姚兴岭，张 亮，张淑坤

（1.新乡职业技术学院智能制造学院，河南新乡453000；2.山东理工大学机械工程学院，山东淄博255000）

随着智能化技术的不断发展，机械臂在农业、医疗、煤矿及航空等领域得到了广泛的应用［1-2］。机械臂具有承载能力大、加工效率高及可连续生产等优点，在社会生产中发挥着重大的作用，是衡量一个国家智能化水平的重要参考指标之一。在科学技术的推动下，对机械臂功能要求也越来越高。现代工业对于机械臂的要求不仅仅是控制精度高，而且还要求机械臂工作时间长、能量消耗低。面对各国的工业技术快速发展，能源问题越来越被各国政府所重视，这也要求人类应尽可能地节约地球资源。近些年，随着人类对太空的探索，机械臂被大量应用，机械臂在工作过程中，由于运动轨迹路径较长，导致其能量消耗大，造成了大量资源的浪费。因此，必须尽快对机械臂运动位姿进行规划，降低机械臂能量消耗，为社会的发展贡献力量。

目前，为了节约机械臂工作过程中的能量资源，从而更好地保护生态环境，如何降低机械臂的能量消耗已经成为大量学者所研究的热点问题。例如：文献［3-4］研究了机械臂参数优化方法，以并联机械臂为研究对象，建立机械臂变换矩阵方程式，构造机械臂主动执行器能量消耗目标参数，引用差分进化算法和粒子群算法对其进行优化，比较不同状态下机械臂连杆的能量消耗，从而降低了机械臂的能量损失。文献［5-6］研究了挖掘机器人神经网络PID控制系统，分析了挖掘机器人功率特性，设计了RBF神经网络PID控制方法，通过实验对控制系统进行验证，结果表明，通过神经网络能够在线调整PID控制器参数，控制系统具有较好的节能效果。文献［7-8］研究了机械手最小能量优化算法，建立了机械手运动的雅可比矩阵，分析了机械手能量优化方案，对机械手运动轨迹进行规划，结合仿真实例对优化结果进行检验，与优化前相比，优化后的机械臂能够降低运动时的能量消耗。过去所研究的机械臂能够降低其能量消耗，但是，主要采用优化方法对机械臂运动参数和控制参数进行改进，无法对机械臂能量消耗进行预测。针对传统机械臂运动位姿的弊端，本文研究了机械臂能量可操纵性椭球节能模型，根据坐标变换建立能量消耗预测评价指标函数，设计了机械臂主动控制流程图，采用Matlab软件对机械臂不同位姿状态下能量消耗进行仿真，与无可操纵性椭球模型进行对比，分析了采样距离对机械臂能量消耗的影响，为研究节能型机械臂提供了理论基础。

1 能量评价数学模型

本文以3关节冗余机械臂为例，研究采样机械臂末端执行器数学模型，定义为可操纵性椭球，如图1所示。根据拉格朗日方程式［9-10］可得，冗余机械臂转矩表达式为

图1 采样机械臂Fig.1 Sampling manipulator

式中：θ为机械臂关节转角；τ为机械臂驱动转矩；M（θ）为机械臂惯量矩阵；h（θ）为机械臂角速度矩阵；JT（θ）为雅克比矩阵；f为外力；g（θ）为机械臂重力。

采样机械臂末端执行器工作时，机械臂关节转角变化为0，因此机械臂角速度和角加速度为0。式（1）可以变换为

机械臂末端执行能量消耗计算公式为

式中：k1，k2，…，kn为电机转矩常数；r1，r2，…，rn为相邻齿轮之间的传动比；η1，η2，…，ηn为电机输出效率；V为输入的额定电压；Tτ为对角矩阵。

由式（2）～式（6）得到能量表达式为

冗余机械臂关节不同，电机功率也不尽相同。因此，对机械臂关节电机功率w1，w2，…，wn进行标准化，其表达式为

由式（7）～式（8）可以推导出

根据欧几里德范数［11］，可操纵椭球能量消耗方程定义为

由式（9）～式（12）可以推导出

通过奇异值分解为

由式（13）～式（15）可以推导出

式（13）用于能量可操纵椭球体数学模型，如图1所示。椭球中心到边缘距离（lE）可以作为机械臂能量消耗评价指标参数。lE越大，机械臂可以用越少的能量产生较大驱动力。

为了将外力应用到能量可操纵性椭球中，采用向量定义外力的大小方向，通过极坐标系定义能量评价体系函数，具体如下：

式中：α为小区域与垂直方向角度；F（θ，α）为挖掘力。

2 执行器受力分析

机械臂末端采样挖斗受力如图2所示，主要为6个方向的力，分别为挖斗内部底部的力F1、挖斗顶部的力F2、挖斗侧壁外部的力F3、挖斗侧壁内部的力F4、挖斗侧壁边缘的力F5、挖斗顶部边缘的力F6。其中，F1、F3、F5为主动力，F2、F4、F6为被动力。

图2 机械臂末端采样挖斗Fig.2 The scoop of the sampling manipulator

2.1 F 1的计算模型

F1是6种力中最主要的一种，它类似于叶片通过土壤时产生的阻力，被称为推土力。然而，F1的模型只能在土壤处于静态状态时计算阻力。因此，本文定义了一种计算土壤处于不稳定状态时推土阻力的方法：

式中：φ为土壤内摩擦角；δ为挖斗和土壤之间的摩擦角；β为土的破坏面角；θp为突然接触角；F1为推土力；W为土壤受到的重量。

2.2 F 3的计算模型

切应力是作用在挖斗侧壁外部表面上的力，其计算方程式为

式中：r为挖斗到采样土壤的中心距离；α为挖斗与垂直方向的角度；h0为挖斗旋转轴距土壤表面的高度；ρ为土壤密度；g为重力加速度。

挖斗边缘处产生的剪应力为

式中：τmax为挖斗最大剪应力；j为挖斗采样土壤位移；k为土壤弹性模量；c为土壤之间黏聚力。

采样积分求解F3：

2.3 F 5的计算模型

挖斗在挖掘过程中，土壤受到压缩，挖斗侧面就会发生阻力。挖斗侧壁边缘的力F5计算公式为

式中：kc为土壤变形的黏聚力；kφ为土壤变形的摩擦模量；h为采样土壤深度。

F5的计算公式如下：

式中：wp为挖斗厚度；q为挖掘系数。

3 机械臂位姿控制

3.1 电机模型

采用电机驱动机械臂关节，其电机提供的电流方程式为

式中：u为控制电压；ka为放大器跨导。

电机驱动力矩方程式定义为

式中：km为电机转矩常数。

因此，可以得到电机动力学数学模型为

式中：Jm为电机转动惯量；B为黏性摩擦系数；τc为摩擦力矩。

3.2 位置主动控制

采用PID控制器对机械臂关节位姿进行控制，其控制律［12］为

式中：Kp为比例系数；Ki为积分系数；Kd为微分系数；θd为关节期望角位移；θ为关节实际角位移。

机械臂关节位姿控制系统电流输出计算公式为

式中：Kc为电流转换因子；KPM为速度内环比例增益系数；KIM为速度内环积分增益系数；eM（t）为角速度内环误差。

角速度内环误差计算公式为

式中：KPL为位置环比例增益系数；θ′M为电机速度反馈；γ为传动比。

机械臂关节位置主动控制流程如图3所示。

图3 采样机械臂主动控制Fig.3 Active control of the sampling manipulator

4 能量仿真分析

为了评价采样机械臂挖斗在不同运动轨迹下能量变化结果，采用Matlab软件对其仿真。假设连杆长度分别为l1=0.5 m、l2=0.4 m、l3=0.5 m，连杆质量分别为m1=0.5 kg、m2=0.4 kg、m3=0.5 kg。当采样机械臂采样点为x=0.4 m、y=-1.0 m，在无可操纵性椭球采样模型条件下，运动位姿如图4所示，能量评价指标变化如图6所示。在有可操纵性椭球采样模型条件下，运动位姿如图5所示，能量评价指标变化如图7所示。当采样机械臂采样点为x=1.0 m、y=-1.0 m，在无可操纵性椭球采样模型条件下，运动位姿如图8所示，能量评价指标变化如图10所示。在有可操纵性椭球采样模型条件下，运动位姿如图9所示，能量评价指标变化如图11所示。

图4 运动姿势（无采样模型）Fig.4 The motion posture（without sampling model）

图5 运动姿势（有采样模型）Fig.5 The motion posture（with sampling model）

图6 能量平价（无采样模型）Fig.6 Energy evaluation（without sampling model）

图7 能量平价（有采样模型）Fig.7 Energy evaluation（with sampling model）

图8 运动位资（无采样模型）Fig.8 The motion posture（without sampling model）

图9 运动位资（有采样模型）Fig.9 The motion posture（with sampling model）

分析图4、图6可知，当采样机械臂采样点为x=0.4 m，y=-1.0 m，在无可操纵性椭球采样模型条件下，机械臂连杆1没有垂直向下，单位长度的机械臂需要的力越大，导致能量消耗较多。分析图5、图7可知，当采样机械臂采样点为x=0.4 m，y=-1.0 m，在可操纵性椭球采样模型条件下，机械臂连杆1垂直向下，单位长度的机械臂需要的力越小，导致能量消耗较少。

分析图8、图10可知，当采样机械臂采样点为x=1.0 m、y=-1.0m，在无可操纵性椭球采样模型条件下，机械臂连杆1没有垂直向下，单位长度的机械臂需要的力越大，导致能量消耗较多。分析图9、图11可知，当采样机械臂采样点为x=1.0 m、y=-1.0 m，在可操纵性椭球采样模型条件下，机械臂连杆1垂直向下，单位长度的机械臂需要的力越小，导致能量消耗较少。

图10 能量平价（无采样模型）Fig.10 Energy evaluation（without sampling model）

图11 能量平价（有采样模型）Fig.11 Energy evaluation（with sampling model）

因此，同等条件下，采用可操纵性椭球采样模型，采样机械臂相对更加省力。随着采样土壤的距离越远，采样机械臂也更加费力，能量也消耗得更多。

5 结论

针对采样机械臂挖斗挖掘土壤时消耗能量较多问题，设计了可操纵性椭球采样模型，通过不同运动位姿状态下检验能量消耗，主要结论如下：①在无可操纵性椭球采样模型状态下，采样机械臂运动位姿较差，单位连杆长度受力较大，导致其消耗的能量较多。在可操纵性椭球采样模型状态下，采样机械臂运动位姿较优，单位连杆长度受力较小，导致其消耗的能量较少。②在同等条件下，采样机械臂的采样点不同，单位连杆机械臂受力不同，消耗的能量也不同。采样机械臂运动距离越远，其采样过程中消耗的能量也越多。③本文研究了机械臂在不同运动位姿状态下，其采样过程中能量消耗的评价指标函数。但是，本文对于机械臂采样过程中运动轨迹精度并没有展开深入研究，未来可以作为进一步研究对象。