姜聪颖， 候成敏

( 延边大学 理学院， 吉林 延吉 133002 )

0 引言

近年来许多学者研究了带有边值条件的分数阶微分方程与q- 差分方程，并取得了很多较好的结果.例如：在文献[1]中， Yan等利用不动点定理研究了带有p- Laplacian算子的分数阶微分方程的边值问题：

基于上述文献研究，本文研究如下一类带有p- Laplacian算子与积分边界条件的Caputo分数阶q- 差分方程：

(1)

1 预备知识及其原理

引理3[7]令X为Banach空间， Ω⊂X是一个凸的有界闭集.如果T：Ω→Ω是TΩ⊂X的连续算子，且TΩ是相对紧的，则T在Ω中至少有一个不动点.

(2)

(3)

由上式可得：

证毕.

由上述证明可知方程(4)等价于方程(5).

(4)

(5)

引理5令y∈C[0,1]， 则边值问题(5)有如下唯一解：

(6)

令

引理6函数H为[0,1]×[0,1]上的连续函数，且有以下性质：

①H(t,qτ)≤H(qτ,qτ),t,qτ∈[0,1]；

证明①对于任意的t,qτ∈[0,1]， 由式(3)可知H(t,qτ)≤H(qτ,qτ).②对于任意的t,qτ∈[0,1]， 通过式(3)和q- 积分的定义可得：

证毕.

2 主要结果及其证明

定理1假设条件(H1)与(H2)成立，则问题(1)至少存在一个解.

(H1)f(t,u): [0,1]×[0,∞)→[0,∞)是连续函数.

于是由假设(H2)可得f(t,u)≤Lφp(u)≤Lφp(k).下面证明算子T的一致有界性.

因此T(P)⊆P.再由假设(H2)可得

由上式可知，当t2→t1时，上述不等式右侧可在不依赖于函数u的条件下趋近于0， 因此T(P)是等度连续的.根据Arzelà -Ascoli定理可知，T是紧的.再根据Schauder不动点定理可知，T在u∈P时至少存在一个不动点，因此问题(1)在P中至少有一个正解.证毕.

3 算例

例1考虑如下分数阶边值问题：

(7)

由以上显然可得：

再由定理1可知，边值问题(7)至少存在一个解.