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三角形的中线、高线邂逅面积

2021-09-29王锋

初中生学习指导·提升版 2021年9期
关键词:王锋中线中点

王锋

【重要结论】

1. 三角形的一条中线将其分为面积相等的两个三角形.

如图1,AD是△ABC的中线,则[S△ABD=S△ACD=12S△ABC].

2. 同高(或等高)的两个三角形面积的比等于底的比.

如图1,[S△ABDS△ACD=BDCD].

【结论运用】

例1 如图2,在△ABC中,点E是BC上一点,EC=3BE,点D是AC的中点,若S△ABC=36,则S△ADF - S△BEF的值为( ).

A. 9         B. 12       C. 18           D. 24

解析:观察图形可以发现△ABD与△ABE存在公共部分△ABF,

则[S△ABD-S△ABE=S△AFD+S△ABF-(S△BEF+S△ABF)=S△AFD-S△BEF],

∵S△ABC=36,EC=3BE,

∴[S△ABES△ACE=BECE=13],∴S△ABE [=14]S△ABC=9.

∵点D是AC的中点,S△ABD [=12]S△ABC=18,

∴S△ADF - S△BEF = S△ABD - S△ABE=18 - 9=9. 故选A.

例2 如图3,在△ABC中,D,E,F分别为BC,AD,CE的中点,且S△ABC=28 cm2,则阴影部分的面积是( )cm2.

A. 21 B. 14 C. 10 D. 7

解析:∵S△ABC=28 cm2,D为BC的中点,∴S△ADB=S△ADC [=12S△ABC=] 14 cm2,

∵E为AD的中点,

∴S△BED [=12S△ADB=] 7 cm2,S△CED [=12]S△ADC=7 cm2,

∴S△BEC=S△BED + S△CED=14 cm2,

∵F為CE的中点,∴S△BEF [=12]S△BEC=7 cm2. 故选D.

【同类演练】如图4,在△ABC中,E为AC的中点,点D为BC上一点,BD ∶ CD=2 ∶ 3,AD,BE交于点O,若S△AOE - S△BOD=1,则△ABC的面积为 .

答案:10

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