卓丽云，顾立志

（1.厦门工学院机械与制造工程学院，福建 厦门 361022；2.华侨大学机电及自动化学院，福建 厦门 361012）

1 引言

工程制图技术作为工程界的一种交流技术思想的有效手段已有百年历史，最为典型的应用例子有建筑设计图和机械制图。早期，由于计算机技术比较落后，人们把注意力集中于空间实体2D视图的研究，总结出著名的三视图。随后，对空间实体2D视图的研究日益浓烈，目前表达空间实体结构形状的2D视图，主要有视图、剖视图、断面图、局部放大图和常用简化画法等几种表达方案的综合应用。随着计算机技术的进步，计算机图形学应运而生，并使空间实体的三维表达或视图2D的三维复原成为可能。体素特征、实体剖分、轮廓再现、结构立体几何、边界轮廓表示等都离不开对体素的识别、提取、表达、变换、再表达。现有的计算机辅助设计软件，如文献[1]虽可提供体素的创建、变换与组合，但不能判断以何种角度投射空间实体来表达物体为最优。目前，空间实体的三维表达最为典型的就是轴测图。轴测图是用平行投影法将物体连同其参考直角坐标系沿不平行于任坐标平面的方向，将其投射单一投影面上所得到的具有立体感的图形[2]。轴测图相对于实体的2D视图具有直观性较强、立体感好等优点，而且对看图人员不必要求三维空间思维、空间想像能力和和形体表达的能力，适合于大众人员读图[3]。但轴测图最大的缺点是手工绘制时其是一项非常耗时、繁琐、艰难的工作。虽然得益于计算机辅助设计软件的成熟发展，3D模型的创建有了飞跃式的发展，从而由3D模型便可以很方便地生成轴测图，但是以何种方式表达才能最佳表达出空间实体的结构形状等方面研究甚少[4]。在人脸识别、船舶、油气储量和轴承研究中已引入模糊识别方法[5-8]。基于模糊识别理论的评价方法在水质质量评价中应用甚多[9-12]。因此，探索空间实体最佳表达有待成为一种新颖的表达方式[13]。

根据最佳表达的内涵，在一个视口内能够获得最大量有效信息。迄今，描述空间形体的方法可大体归纳为五种，即线框法（WF）、结构立体几何（CSG）方法，边界表达法（B-rep），特征描述法（FBM）和参数化方法（GDS）[14]。但是，这些方法所关注的更多地集中于形体特征的描述上，而对形体本身的三维表达缺乏系统而深入的探索和研究。而在一个视口内获最大量有效信息这一点恰恰在现代图形学、在数字化设计制造中占有重要的地位，特别是工程图、计算机图形学等的一个发展方向就是寻求空间形体恰当的三维表达。因此探索空间实体的三维最优表达具有重要的理论意义和工程应用价值。

根据实体几何特征和三维最佳表达的基本要求，提出并构建三维最佳表达的评价指标体系。基于模糊模式识别理论知识，结合空间实体最佳表达的评价指标，构建空间实体最佳表达的模糊模式识别模型，借助力于计算机即可快速得出实体的最佳表达方案。最后，以一叉架类机械零件为例进行验证。

2 空间实体最佳表达的模糊模式识别模型构建

2.1 空间实体最佳表达的基本要求

在机械制图和计算机图形学中，2D-3D转换和实体图形正确且完整的表达是基本而重要的问题。空间实体最佳表达的基本要求即是指能够真实反映给定空间三维实体足够完整的信息表达方案—它不仅必须是所有表达方案中的最佳方案，而且必须提供完整空间实体的信息，（当然可以用标注和文字等来进行辅助说明—但不在这里研究之列），因为再好的图样本身也不可能完全显示出空间实体原本应有的所有信息[15]。

对于某一结构形状的空间实体，确定其三维最佳表达主要遵从以下四条原则：

（1）图形清晰：指形体的图形表达能充分体现空间物体的结构，具有足够的表达完整性，尤其是较隐蔽结构要避免被遮挡，且不出现线或面的投影积聚现象；

（2）图形富有立体感：指图形上物体表面变形的程度足够小，体现多面性，符合人们的视觉习惯，最佳状态是形体的“全息照片”；

（3）易作图性：作图简便，指形体的图形表达方案符合人们的绘图习惯，具备工程制图能力的人员能够在正常所需时间内完成图形的绘制；

（4）图样的可度量性好：指从形体的图形表达方案中能够方便地获得形体的实际尺寸数值。

2.2 三维最佳表达的评价指标

运用计算机绘图软件，空间实体作图的简便性和可度量性均不会存在太大的问题，因此对这两项因素不作考虑。那么，“空间实体最佳表达”主要就是指零件各组成部分的结构形状表达得尽可能清晰，绘制的图样立体感尽可能强。简而言之，这里对各种表达方案是否符合“空间实体最佳表达”的评价标准即是“图样的清晰性”和“图样的立体感”。

2.2.1 三维最佳表达“清晰性”的评价指标

图样的清晰性即所选择的三维表达能充分体现空间实体的形状结构，具有足够的表达完整性，尤其是隐蔽结构要避免被遮挡，且不出现线或面的投影积聚现象。影响空间实体三维表直观性的因素主要是投影方向的选择和投影面位置的确定，而其中投影方向的选择是主要的，因为投影方向直接影响图形上物体可见部位的多少。因此，为了达到“清晰性”的标准，要先确定形体大体上的投射方向，然后确定具体的投影角度。这里提出的“ε1ε2理论”就是以投影方向的投影角作为判别图样表达清晰性的评价指标的原理方法。

初步确定空间实体的投射方向时，须根据空间实体的形成方式、各部分的形状、结构及其相对位置，以主要突出表现形体的主要表面为目的确定大体上的投射方向。常用的三维投影方向，如图1所示。从右、前、上方向左、后、下方投射，如图1（a）所示。从左、前、上方向右、后、下方投射，如图1（b）所示。从右、前、下方向左、后、上方投射，如图1（c）所示。从左、前、下方向右、后、上方投射，如图1（d）所示。

图1 常用的四种三维投影方向Fig.1 Four Commonly Used Three-Dimensional Projection Directions

如图2（d）所示，过原点O沿投影方向作线段OK。其中，线段OK与三个投影轴X、Y、Z的夹角分别为α、β和γ叫做投影方向O K的方向角，线段OK在三个坐标面上的投影分别为O K H、O K V和O K W，各面投影与相应投影轴的夹角分别为ε1、ε2和ε3叫做投影角。显然投影方向不同，投影角不同。常用三种三维表达的投影图，如图2（a）～图2（c）所示。

图2 投影方向和投影角图Fig.2 Projection Direction and Angle Diagram

由图2（d）可推导出投影方向角与投影角的关系式：

由方向角的几何关系可得：

在表达基本立体外部结构时通常采用正等测的投影方向获得理想的三维表达图，但是机械零件大部份含有凹腔等内部结构，这时就要利用投影计算法，以求得最能反映物体形状特征的三维投影方向角。具体例子如图3所示的形体及投影角，其中，S为投影方向。由图3可知，为了能够获得清晰的三维表达图，投影角的选择范围应为入式（1）和式（2）可求得实际方向角为即确定了该物体三维表达最清晰的投影方向，从而得到如图4（a）所示的三维表达最佳图。从图4的三种不同投影方向角所获得的三维表达可以发现图4（a）比图4（b）和图4（c）的直观性好，因为它的投影方向是根据物体的形状特征确定的。

图3 投影方向的选择Fig.3 Selection of Projection Direction

图4 三维表达方案的比较Fig.4 Comparison of Three-Dimensional Representation Schemes

2.2.2 三维最佳表达“立体感”的评价指标

”图形的立体感”即图形上物体表面变形的程度足够小，符合人们的视觉习惯。现有的空间实体三维表达主要有正（斜）等测、正（斜）二测、正（斜）三测等。这几种表达各自存在着一定的优缺点，其立体感效果探讨如下：

从立体感效果方面比较，正二测的立体效果较好，因为它所采用的投影方向与人们观察零件的一般视线一致，且与投影面垂直，符合人们的视觉习惯。正等测属于直角平行投影，它对物体形状和位置的表现比较准确，图形的直观性、立体感较好，但由于正等测Z轴与投影面的倾角较大（成35°），它常给人一种前倾的感觉，视觉上的前小后大现象比较严重。正二测较正等测的立体感强，具有重心稳定、形态自然的优点。另外，当物体外形上有斜面时，正等测会使某一面变成一条线而失去立体感（如当V面上存在45°线时）。此时采用正二测便可避免这种情况；或者当物体高大，正面形状比较集中时，采用正二测也比较适当。

斜等测画出的图形具有呆板、变形大、直观性和立体感较差等缺点，但作图简便。目前主要用于绘制给水排水、采暖通风和空气调节的管道系统图。斜二测投影方向与人们观察的视线方向不一致，所以它的图形不符合人们的视觉，故立体感不好（给人以歪扭的感觉）。因为斜二测对物体正面的表达既简便又真实，正面形状保持原形，所以绘制正面形状复杂的零件有独到的优点—当物体上只有正面形状复杂的情况下可用斜二测。它通常用在机械图上，用以表达一面有较多的圆或曲线的零件。

正三测的三个轴向变形系数、三个轴间角均不相同，正三等测图变化丰富，若选择得当，物体立体感会很强。

一般来说，正轴测投影的立体感强于斜轴测投影。对于正轴测投影来说，其变形系数r>p>q时立体感较好，因为它符合表现物体形状的观察状态。根据人们的习惯和总结，一般p：q：r=0.9：0.5：1立体感最好，且当物体的宽度远远小于长度时，应把q值稍微放大。因此，确定了轴向伸缩系数比p：q：r=0.9：0.5：1作为一般空间实体三维最佳表达立体感的评价指标标准值。

3 应用模糊模式识别方法方案优选

根据上述两种评价指标，已经可以选择出相对比较合适的空间实体三维表达方案。但是分别满足上述两个评价指标的方案仍会有很多种，而且满足“清晰性”指标的方案不一定满足“立体感”指标，而满足“立体感”指标的方案也不一定满足“清晰性”指标。必须从多种较好方案中选出唯一最好的方案。因此，空间实体最佳表达的选定必须综合考虑“清晰性”和“立体感”两个指标，并建立一种综合评判方法。那么如何选出能最好地兼顾这两种指标的最佳方案呢？其实这个问题在本质上是模糊的。因此，这里提出并采用模糊数学的方法进行研究即利用模糊模式识别的方法来选择空间实体的最佳表达。应用模糊模式识别方法进行方案优选一般需要进行如下步骤：

3.1 确定方案集

根据实际情况，列出所有待选的方案组成方案集。如果遇到待选的方案只是一个范围，可有无数种连续性的选择，这时需要先对方案集进行离散化处理。这里所研究的空间实体最佳表达就属这类情况。

在通过“ε1ε2方法”确定的符合投影角范围的表达方案时，并没有得出最佳方案。实际上此时由于投影方向在空间一定范围之内还是可以任意变动的，所以可以说还有无数种方案有待选择。而要对无数种方案进行选择是不可能的，这里提出一种解决问题的方法—无数种待选方案的离散化，即在允许范围内列出具有一定间隔的均布投影方向，从而得到一系列的方案。只要间隔足够小，那么方案就足够多，应该对最佳方案的选择影响不大。如果对选择结果不太满意，那么还可对最接近结果的若干种方案进行比较，最终得到最好的选择。

3.2 确定评价指标

一般来说，评价指标必须根据实际要求来确定，最终所选定的评价指标须是最能反映对方案的实际要求的若干个特征量。而在大部分方案优选的模糊模式识别中，对评价指标都有比较明确的要求。例如在某仪表结构设计中对受载荷为50N的滑动支承的选择—要求运动精度较高、对温度变化不太敏感、耐磨性较好、对摩擦力矩和成本无特殊要求，明显地可确定6个评价指标：运动精度、摩擦力矩、对温度的不敏感性、承载能力、抗磨损性能、成本等。这里的研究评价指标，对于具体问题可在评价指标序列中选取并形成评价指标集。评价指标序列有：｛清晰性，完整性，立体感，美观，易作图性，可度量性，简洁性｝。

3.3 确定各方案对评价指标集的模糊关系矩阵

设根照给定的条件可以列出符合要求的n种方案，则构成方案集

各方案的评价指标有m项，则构成评价指标集为：P j=。首先要求各方案对各项评价指标的隶属函数，从而得到方案T i对P j项评价指标的标度值为A ij：

再将标度值通过下式进行归一化处理，到第i种方案对第j项评价指标的隶属度：

从而所有方案的评价指标构成了模糊关系U，用模糊矩阵表示如下：

式中：U i—第i类方案评价指标构成的模糊关系；R ij—各方案对各评价指标的隶属度，且满足

3.4 已知要求对评价指标的模糊关系

采用同3.3的方法，可建立起已知要求对评价指标的模糊关系S，它一般可用单列矩阵表示：

式中：S j—已知要求对评价指标集各因素的隶属度，且满足1(j=1，2，…m)

3.5 贴近度的计算

一般在进行方案或类型的优选时，可用最大值、最小值贴近度公式计算。根据上述条件用最大值、最小值贴近度公式表示：

根据上述公式计算各方案对已知要求的贴近度，最终构成了模糊关系矩阵。通过比较，最大数值所对应的方案即为最佳方案。

4 模糊模式识别理论在空间形体表达方案优选的应用实例

把上述模糊模式识别理论和空间实体最佳表达的评价指标应用于如图5所示的叉架类机械零件，进行三维表达的实际优选。

图5 叉架类机械零件Fig.5 Fork Frame Type Mechanical Parts

4.1 投影角ε1、ε2的确定

通过对图5进行分析可知该零件是非对称结构，主要投射方向采用从左、前、上方向右、后、下方的投射方向最合适。根据图上的尺寸可知，结合式（1）可计算出。在图（5）中作出，可见在这个方向上并不会产生面或线的积聚现象。因此，投影角取值主要由ε1和ε2确定，根据投影角的选择范围应为，则实际选用的投影角范围必须满足。为了确定最佳投影角的评价标准，这里将取值范围的中值作为理想值即正平面投影角的理想值为ε10，侧平面投影角的理想值为ε20，则有：

4.2 三维表达方案集的确定

根据实际投影角的取值范围，结合图5的零件结构，有常用的5种表达方案，列入表1。运用模糊模式识别理论进行分析对比，从而选出最佳表达。

由表1可得方案集Ti=｛T1，T2，T3…T n｝＝｛正等测，正二测1，正二测2，正三测，斜二测｝。

表1 几种三维表达类型及其参数Tab.1 Several 3D Representation Types and Their Parameters

4.3 各方案对评价指标集模糊关系矩阵的确定

由于清晰性评价指标与立体感评价指标有较大区别，为方便于隶属度的计算，这里采用两个层次的模型—二级模型。先对第二级因素进行分析得出下层最佳结果，再以下层因素分析的结果作为上层（第一级）因素分析的输入值，最终得出综合最佳结果。第一级因素的评价指标为，第二级因素的评价指标为。其中代表清晰性的二级因素代表立体感的二级因素。

4.3.1 第二级因素的分析

（1）清晰性的第二级因素的分析

由4.1投影角ε1ε2理论计算可知投影角，投影角理想值，实际投影角的取值范围将每种方案的实际投影角与投影角理想值进行比较，确定方案T i对评价指标的标度值的计算式如下：

将表1中的各种方案的实际投影角ε′1,ε′2代入式（8），可得各方案T i的二级清晰性评价指标的标度值：

再将标度值A′i j代入式（4）进行归一化处理，得到第i种方案对第评价指标的隶属度，从而所有方案的评价指标构成了二级模糊关系，用模糊矩阵表示如下：

那么根据最大值、最小值贴近度式（7）计算可得：

（2）立体感的第二级因素的分析

由上述已知方案集T5＝{正等测，正二测1，正二测2，正三测，斜二测}，评价指标集为，标准评价指标集为。每种方案的实际投影角与轴向伸缩比标准评价指标值进行比较，确定方案T i对评价指标P S2=的标度值的计算式：

将表1中的各种方案的实际轴向伸缩比系数p、q、r代入式（9），可得各方案T i的二级立体感评价指标的标度值：

根据最大值、最小值贴近度式（7），计算可得：

4.3.2第一级因素的分析

完成第二级指标的分析后，下面对第一级的因素PF=进行综合分析。由于清晰性的重要性比立体感的重要性高，所以这里取权重为BF={0 .6，0.4}，从而得到模糊关系矩阵SF：

由前面4.3.1的二级因素的计算结果可得一级因素的模糊关系矩阵UF为：

同样根据最大值、最小值贴近度式（7），计算各方案对已知要求的贴近度：

由择近原则可知，因第1种表达方案的值（UF，SF） 最大，故第1种表达方案即正等测为图5叉架类机械零件的三维最佳表达。

5 结论

这里提出机械产品的三维最佳表达的概念和内涵，构建了三维最佳表达的图形清晰性、立体感、作图简便性和可度量性为评价指标体系。

根据空间实体的三维表达的基本要求，确定选择清晰性和立体感建立优选模型。根据清晰性的评价指标提出和构建了投影角ε1ε2方法；根据立体感的评价指标确定了轴向伸缩系数比方法；以模糊识别理论为基础，结合空间实体几何特征，运用贴近度算法和层次因素分析方式构建了模糊关系矩阵，进而得到最佳表达优选模型。

这里所建立的模糊优选模型提供了一种按零件几何特征确定其三维最佳表达的方法。它适合于组件、部件和机器装配图的立体最佳表达方式。运用模糊优选模型和算法，通过编程和上机运算，既可便捷地优选出三维最佳表达。

以叉架类零件为例进行模糊模式识别和计算，结果表明，这里提出的模糊优选模型和算法有效、实用。