界性、周期性等.在解答数列不等式问题时，我们可根据题意构造出合适的函数模型，然后利用函数的图象和性质来解题.

证明：

方法四：数学归纳法

數学归纳法是证明与自然数有关问题的重要方法.用数学归纳法证明不等式一般需要两步.第一步，证明当 n 取第一个值时命题成立;第二步，假设当时命题成立，证明当时命题也成立.只要完成这两个步骤，我们就可以断定命题对从开始的所有正整数 n 都成立.

证明：

方法五：反证法

当直接证明不等式有困难时，可采用反证法来求解.在用反证法证明数列不等式时，我们需假设结论不成立，利用该结论试图找到与已知条件或者定理相矛盾的结论，从而证明假设的结论错误，原命题成立.

证明：

通过上述分析我们可以发现，证明数列不等式，不仅要仔细分析条件和结论，寻找所要证明结论成立的充分条件，通过作差、作商得到要证结论的简易形式，还要学会将不等式式进行合理的变形或构造函数，运用函数法、数学归纳法、反证法来证明结论.

（作者单位：闽南师范大学数学与统计学院）