付 军

(安徽省六安皋城中学 237000)

笔者是初中的一名数学教师，近日在陪同初三学生学习的过程中，遇到了这样一道题目，通过教学中学生的探究与作答，与出题人给于的参考答案进行对比，发现了一些问题，引发了笔者的一些思考.

一、原题重现

例1 (浙江省宁波市中考题)若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．

(1)已知△ABC是比例三角形，AB=2，BC=3，请直接写出所有满足条件的AC的长；

(2)如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADC．求证：△ABC是比例三角形．

二、参考答案重现

解(1)因为△ABC是比例三角形，且AB=2、AC=3，

(2)因为AD∥BC，所以∠ACB=∠CAD，

又因为∠BAC=∠ADC，所以△ABC∽△DCA，

因为AD∥BC，所以∠ADB=∠CBD，

因为BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠CBD，

所以∠ADB=∠ABD，所以AB=AD，

所以CA2=BC·AB，

所以△ABC是比例三角形；

因为AD∥BC，∠ADC=90°，所以∠BCD=90°，

所以∠BHA=∠BCD=90°，

又因为∠ABH=∠DBC，所以△ABH∽△DBC，

三、题型分析

此题目类型属于近些年比较流行的“新定义”型.所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.通过该题目的三个设问来看，笔者认为，出题人的意图应该是给定“比例三角形”这样一个没有学过的一些概念，从而在学生理解概念的基础上，设置了三个问题.第一个问题意在考查“比例三角形”简单应用；第二个问题意在考查如何判定“比例三角形”；第三个问题需要结合辅助线的添加以及相似三角形的相关知识，意在考查“比例三角形”的灵活运用.

四、问题呈现

笔者所在学校的学生为电脑摇号分班，班级两极分化现象较为严重.学生们在做这道题目时，大部分同学只能完成前两个问.对于第三个问，学生做起来有一定难度.为了使题目有区分度，出题人这样设置三个问题无可厚非.但笔者发现成功做出第三问正确答案的同学，几乎都没有选择参考答案提供的方法.这引起了笔者的思考，是学生们的思维方式有问题还是第三问的设问有问题？下面将学生的做法呈现如下：

设AD=AB=a,DC=b.

在Rt△ADC中,根据勾股定理可得AC2=AD2+DC2=a2+b2;

在Rt△ABC中,根据勾股定理可得BC2=AC2+AB2=2a2+b2;

在Rt△BCD中,根据勾股定理可得BD2=BC2+CD2=2a2+2b2.

这种做法很明显比参考答案更简洁，学生也更容易理解，但问题在于如果用这样方法的话，解答过程中和“比例三角形”这个概念关系不大，甚至可以跳脱出这个题目，单独将第三问设立为一个独立问题：

五、笔者思考

一道题目的设问，梯度上应该是由易到难，层层递进.几个设问之间也应该是相互呼应，考查方向明确而且符合学生的认知水平.基于以上考虑，笔者认为，此题第三个设问，如果改成

“(3)如图2，在(2)的条件下，当∠ADC=90°时，求的值．”是否更自然，合理一些？这样的更改的话，如果学生依然沿用“勾股定理”的解法，解答如下：

设AD=AB=a,DC=b.

在Rt△ADC中,根据勾股定理可得AC2=AD2+DC2=a2+b2;

在Rt△ABC中,根据勾股定理可得BC2=AC2+AB2=2a2+b2;

发现无法解答，进而在思维困惑下，重新回归题目，发现设AB=x,BC=y.

利用第二个设问的结论，可以得AC2=AB·BC=xy,

在Rt△ABC中,根据勾股定理可得BC2=AC2+AB2.

这样设问使得题目更连贯也更符合学生的认知，而且此题的答案是黄金分割知识中的黄金数，因而可以在此基础带领学生们进一步探究AB和BC的交点O的特殊性.第四个设问也应运而生：交点O是否为线段AB的黄金分割点？交点O是否为线段BC的黄金分割点？

笔者认为，“解题”的目的不仅是为找到正确答案，更重要的是搞清问题的来龙去脉，建立学习的整体结构，发展数学核心素养.“理解数学一理解教学一理解学生”，让学生在学习的过程中逐步达成“获得数学的基本思想’的目标，提高数学素养，发展思维能力.问题之解此中来,“问题”与“解”才更有价值.