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变化多样的全等三角形

2021-09-29刘家良

初中生学习指导·提升版 2021年9期
关键词:外角手拉手度数

刘家良

全等三角形形式多样,可提炼、归纳出五种常见形式.

一、平移型

例1(2020·江苏·常州)已知:如图1,点A,B,C,D在一条直线上,EA∥FB,EA = FB,AB = CD.(1)求证:∠E = ∠F;(2)若∠A = 40°,∠D = 80°,求∠E的度数.

分析:欲证两个角相等,可证这两个角所在的三角形全等.

解:(1)∵EA∥FB,∴∠A = ∠FBD.

∵AB = CD,∴AB + BC = CD + BC,即AC = BD.

∵[EA=FB],[∠A=∠FBD],[AC=BD],

∴△EAC ≌ △FBD(SAS),∴∠E = ∠F.

(2)由△EAC ≌ △FBD,得∠ECA = ∠D = 80°.

在△EAC中,由三角形内角和定理,得∠E = 180° - ∠A - ∠ECA = 180° - 40° - 80° = 60°.

注:图1中的△FBD视为△EAC沿AB方向平移得到的,平移的距离为AB的长.

二、对称型

例2(2020·湖南·怀化)如图2,在△ABC和△ADC中,AB = AD,BC = DC,∠B = 130°,则∠D等于     °.

分析:先根据全等三角形的判定方法“SSS”证明△ABC ≌ △ADC,再由全等三角形的性质得到∠D = ∠B = 130°.

解:在△ADC和△ABC中,[AB=AD],[AC=AC],[BC=DC,]

∴△ABC ≌ △ADC(SSS),∴∠D = ∠B = 130°. 故应填130°.

注:图2中的△ABC与△ADC关于直线AC对称.

变式:若去掉图2中的线段AC,其他条件不变,如何求∠D呢?

三、旋转型

例3(2020·江苏·徐州)如图3,AC⊥BC,DC⊥EC,AC = BC,DC = EC,AE与BD交于点F.(1)求證:AE = BD;(2)求∠AFD的度数.

分析:(1)欲证两线段相等,可证它们所在的三角形全等.(2)观察∠AFD是哪个三角形的外角,结合“全等三角形的对应角相等”即可得解.

解:(1)证明:∵AC⊥BC,DC⊥EC, ∴∠ACB = ∠DCE = 90°,

∴∠ACB + ∠BCE = ∠DCE + ∠BCE,∴∠ACE = ∠BCD.

∵[AC=BC],[∠ACE=∠BCD],[EC=DC],

∴△ACE ≌ △BCD(SAS),∴AE = BD.

(2)如图4,设AE与BC交于点N,

则∠AFD为△BNF的外角.

∵∠ACB = 90°,∴∠A + ∠ANC = 90°.

由△ACE ≌ △BCD,得∠A = ∠B.

∵∠ANC = ∠BNF,∴∠B + ∠BNF = ∠A + ∠ANC = 90°,

∴∠AFD = ∠B + ∠BNF = 90°.

注:图3中的△BCD视为由△ACE绕点C顺时针旋转得到的.

四、“一线三直角”型

例4(2020·江苏·南充)如图5,点C在线段BD上,且AB⊥BD,DE⊥BD,AC⊥CE,BC = DE,求证:AB = CD.

证明:∵AB⊥BD,ED⊥BD,AC⊥CE,

∴∠ACE = ∠ABC = ∠CDE = 90°,

∴∠ACB + ∠ECD = 90°,∠ECD + ∠CED = 90°,∴∠ACB = ∠CED.

在△ABC和△CDE中,[∠ACB=∠CED],[BC=DE],[∠ABC=∠CDE,]

∴△ABC ≌ △CDE(ASA),∴AB = CD.

注:对于一条直线上有三个直角顶点的图形,获取对应角相等,经常会利用“同角的余角相等”.

变式:求证BD = AB + DE.

五、“手拉手”型

例5(2020·山东·菏泽)如图6,在△ABC中,∠ACB = 90°,点E在AC的延长线上,ED⊥AB于点D,若BC = ED,求证:CE = DB.

分析:欲证CE = DB,需证AE = AB且AC = AD.

证明:∵ED⊥AB,∴∠ADE = 90°.

∵∠ACB = 90°,∴∠ACB = ∠ADE.

在△AED和△ABC中,[∠ACB=∠ADE],[∠A=∠A],[BC=DE],

∴△AED ≌ △ABC,

∴AE = AB,AD = AC,

∴AE - AC = AB - AD,即EC = BD.

注:这类“手拉手”图形中的公共角是沟通三角形全等的条件之一.

随着学习的逐步深入,同学们还会遇到全等三角形的其他形式. 当然,无论面对哪种形式,都要围绕寻找对应边和对应角来展开.

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