平国强

【摘   要】“图形与几何”是小学数学四大学习领域之一，其教学的核心目标是发展学生的空间观念。教学实践中，可以通过促进学生几何概念的理解、帮助学生建立几何表象、引导学生进行空间想象活动等具体策略的运用，培养学生的空间观念。

【关键词】空间观念;几何概念;表象;空间想象

“图形与几何”是小学数学四大学习领域之一。小学数学教学中，有近30%的学习内容与这一领域相关，其重要性毋庸置疑。图形与几何一方面是学生认知的对象，学生要掌握与它相关的概念、知识与方法;另一方面，它又是促进学生思维发展的工具和载体，对学生的发展有着极其重要的意义。“图形与几何”教学的核心目标是发展学生的空间观念，尤其是空间想象能力。发展空间观念是一个很高的目标，实际教学中，学生往往对知识方法掌握得较好，而空间想象能力却整体比较薄弱。

一、空间观念的内涵及意义

“空间观念”是数学关键能力之一，《义务教育数学课程标准（2011年版）》对空间观念的内涵做了明确的描述：“空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体;想象出物体的方位和相互之间的位置关系;描述图形的运动和变化;依据语言的描述画出图形等。”因此，空间观念不仅包括图形知识，更包括空间想象能力。

首先，对学生而言，现实世界的基本呈现方式是三维空间里的几何形态，发展学生的空间观念，有利于学生更好地认识、理解所处的世界，丰富学生的数学经验。其次，发展学生的空间观念，也是发展学生数学思维、提高学生数学能力的需要，是学生学会用数学解决问题的需要。同时，在数学的能力结构中，空间观念不可或缺，所以发展学生的空间观念也是落实数学能力发展目标、提升学生核心素养的必由之路。

二、空间观念培养的基础与重点

空间观念的发展需要生活经验、几何概念、空间表象和基本能力结构作为支撑。

生活经验深刻影响学生空间观念的发展。生活中各种形状的物体是学生学习掌握“图形与几何”相关知识的经验支持和模型源泉。教师要有意识地创造条件，让学生多观察实物，积累对实物形状、特征及空间关系的认识与理解，丰富头脑中各种物体的表象经验。当学生进行空间想象时，这些表象经验可以成为他们主动调用、理解关系的有力支持。例如，学生如果对传统的铁皮水桶或长方体的铁皮通风管道有清晰的了解，那么解决相关问题就不会感到困难。然而，当下学生普遍存在生活经验不足的问题，导致空间表象的缺乏，影响了空间想象的实现。

数学表象是学生空间观念发展的重要基础。表象是指学生对几何形体及结构关系的知觉形象，具有简洁性、数学性和一般性的特征。教学中要创造机会让学生对几何形体的数学属性、空间关系进行表象建构，如对图形关系的表象建构以及图形转换的表象建构等。

对概念的深刻理解能促进学生空间观念的发展。学生对图形与几何知识的掌握不是浅层的、单薄的，而是从对概念的记忆，到对概念的内涵、概念与概念之间关系的理解，再到问题解决的丰富的、多层次的能力结构。归根结底，空间观念是高阶思维能力，它的培养应从图形与几何的概念教学开始。

空间观念培养的重点是发展空间想象能力。就具体内容来说，应关注有序思考能力、直观表征能力、空间推理能力、过程想象能力、关系转换能力、结构想象能力等各种能力的发展，这些关注应贯穿于图形与几何教学的全过程。

三、空间观念培养的实践策略

要体现立足能力、发展素养的“图形与几何”教学，达成空间观念培养的教学目标，应从“重视几何概念的理解、重视几何表象的建立、突出空间想象活动”等层面去落实。

（一）重视几何概念的理解

重视几何概念的理解，重在让学生经历概念的形成过程，把握概念的数学本质。

数学概念是对数学知识的本质特征的提炼、概括与表征，有着丰富的内涵与层次。例如，学习梯形的概念“只有一组对边平行的四边形叫作梯形”，学生需要从两个方面理解：一是“梯形是四边形”，也就是梯形的特征是在四边形这个前提下描述的;二是“只有一组对边平行”，这是明确梯形不同于别的四边形的本质特征。理解梯形的概念，这两个层次缺一不可，不能只关注一个方面就下结论，这是理解“属+种差”这类数学概念时必须要注意的。再如，长方体的体积计算可以用“底面积×高”的方法，学生需要理解“长×宽×高”的实质是指长、宽、高上分别可以放的体积单位的个数的乘积。“底面积”的实质是底面上可以摆（一层）的体积单位的个数，“高”的实质是可以摆的体积单位的层数，并且长方体的每一个面和与之垂直的棱都可以看作是“底面”和“高”。学生不能仅从字面上形式化地理解“底面”和“高”，要在体会体积算法的实质是求体积单位总数的基础上，从不同角度去理解“每一层”和“层数”的本质含义。

学生能够在几何概念之间建立正确、合理、清晰的关系是空间想象能力产生的前提。教学时教师要用联系的观点、整体的视角处理教学内容，设计教学进程和环节，给学生提供有联系的教学内容、有结构的学习素材，以此帮助学生形成有关联的几何概念体系。例如，在“图形与几何”教学中，“高”是一个重要的概念。但教材中“高”是分散在不同图形的认识中呈现的。学生从“互相垂直”的学习到三角形“高”的认識，要历时两个学期。学习历程的断断续续，会让学生对这一概念的理解缺少整体与本质的把握。如果教师在教学“梯形的高”或“三角形的高”时，能够对“高”“点到直线的距离”“互相垂直”等知识做一个梳理沟通（如图1），让学生理解这些概念之间内在的一致性，就能促进学生更好地把握知识之间的联系，形成对概念本质与整体的认识。

重视几何概念的理解，还要让学生经历思维的变式，这是促进理解走向深刻的重要途径。所谓的思维变式，是指在学生基本掌握几何概念后，通过设计新的问题情境，增加非本质属性的干扰，让学生在进行分析与判断的过程中，进一步加深对概念本质属性的理解。例如，学习“梯形”时，在学生知道了梯形的概念，经历了概念巩固、基本图形的判断等思维活动后，教师呈现类似以下的变式问题（如图2）让学生进行分析与判断，以促进其对梯形概念的深入理解。

下图中ABCD是平行四边形，EFG是三角形，请找出图中的梯形，并说出理由。

这样的问题情境促使学生在判断时必须基于概念的本质进行逻辑的思考，而不是停留在图形标准状态下进行简单的判断。这本质上是将概念的学习提升到了应用的水平，促进学生的思维向高阶攀升。

（二）重视几何表象的建立

几何表象是空间观念的基础。有效的操作活动能促进学生空间表象的建立。

教师应通过活动促使学生将几何概念与生活经验建立联系，让生活经验支持表象的形成。有经验支持的几何表象能够长久地保留在学生的头脑中，并且学生在解决问题时能实现有效的提取与应用，这样的学习活动具有意义。例如，在学习常用的面积单位和体积单位时，学生要尝试自己举例，找到与“1平方分米”大小相似的物体的面，与“1立方厘米”“1立方分米”……大小相似的物体。学生借助自己熟悉的物体形成对这些单位的表象，这些表象会进一步成為学生的经验，成为其进行思考、想象的有力支持。

教师要设置任务让学生对几何形体进行多角度观察，经历过程性操作活动，用体验促进表象的建立。学生由此拥有关于形体对象的直接经验，能对几何形体的特征和要素有更全面的理解与把握。例如，学生知道了长方体、正方体的特征，但这仅仅是拥有了相关的知识。要深度理解这些特征，形成相应表象，还需要让学生经历类似下面的活动。

用提供的材料，你认为可以搭出怎样的长方体（正方体）？先写出你能搭的长方体（正方体）的特征和所需的材料，再搭出来。

[材料（小棒和足够的接头） 我能搭出的长方体（正方体） 我需要的材料 3cm 4cm 5cm 7cm 1 长：   宽：   高： 6根 3根 12根 4根 2 3 ]

这样的活动使学生的操作有目标，实践有蓝图，想象有支持，对表象的建立有很好的作用。

再如，按照教材的编排，认识圆柱和圆锥是分头学习的。教师教学时可以进行整体设计，让学生同时认识圆柱与圆锥，进行对比学习：观察比较它们的整体特征、它们的底面、它们的侧面、它们的高、它们的侧面展开形状……多角度、整体化和对比性的观察，既有利于学生理解与掌握圆柱、圆锥的特征，又有利于他们形成表象。

（三）突出空间想象活动

空间想象活动是发展空间观念的重要途径，它是在理解概念、建立表象基础上的更高水平的思维活动。引导学生进行空间想象，需要有效的载体，即教师要提供良好的情境或新颖的材料，这是促进学生空间想象的驱动力。

首先，要引导学生进行空间推理活动。推理是数学思维的基本形式之一，空间推理是以空间形体和空间关系为要素的推理活动，是空间观念的重要内涵。

例如：图（图3）中左边是一副三角尺中的一块，右边是一个等腰三角形。那么∠1是多少度？

这个问题并不难，但它是一个典型的空间推理问题，学生需要根据已知的数学信息和认知经验，实现一系列关系的转换，得出∠1的度数。这个过程有效地促进了学生空间想象能力的发展。

再如：在图4-1的格点中找一个点D，使它与已有的A、B、C三点连成的四边形是梯形，可以得到几个不同的梯形？

这个问题的推理过程就是一个基于想象的过程。要得到结果并不困难，但学生要在推理过程中进行有序思考，这才是这个问题解决的重要价值所在。分类思考是有序的保障，根据梯形的概念“只有一组对边平行的四边形”，可以把梯形分成两类：一类以BC、AD为底，AB、DC为腰;另一类以AB、DC为底，AD、BC为腰。由此可以快速有序地找到两类梯形的所有情况（如图4-2）。

其次，要引导学生基于想象进行空间转换。空间转换能力是空间观念的重要表现，包括空间形体二维与三维的转换、空间形体的等积变换、数与形的互译转换等。空间转换是解决“图形与几何”问题时常用的一种体现高水平思维的策略与方法，能进行空间转换是学生空间想象能力的重要体现。如人教版五年级下册中有这样一道习题（如图5）。

从完成习题的角度看，通过逐块计算面积，再求出红色面和黄色面的总面积，即可达到巩固面积计算的目的。但仔细观察会发现所有长方形的宽都是40cm，如果从培养空间观念的角度看这道题，就可以引导学生展开想象：将部分红色的面向上或向两边平移，组合成一些更大的长方形，再从整体上计算红色面的面积，即（65×2+40×3）×40=10000（cm2），同样黄色部分也可以这样思考。这就既达到了巩固计算面积方法的目的，又充分发掘和利用了资源，让学生进行空间转换想象，促进了学生空间观念的发展。

又如：一种食品包装，长方体纸盒内正好放入2个圆柱形食品罐。那么，圆柱形食品罐的体积占了长方体纸盒体积的百分之几？

解答本题可以经历以下转换过程（如图6）。

这是利用有效信息和空间转换，将三维体积问题转化成二维面积问题的解题方法，在这个过程中，空间转换能力起到了关键的作用。下面的例子（如图7）更是高水平等积变换能力的典型表现。

求下面甲、乙两图中阴影部分的面积。

通过顶点的平移，两个不同的较复杂的问题（图甲、乙）被转化成了一个相同的简单问题（图丙）。这样的高水平解题策略方法的背后，是空间观念的有力支持。

最后，要引导学生进行空间结构的想象，分析并构建空间形体间的关系。空间结构即空间形体或空间要素之间的联系，它是一种整体的思维想象，而不仅仅是一个概念表象或一种策略方法。几何形体之间变化关系的想象是空间结构想象的重点。

例如以下的问题（如图8），就是在几何形体之间的结构发生变化以后，通过想象分析新旧形体之间的关系来解决的。

将圆柱作如下操作，其表面积会发生怎样的变化？为什么？

显然，如果想象不出新的形体与原形体之间的关系，就无法正确解决这些问题。

比如：有一张长10厘米，宽4厘米的长方形纸（如图9-1），把它一头折起以后成图9-2的形状放在桌子上。那么，桌子被盖住部分的面积是多少？

“桌子被盖住的部分”是一个多边形，要求出这个多边形的面积，需要对它与长方形之间的关系、构成这个多边形的几何要素进行清晰的想象与分析：多边形是长方形通过怎样的操作得到的？长方形的长、宽与多边形的每条边之间有怎样的关系？多边形可以看作是哪些图形的组合？这些图形的特征、信息是否清楚？多边形面积与长方形面积之间又有怎样的关系……把这些问题分析清楚以后，问题便迎刃而解：（1）多边形面积=直角三角形面积+锐角三角形面积+梯形面积;（2）多边形面积=直角三角形面积+梯形面积;（3）多边形面积=梯形面积+梯形面积;（4）多边形面积=长方形面积-锐角三角形面积……这些思路与方法，都基于对空间结构与关系的想象。

空间结构想象的另一个重要方面是进行空间构造，以体会空间关系的变与不变以及影响变化的关键要素。

例如：一个模型，从正面看、右面看得到的形状分别如图10所示，那么你能搭出这个模型吗？

对学生的作品进行展示比较后开展讨论交流：为什么这些作品从正面和右面看都是这样的形状？（如图11）我们能看到的是什么？不能看到的是什么？如果要使搭出来的模型是唯一的，还需要什么信息？请你自己再增加一个信息并搭出模型……这样的活动，有助于学生理解影响空间结构关系的要素有哪些，在特定条件下影响空间结构的关键要素是什么等内容。这对学生空间观念的发展、解决问题能力的提高都具有重要影响。

总之，空间观念的形成不是一蹴而就的事情。通过促进学生理解几何概念、帮助学生建立几何表象、引导学生进行空间想象活动等具体策略的运用，可有效提升学生的空间观念。

（浙江省杭州市基础教育研究室   310003）