摘 要：在线教学便于教师展示学生的学习成果，学生间独特的解题思路和方法成为同侪学习的资源。赏析同伴分析问题的不同观点与角度，有助于拓宽学生的视野，获得豁然开朗的学习体验。教师引导学生赏析不同的解题方法，体会这些方法之间的数学原理和联系，有助于学生将零散知识结成知识网络，获得思维层次的跃升。

关键词：圆;一题多解;线上教学

线上教学与在校教学的物理空间不相同，师生之间的语言交流、情感交流相对难以实现。但线上教学所存在的时空灵活性、资源迭代性、过程留痕性等特点，为学生储备终身学习的能力有所帮助。笔者在线上教学时，注重分享学生丰富多彩的思考结果，以同伴的智慧激励更多同学积极思考，收到较好的教学效果。现以一道圆的综合问题为例，呈现学生的多种解法，学生思考的多样性为线上教学提供了丰富资源。

学生对一个问题的不同解法是学生思维多样性的体现，有助于挖掘数学问题的潜在价值，揭示问题的本质。分享交流学生的解题智慧，学生对问题分析的观点与角度越丰富，越有助于学生拓宽视野，打开解题思路，培养学生从不同的角度分析问题、解决问题的能力。用多种方法解决问题，这些方法之间存在着可相互转化的联系，有助于知识生成从零散变得系统，思维从浅层走向深刻。

一、 问题呈现

如图1，P是⊙O外的一点，PA是⊙O的切线，A是切点，PO与弦AB交于点F，且PA=PB，延长AO交⊙O于点C，交PB的延长交于点Q。

（1）求证：PB是⊙O的切线;

本题是基于四川省樂山市2018年中考数学试卷第24题改编而成的。根据SOLO分类理论，改编时围绕着直线与圆的关系设置难度不同的三个小题，问题（1）考查学生是否掌握圆的切线的证明问题，考查的思维水平处于单点结构水平;问题（2）考查学生是否能够关联三角函数、相似三角形、勾股定理综合解决问题，考查的思维水平处于多点结构水平或关联结构水平;问题（3）考查学生是否理解平行线分线段成比例的基本事实，三角形的中位线定理是平行线分线段成比例定理的特例，考查的思维水平处于关联结构水平或抽象扩展结构水平。

二、 答题分析

对于问题（1），笔者分析了所教两个班87位学生在线提交的答案，正确率约为94.25%。其中56位学生采取证明三角形全等的方法解决问题，25位学生分别利用△OAB、△PAB为等腰三角形，根据等边对等角的原理，证明∠PAO与∠PBO相等。1位学生根据OA=OB说明点O在AB的垂直平分线上，根据PA=PB说明点P也在AB的垂直平分线上，由PO垂直平分AB进一步展开证明。全部学生中，有5位学生做错或者放弃作答。其中，放弃作答者1位。直接根据PA=PB，错用“切线长定理”推出∠PBO=∠PAO=90°的学生有3位。作辅助线出错，认为连接OB的同时也可直接作OB⊥PQ，这样出错的学生有1位。

问题（1）解题思路如下：如图2，连接OB，由PA=PB、OA=OB、PO=PO，证得△PAO≌△PBO，推出∠PBO=∠PAO。因为PA是⊙O的切线，则∠PAO=90°，从而推出∠PBO=90°，又OB是⊙O的半径，所以PB是⊙O的切线。

对于问题（2），87位学生正确率不足79.31%。其中64位学生运用三角函数（或相似三角形的性质）、勾股定理，准确计算得AP=6。另有5位学生在解答的思路上与上述同学一致，但因为计算出错未能得到准确结果。因为解题时间限制或者没有解答思路，有13位学生放弃作答。另外还有5位学生围绕已知条件堆砌结论，而这些结论对于最终结论的推导没有关联作用。

三、 解法分享

问题（3）要求学生具备合理的分析问题的能力及化归的思想，适合一题多解，不同类型的解答反映出学生的数学思维处于不同水平。若为本题赋分值为10分，笔者所任教年级全体学生的平均分是3.9分，说明多数学生仅仅能够提取出熟悉的数学情境，并在这个情境中完成一定的计算和推理，但无法完成整个题目的解答。有的学生运用了较多的知识，做了大量具体的计算，完全或基本上解决了问题，但是解法计算烦琐，同时解法只能处理题目的特殊情况。有的学生应用了平行线分线段成比例的事实解答问题。有的学生用了面积法，只需做较少的计算，解答过程更为简洁，解题过程揭示问题本质，解法可以处理一般情况或对问题进行推广。下述5种解法，体现了学生不同的思考路径。

方法1：本法由欣铭、观坤、诗湲、华南等同学提供。

方法2：本法由彦纬、宇森、梓灏等同学提供。

方法3：面积法，本法由彦宇等同学提供。

方法4：直接计算法，本法由吴洋、志邦等同学提供。

方法5：建立坐标轴法，本法由杜理同学提供。

四、 教学反思

教学的立足点是培养学生的核心素养，增强学生对知识理解及应用的能力，切不可只是为了解题而教题。对本题的分析应展现思索的过程，分析知识点的来龙去脉，归纳内在的思想方法，启发学生的联想。重视定理的理解性学习经历，有助于提高学生的联想类比及应用的能力，提高学生的综合分析问题的能力。一题多解，可让学生认识到解法的本质，分析解法的一般性、特殊性及内在联系。

学生在线上提交各自的解答，有助于教师透过数据及时、准确地分析学情，有助于教师发掘学生多种方法的智慧瞬间，给予学生展示自己精彩想法的机会，在相互赏识中拓宽学生的思维，让学生感受不同的思考角度。学生丰富多样的思考结果是宝贵的学习资源，能鼓励学生提升思维品质，有助于开拓学生的思维，是全面提高学生数学核心素养的教学举措。

参考文献：

[1]郑定磊.数学核心素养观下中考压轴题评价功能及备考建议[J].福建教育学院学报，2019（6）.

作者简介：

陈燕，广东省湛江市，湛江一中培才学校。

①文章是广东省教育科研“十三五”规划2020年度教育科研一般项目课题“追本溯源：基于数学史的单元主题教学研究”（立项编号：2020YQJK384）的研究成果;文章是广东省教育研究院教育研究课题“提升初中生数学语言能力的教学实验研究”（立项编号：GDJY-2020-A-s094）的研究成果。