李刚， 张英俏

( 延边大学 理学院， 吉林 延吉 133002 )

0 引言

表面等离子激元(surface plasmon，SP)[1]是由金属表面区域的一种自由电子和光子相互作用形成的电磁振荡，它能够突破衍射极限和增强局域场[2]，因此可用以实现纳米尺度的光信息传输.近年来，一些学者对表面等离子激元的传输特性进行了诸多研究，并取得了许多成果.例如： 2007年， Chang等[3]设计了一种由纳米线与1个二能级发射器组成的系统，并研究了纳米线上的单个SP耦合发射器的传输特性.2011年， Chen等[4]设计了一种金属纳米线与2个量子点(quantum dots，QD)耦合的系统，并研究发现耗散损失和超辐射效应都会对系统的散射特性产生一定的影响.2013年， Jin等[5]研究了折射率接近于零的SiO2/Ag表面等离子体波导中2个QD之间的量子纠缠和散射特性，发现当2个QD与等离子体波导相互作用时可以产生较高的共生纠缠度.2018年, Wu等[6]利用等离子体波导分别耦合了2个和3个无相互作用的QD，并通过研究SP在2个方向上的传输特性获得了单带和双带的单向无反射.2020年， Yang等[7]研究了等离子体波导与2个Λ- 型三能级QD耦合时的SP传输特性，并发现通过控制经典驱动场可得到效果极好的双带单向无反射.目前为止，关于量子点间耦合对系统散射特性影响的报道较少，为此本文构建了一个由2个相互耦合的非全同QD与金属纳米线相互作用的模型，并研究了QD间的相位和耦合强度等因素对SP散射特性的影响.

1 模型与计算

系统模型由2个相互作用的非全同胶状QD与1根金属纳米线边耦合构成，如图1所示.图中2个QD分别标记为QD -1和QD -2(分别放置在x=0和x=d处)，其相应的能量用ћω1和ћω2表示.

图1 2个QD与金属纳米线耦合组成的非厄米系统

上述系统的哈密顿为：

(1)

为简化上述系统，设2个QD在初始时都处于基态，金属纳米线中没有SP， 则系统的本征态可写为：

(2)

(3)

其中：θ(x)是单位阶梯函数，当x≥0时其值等于1， 当x<0时其值等于0；t和r分别为透射系数和反射系数； exp(ikx)[aθ(x)θ(d-x)]和exp(-ikx)[bθ(x)θ(d-x)]分别为正向入射和反向入射的SP在2个QD之间的波函数.求解本征方程H|Ek〉=Ek|Ek〉可得如下的透射系数(tf,tb)和反射系数(rf,rb)：

(4)

2 分析与讨论

图2为正反2个方向的反射率随SP入射波长变化的光谱图.图中的参数设置为：η=5.5×1013rad/s，Γ=0.1η， QD- 1的共振波长为1 540 nm， QD- 2的共振波长为1 585 nm.由图2(a)可以看出，当2个QD之间的相位θ=1.049 97π时，1 585 nm波长处的正向反射率为0， 反向反射率为0.96.由图2(b)可以看出，当2个QD之间的相位θ=0.950 03π时， 1 540 nm波长处的正向反射率为0.96， 反向反射率为0.这表明，当2个QD之间的相位θ分别为1.049 97π和0.950 03π时，入射该系统的SP在1 585 nm和1 540 nm波长处出现了单向无反射现象.

图2 正向反射和反向反射随入射波长变化的光谱图

散射矩阵S的本征值的实部和虚部随入射波长变化的关系如图3所示.由图3(a)和图3(b)可以看出，当相位θ=1.049 97π时， 1 585 nm波长处的本征值实部合并，虚部交叉.由图3(c)和图3(d)可以看出，当相位θ=0.950 03π时， 1 540 nm波长处的本征值实部合并，虚部交叉.该结果表明，当相位θ分别为1.049 97π和0.950 03π时，在波长1 585 nm和1 540 nm处出现了单向无反射.由此可见，本文提出的方案是可行的.

图3 相位为1.049 97π和0.950 03π时本征值s±的实部和虚部随波长的变化

下面利用控制变量法分别探究Γ(损耗率)、η(QD- 纳米线耦合强度)、θ(QD间相位)和G(耦合强度)这4个变量对反射光谱的影响.图4为Γ对正向反射光谱和反向反射光谱的影响，图中的参数设置为：η=5.5×1013rad/s，G=1×1013rad/s，θ=1.049 97π.对比图4(a)和图4(b)可知，当Γ处于0.09η～0.2η的范围内时，正向接近于0的低反射区域对应的是反向的高反射区域.这说明，将损耗率控制在0.09η～0.2η范围内时可以实现单向无反射.

图4 正向反射和反向反射光谱随QD损耗率和波长的变化

图5为η对正向反射光谱和反向反射光谱的影响，图中的参数设置为：G=1×1013rad/s，θ=1.049 97π，Γ=0.1η.对比图5(a)和图5(b)可知，当η处于4.8×1013～6×1013rad/s范围内时，图5(a)中接近于0的区域对应于图5(b)中接近于1的区域.这表明，在较宽的耦合强度范围内可以获得单向无反射.

图5 正向反射和反向反射光谱随QD与纳米线间耦合强度和波长的变化

图6为相位θ对正向反射光谱和反向反射光谱的影响.对比图6(a)和图6(b)可知：当相位θ处于0.913π～0.975π区间时(对应的波长λ为1 520～1 540 nm)，图6(a)中的高反射区域对应于图6(b)中接近于0的低反射区域，图6(b)中的高反射区域对应于图6(a)中的低反射区域；当相位θ处于1.01π～1.05π区间内时(对应的波长λ为1 560～1 580 nm)，图6(a)中接近于0的低反射区域对应于图6(b)中的高反射区域.这表明，可以在较宽的相位范围内实现单向无反射.

图6 正向反射和反向反射光谱随QD间相位和波长的变化

图7为G对正向反射光谱和反向反射光谱的影响.由图7可以看出：图7(a)中的低反射峰值十分接近于0， 且其位置与图7(b)中的高反射峰的位置相对应；随着G的增大，图7中的低反射峰和高反射峰的位置同时发生了明显的蓝移.这表明，可以通过调节量子点间的耦合强度改变单向无反射出现的区域.目前，纳米尺度下的单量子点与光子晶体耦合结构[8]以及多个量子点与金属纳米线耦合结构[9]的设计已在实验上成功实现，这为本文系统在实验上的实现提供了良好参考.但由于单向无反射对于量子点之间的相位变化十分敏感，且相位的精确调控仍较为困难，因此在实验上仍需对如何对相位进行精确调控做进一步探讨.

图7 正向反射和反向反射光谱随QD间耦合强度和波长的变化

3 结论

本文研究了金属纳米线中的单个表面等离子激元与2个耦合的量子点相互作用的系统的散射特性，并分析了量子点损耗率、量子点与纳米线的耦合强度、 2个量子点间的相位和耦合强度对反射光谱的影响.研究发现，系统在波长1 540 nm和1 585 nm处存在单向无反射，且当量子点间耦合强度增加时，单向无反射的区域发生蓝移.根据此前文献报道，若改变单向无反射出现的区域，需要改变2个量子点之间的相位[10]或者方位角[11]才能实现，而本文方案只需要调节2个量子点间的耦合强度就可以实现，因此本文方案可为类二极管等非互易器件的研发提供良好的参考.