吴文俊 吴海元

初中数学人教版八年级上册课题学习“最短路径问题”，实际上是几何中的最值问题。几何中的最值问题是指在一定的条件下求平面几何图形中某个确定的量（如线段的长度、角度大小、图形面积等）的最大值或者最小值。这类问题学生初次接触，往往无从下手，是初中阶段几何教学的难点，本人在教学过程中将这类问题归纳为四种类型：

类型一：在直线l上找一点P，使其到直线同旁两定点A、B的距离最短。

依据：两点之间，线段最短。

解决方法：作点A（或点B）关于直线L的对称点A'（或B'）连接A'B（或B'A）交L于点P，点P即为所求。

巩固练习1：如图，在等边△ABC中，边BC上的高AD=5，点P是高AD上的一个动点，E是边AB的中点，在点P运动的过程中，存在PE+PB的最小值，则这个最小值是（  ）

A：4   B：5     C：6     D：10

解题思路：显然B、E两定点在AD的同旁，欲在AD上求符合条件的点P，只需作B点关于AD的对称点，而B、C关于AD对称，因此只需连CE交AD于点P，所以CE就是PE+PB的最小值。选B

巩固练习2.如图，台球桌上有一黑球M一个白球N，如何去击白球使其撞到AB边反弹后在撞到黑球上（说明方向即可）？

解题思路：显然M、N两定点在AB的同旁，欲找撞击方向，只需作N关于AB的对称点N'，连MN'交AB于点P。利用物理学入射角等于反射角，沿NP方向撞击白球即可。

巩固练习3：如图，正方形ABCD的边长为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上求一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（    ）

A：5     B：6    C：8    D：12

解题思路：显然D、E两定点在AC的同旁，且B、D关于AC对称，连BE交AC于点P，则P点为所求。显然选D

类型二：在已知∠MON的一边ON上有一定点A，在两边OM、ON上分别找一个点P、Q，使PQ+PA最小。

依据：垂线段最短.

解决方法：如图，作定点A关于OM的对称点A'，过点A'作ON 的垂线交OM于P，交ON于Q，则点P、Q为所求，且A'Q为PQ+PA的最小值。

巩固练习1.已知∠AOB=60°，OC是∠AOB的平分线，点E在边OB上，且OE=10厘米，点F是OB上的动点（不与点E重合），点P是OC上的动点，求PE+PF的最小值。

解题思路：过点E作OC的对称点E'，过点E'作E'F⊥OB，垂足为F，交OC于点P，则P、F为所求的点，且E'F为PE+PF的最小值。（易求E'F=5  ）

巩固练习2.正方形ABCD的对角线AC长为4，∠DAC的角平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为（  ）

解题思路：显然，D为∠DAE的边AD上一定点，P、Q是AD和AE上的动点，欲使DQ+PQ最小，只需作D关于AE的对称点D'，再过点D'作D'P⊥AD，垂足為P，交AE于点Q，则D'P就是DQ+PQ的最小值。（易求D'P=2）

类型三：在∠BOC的内部有一定点A，在角的两边上有两个动点P、Q，使两动点与定点A构成的△APQ周长最小。

依据：两点之间，线段最短.

解决方法：作点A关于∠BOC两边的对称点M、N，连接MN交∠BOC的两边于P、Q，则P、Q为所求的点。且MN的长为△APQ周长的最小值。

巩固练习1：如图，∠MON=30°，P是∠MON中的一定点，点A、B分别在射线OM，ON上移动，当△PAB的周长最小时，

∠APB的值为 （   ）

解题思路：过点P分别作OM，ON的对称点P1、P2，连接P1、P2交于OM，ON于点A、B，则A、B所求的点，且P1P2为△PAB周长最小值。（易求∠APB=120°）

巩固练习2：四边形ABCD中

∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M，N使△AMN得周长最小，此时∠AMN+∠ANM的度数（  ）

解题思路：此题可以把点A看作是∠DCB内一点，欲使△AMN的周长最小，需作点A关于CB，CD的对称点A1、A2连接A1A2交CB，CD于点M、N，点M、N即为所求，此时∠AMN=2∠A1，∠ANM=2∠A2， ∠AMN+∠ANM=2（∠A1+A2）=120°。

类型四：在角的内部有两个定点A、B，在角的两边有两个动点P，Q，使两动点与两定点构成的四边形周长最小。

依据：两点之间，线段最短。

解决方法：分别过点A、B作OM、ON的对称点A'、B'，连接A'B'交OM、ON于点P、Q，则A'B'+AB为四边形ABPQ周长的最小值。

巩固练习：牧马人从A地出发，先到草地某处牧马，在到河边饮水，然后回到B处，请画出最短路径。

解题思路：分别作点A、B关于草地、河对称点A'、B'，连接A'B'交草地、河边P、Q，则行进的最短路径为A→P→Q→B。