苏 涵，李清栋

(安徽财经大学统计与应用数学学院，安徽 蚌埠 233030)

1 基本问题

本文主要讨论如下形式的退化抛物方程

(1)

其中，常数m>1，p0、q0、a>0，Ω是N(N≥1)上具有光滑边界∂Ω的有界闭区域，QT*=Ω×(0，T*)，ST*=∂Ω×(0，T*).方程(1)在物理学上表示为记忆项和吸收项相互作用下的非线性扩散现象.

进行了研究，给出了解爆破和整体存在的部分结论.近些年来，还有很多学者对于带有非线性记忆项或非局部源的抛物方程(组)解的奇性性质进行了研究，得到了方程(组)解的爆破和整体存在等相关结论[5-14].从研究结果看，对于同时具有非线性记忆项和吸收项共存的退化抛物方程(组)研究较少或结论不够完整.本文利用比较原理，通过构造合适的上下解得到了方程(1)解爆破和整体存在指标的完整结论.

为了方便讨论，我们对方程(1)做如下变形：

令v=um，则方程(1)化为

(2)

为了证明方程(2)解的存在唯一性，我们需要初值满足如下的相容性条件：

在初值满足假设(H1)～(H3)的条件下，本文首先通过考虑正则化问题得到方程(2)有唯一的古典解，进而证明了解的整体存在性和有限时刻爆破，从而给出了方程(1)的解的奇性性质.

2 局部解的存在唯一性

因为当(x，t)∈ST时，由于v(x，t)=0，m>1，使得方程(2)扩散项的系数可能为零，因而方程不是严格抛物的，称之为退化方程，所以抛物方程的古典理论不适用，因此我们考虑如下的正则化问题

(3)

引理2在(H1)～(H3)条件下，方程(3)的解vε满足vεt≥0.

证明：令Vε=vεt，当L充分大时，有

证明：令W=vε1-vε2，则W满足方程

由引理2和引理3知

因而方程(3)的解vε关于ε单调不减，有上、下界，则当ε→0时，存在极限函数v(x，t)使得

(4)

易得如下定理1.

3 解的整体存在性和有限时刻爆破

定理2当p≤max{q，1}时，方程(2)的解整体存在.

证明：由于p≤max{q，1}，下面分情况讨论：

1)p

.

(5)

2)p=max{q，1}.

c2φect+mcr+1φrec(1+r)t-mcrφ1+rec(1+r)t+mcrφ1+recrt+amcq+rφq+rec(q+r)t≥0，

定理3当p>max{q，1}时，方程(2)的解在有限时刻爆破.

定理4当p0≤max{q0，m}时，方程(1)的解整体存在；当p0>max{q0，m}时，方程(1)的解在有限时刻爆破.

注1从定理2的证明中我们可以看出，当q≥1时，方程中的吸收项比非线性记忆项更占优势，因而对任何初值，方程(2)的解可以整体存在；当q<1时，非线性记忆项占优势，只有当初值v0充分小时才能得到解的整体存在性.