数学课堂中发散思维的培养

2021-09-26时斐

新校园 2021年4期

时斐

新实施的《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，要重视学生思维创新能力、发散能力、集中能力等方面智力水平的发展和培养，按照教学原则和学生思维发展规律，开展形式多样的有效教学活动，促进学生思维能力的发展和提升。由此可见，学生发散思维能力的培养已成为教师贯彻落实新课标发展理念，实施有效教学活动的重要内容之一。

一、运用多种教学方法培养学生的发散思维能力

发散思维，又称辐射思维、放射思维、扩散思维或求异思维，是指大脑在思维时呈现的一种扩散状态的思维模式，它表现为思维视野广阔，思维呈现出多维发散状。布鲁纳说过：“探索是数学的生命线。没有探索，便没有数学的发展。”因此数学教学要特别重视学生发散思维能力的培养，它是思维过程中的最高境界。在教学过程中，可采用一题多想、一题多解、一法多用、一题多变、一空多填等方法培养学生的发散思维。

1. 一题多想。在教授“圆的切线”这一节课时，教材中给出的结论只和圆有关，而此节课的内容和许多知识都有联系。因此，在授课时可让学生自由发挥，找出相关结论，学生既学习了新知识又复习了旧知识，并且锻炼了想象能力。在课堂上我只给出：

已知P为圆O外一点，PA、PB切圆O于A、B，连接OP交弦AB于C（只给条件，不给结论），然后引导学生观察图形，思考其有什么特点。学生思维不同，所得的结论也不相同：

（1）图中有三组全等三角形；

（2）图中有六组相似三角形；

（3）图中有六组成比例线段；

（4）图中AB垂直OP，满足直角三角形性质……

这样，不仅让学生学会了三角形的相关知识，还培养了他们的想象力，更重要的是学生通过深层次的思考认识了三角形更广泛的特征，为进一步学习奠定了基础。

2. 一题多解。在讲授应用题的时候，可采用一题多解的方法锻炼学生的发散思维能力。如：在讲一元一次方程时，教师可以鼓励学生多方面思考：

一艘轮船在两码头间航行，顺流需要4小时，逆流需要5小时，已知水流速度是每小时2千米，求两码头间距离？

学生给出的解法如下：

（1）直接法

设两码头间的距离为x千米。

（2）间接法

设船在静水中的航速为x千米/小时，两码头分别为A、B。

得 4（x+2）= 5（x-2），解得 x=18。

所以 AB=4（x+2）=80。

或设船在顺水中航速为x千米/小时，两码头分别为A、B。

得 4x=5（x-4），所以 x=20。

所以 AB=4x=80。

……

3. 一法多用。在数学教学中，对一些较常见的解题方法可以引导学生自行总结，并在之后做一些相关的练习，加强学生的发散思维能力。例如，“重新分组分解法”是多项式因式分解的一种重要方法，学生掌握后，可引导学生再做一些相关练习，在实数范围内分解因式：

相关练习：（1）解方程x（x+1）（x+2）（x+3）=24，求整数解；

（2）试证：四个连续自然数积与1的和是完全平方数。

……

4. 一题多变。所谓“一题多变”，是指通过变换条件，变换结论，以及条件、结论一齐变来得到新的题目。这样做可以引导学生在学会解题后进一步深入探究，在自编自解中将题目的条件、结论推广到一般情况。这种教学方式能使学生在提高数学思维能力方面得到更好的锻炼，与“题海战术”带给学生的教益是不可同日而语的。

（1）变条件

求证：菱形相邻两边中点连线为平行四边形；平行四边形相邻两边中点连线为平行四边形；任意四边形相邻两边中点连线为平行四边形。

（2）变结论

（3）条件、结论齐变

求证：正三角形内任一点到三角形三边距离和为定值；等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离和为定值；等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离之差为定值。

5. 一空多填。在学习乘法公式时，可以引导学生练习一空多填，培养学生的思维发散能力。

（□+△）2=□2+2□△+△2；

25x2+△2-（5x-△）2=10x△。

这种练习可以使学生对公式的基本结构有更清晰的认识，在一定的练习后，可以让学生自编一空多填进行练习，对其知识的理解更有助益。

二、运用数学建模培养学生的发散思维能力

有的教师说数学建模对初中生来说太难理解，但是我认为适当地让学生接触所能理解的数学建模，对提高学生的数学学习兴趣，激发学生的求知欲，培养学生的发散思维能力非常重要。下面我通过一个简单的例题说明在进行逻辑思维推理时，怎样运用数学建模思想调动学生的发散思维：

例：已知有鸡、兔共200只，腿共640条，问鸡、兔各有几只？（鸡兔同笼问题）

这是我国古代的数学问题，通常采用假设法，然后再利用置换法求解。如：假设200只全是兔，则总腿数应有200×4=800（条），这与实际已知总腿数相差800-640=160（条）。其原因是有鸡存在，每当用一只鸡置换一只兔时，腿数将减少2（条），运用归一原理，160由2个80组成，故鸡的数量为160÷2=80（只），从而兔子的数量便可以求解了。

在正常讲解完毕后，教师可以鼓励学生进一步思考，运用另外一套思路重新看这个问题：

首先让每只鸡都抬起一条腿，让每只兔抬起两条腿，则地面上总腿数剩下640÷2=320（条）；其次让所有的鸡都“飞”向蓝天，并令所有的兔子再抬起一条腿，这样地面上就剩下兔子了，而这次减少的腿数恰好是原来动物的总数，所以兔子的总数为320-200=120（只）。

综合算式为：640÷2-200=120（只）。

通过上面的求解过程，可以推得以下计算公式：兔子的总数=已知动物的总腿数÷2-动物总数。

上述公式只用了一次除法运算和一次减法运算，比传统的假设法结合置换法要简单、容易，所以更受学生的欢迎。

三、形式多样的教学模式锻炼学生的发散思维

1. 数学课的多样性。数学课不仅仅是探究和解决数学问题，也可以通过数学竞赛、数学讲座等多种活动，改变学生的学习方式拓宽学生思维，锻炼其发散思维能力。

2. 数学融入生活。数学来源于生活，教师可以将日常生活中的利息计算、中奖概率、打折折扣等数学实际应用问题带入课堂，引导学生活學活用。也可以让学生走出教室，参加丰富多样的课外实践活动，寻找生活中的数学问题。运用数学知识解决生活中的实际问题，提高了学生的思考能力，有助于学生发散思维的培养。

四、良好的外部环境促进学生发散思维的发展

1. 相信学生。教师应相信每个学生都有创新潜能，并且要让学生感受到教师的这种信任。

2. 建立良好的师生关系。良好的师生关系是一种民主、平等、自由、和谐的关系。师生之间在交流时，可以充分自由发散思考，适时地发表自己的观点和见解，这有利于思维的创新。

3. 开展有效的交流。教师应提出一些能引起学生讨论，稍具挑战性的问题，并创设合适的情景，让学生自由、积极地讨论，在集思广益中发现新的思路。