◎李晓梅 孔德宏 (云南师范大学数学学院，云南 昆明 650500)

一、引言

对数比较问题是高考热点题型，一定程度上反映了学生的数学运算、直观想象、数学抽象等核心素养[1]，那么底数不同、真数也不同的对数比较大小可采用何种方法解题？本文以2020年全国高考数学全国Ⅲ卷文科第10题为例对该问题进行探究.

二、试题呈现

A．a

三、解法探究

数值比较大小的常用方法有作差法和作商法，而对数比较大小常见问题可分为三类：(1)底数相同的对数可利用函数单调性进行比较；(2)真数相同的对数可利用图像法进行比较；(3)底数不同、真数不同的对数引入中间变量(0，1等)进行比较.[2]在实际应用中，直接引入中间变量往往较难实现，需结合条件转化解决.本文从学生做题情况考虑，阐述作差法、作商法、换底公式、放缩法等不同解法[3]，探究底数不同、真数不同的对数比较大小的解题技巧，具体解法如下文.

由题易知：00上单调递增.

注：先将对数与常数作差比较，可进一步化为同底数的两对数相减，借助对数运算性质，两数相减后得到的值是一个可判断正负的对数.

注：与作差比较法类似，先与常数做比较，化简变形的过程要注意对数式与同底数对数比较大小的情况.

注：将对数的底数都换成自然数e，简化计算过程，方便学生计算，在判断正负的过程中穿插对数函数的单调性知识.

注：将三个数两两转化为同底数的对数进行比较，便可利用函数单调性判断大小.

注：该解法与解法4类似，本质是化为同底数的真数两两比较，但相较于解法4，该解法从数值本身出发，考虑真数部分值的大小，计算量明显减少.

解法6(放缩法)：若a>b>0,k>0，则有ka>kb.可根据此不等式的性质将对数式进行放缩，将三个数值均放大3倍后大小关系不变，此时3a=3log32=log38，将3a的值与最接近的整数作大小比较，即引入中间变量，有3a=log38log525=2；3c=2.故a

注：将对数a乘以k后，使得对数ka尽可能接近整数，方便计算.本质是引入整数类的中间变量，使用时需把握放缩程度，减少计算量.

四、解题反思

从一道对数比较大小的高考选择题的求解过程中可以看出高考题目的灵巧多变，更为学生学习以及教师教学引发一定思考，所谓“一题多解”更多反映的是解题思维和技巧的灵活多变，是对同一问题的多角度探究，是学生实践能力和创新意识的提升.

底数不同、真数不同的对数比较大小多引入中间变量，需观察对数式构造合适的中间变量，将对数作适当变形.本题给出了两个对数式、一个分数，一定程度上给了学生明显的提示，即考虑分数的作用，引入中间变量，或在变形过程中，考虑分数值指明的化简方向.底数不同、真数不同的对数比较大小，往往与底数相同的对数以及真数相同的对数比较大小问题息息相关，并不局限于某种固定的方法，实际求解需结合条件灵活运用，要求学生熟练掌握对数运算性质和对数函数单调性的相关知识，深入理解数形结合思想方法更有助于问题的解决.教师则需注意从学生的角度考虑解题思路，培养学生解题思维与技巧，及时发现问题并给予引导，锻炼学生解决问题的能力，发展学生核心素养，激发学生学习兴趣，让学生感悟数学的魅力.