张西丁

(广东省交通规划设计研究院股份有限公司,广东 广州 510507)

0 引 言

我国是地震多发国家，近年来地震发生频繁，造成大量结构毁坏。桥梁作为生命线工程，一旦失效将导致重大生命和经济损失。因此对桥梁进行抗震性能分析与评价是极其重要的。我国已建和在建的桥梁中，桥型以中小跨径的钢筋混凝土或预应力混凝土梁桥为主，下部结构通常采用桩柱式轻型桥墩[1]。对于这类桥梁，通常采用延性设计和减隔震设计两种抗震体系。延性设计通过利用桥梁墩柱发生塑性变形，延长结构周期，耗散地震能量，缺点是震后桥墩发生了塑性变形不易修复；减隔震设计利用桥梁上、下部结构的连接构件(支座、耗能装置)发生塑性变形或增大阻尼，延长结构周期，耗散地震能量，从而减小结构地震反应，桥墩保持在弹性范围，震后通过更换减隔震支座即可恢复正常使用[2,3]。因此，现在减隔震体系被越来越多地应用到抗震设计中。减隔震桥梁抗震分析可采用反应谱法、时程法和功率谱法。反应谱法是线弹性分析方法，方法简洁，在一定条件下，对减隔震桥梁进行等效线性化处理，可采用反应谱法进行减隔震桥梁的抗震分析。研究表明，只考虑结构的水平地震作用时，多振型反应谱法通过迭代计算可以得到较理想的计算结果[4,5]。

唐光武等[6]以3×40 m连续T梁桥为依托，基于单自由度模型的单振型反应谱法修正方法，得出了考虑减隔震装置特性单自由度桥梁的等效结构阻尼比，以此来修正设计反应谱，求得地震地震响应。程玉营[7]基于4×25 m连续小箱梁桥，研究了单模态和多模态反应谱迭代法对减隔震分析的适用性，和时程结果对比，可用度较高。目前关于反应谱迭代法在简支梁桥中的适用性研究的文献很少。

本文以桥梁设计中常用的30 m简支梁桥为背景，利用有限元软件MIDAS Civil，基于新版抗规中的多振型反应谱迭代法进行分析，并与时程分析结果进行对比，探讨该方法对减隔震设计的适用性。此外，通过对支座等效刚度和全桥等效阻尼比等迭代参数进行研究，探索出一种简化的迭代方法。

1 工程概况及有限元建模

1.1 项目介绍

某路基宽度为26 m双四高速公路，桥梁采用2×12.75 m分幅布置，单幅桥面净宽12.5 m。桥梁上部结构采用多联3×30 m先简支后桥面连续预制小箱梁结构，梁高1.6 m。下部结构采用D140-D160 cm桩柱式桥墩。桥梁断面形式如图1所示。该高速公路桥址区场地土为软弱土～坚硬土，场地类别为Ⅲ类，抗震设防烈度为Ⅶ度，基本地震加速度值为0.10g，反应谱特征周期为0.45 s。桥梁采用减隔震体系，支座选用高阻尼橡胶支座，型号为HDR(Ⅰ)-520×181-G0.8-e80，每片小箱梁两端各布置一个支座。

图1 桥梁横断面图(半幅)

1.2 有限元模型建立

1.2.1 支座的模拟

根据文献[2]，高阻尼支座的恢复力模型可采用双线性模拟，其恢复力模型如图2所示。由文献[3]可查出支座的设计参数，屈服前水平刚度Ku=946 kN/mm;屈服后水平刚度Kd=949 kN/mm;屈服强度Fy=81 kN;水平等效刚度Keff=1.95 kN/mm;支座等效阻尼比ζ=015。应用时程法计算时，用双线性弹塑性单元来模拟高阻尼支座，这种模型可以考虑高阻尼橡胶支座的非线性耗能特性。

图2 高阻尼支座的恢复力模型

1.2.2 有限元模型

采用MIDAS Civil 2020建立单梁模型模拟上部结构；时程法计算时，采用等效双线性模型模拟高阻尼橡胶支座；修正反应谱法计算时，采用弹簧来模拟支座；采用一般弹性支承(6个方向的刚度)模拟桩土相互作用。桩基弹性刚度模拟时应考虑桩土相互作用，按照m法计算桩土水平刚度，m取值按照《公路桥涵地基与基础设计规范》(JTG 3363-2019)中规定，并考虑2.5倍动力放大系数。考虑到相邻结构对边界条件的影响，建立三联桥梁结构，选取中间一联结果作为研究对象；反应谱的设计参数按新版抗规[2]选取。取桥墩高度等高H=10 m，桥梁有限元模型如图3所示。

图3 桥梁有限元模型

2 修正反应谱法分析

根据新版抗规[2],采用多振型反应谱法进行抗震分析时，应采用迭代方法分别计算顺桥向和横桥向的地震响应，迭代过程为：

(1)建立模型，各支座刚度可取屈服前初始刚度，全桥等效阻尼比取0.05。

(2)进行多振型反应谱计算，根据求得的支座位移利用双线性模型求得支座等效刚度，和桥墩刚度串联求得结构等效刚度，进而得出全桥等效阻尼比。

(3)根据求得的支座等效刚度修正计算模型，并按全桥等效阻尼比修正 0.8 倍一阶振型周期及以上周期的反应谱值，得到修正的设计加速度反应谱。

(4)重新进行抗震计算，得出支座位移，迭代，直到两次支座位移相差不大于3%，迭代结束。

下面将利用此方法对结构进行顺桥向的地震作用分析，并与时程计算结果进行对比，以此验证此方法在简支梁桥减隔震分析时的合理性。

2.1 初始迭代刚度的选择

根据新版抗规[2],取支座屈服前的水平刚度Ku=949 kN/mm作为初始迭代刚度，进行抗震计算。由于上部结构为简支结构，可选取一跨中的一个桥墩结果进行分析，考虑到边界条件的影响，选取中间联中间跨的桥墩为研究对象。经计算，反应谱作用下中间墩的支座位移为18.2 mm，根据规范方法计算出的全桥等效阻尼比ζ=0.0158，远小于混凝土结构的阻尼比0.05，这是不合理的，原因如下：

(1)一般来说，混凝土结构的阻尼比为0.05。减隔震桥梁设计的隔震原理就是通过增大结构阻尼、延长结构自振周期来消耗地震能量和降低结构地震响应，所以使用了减隔震支座后的全桥阻尼比应大于0.05。

(2)支座位移为18.2 mm，已经大于其屈服位移8.54 mm，说明支座已经发生了屈服，屈服后支座的水平刚度下降得很快，大约为初始刚度的1/6。此时支座的等效刚度与初始水平刚度相差较大。

(3)若继续按照此方法迭代，用得出的等效阻尼比0.0158去修正反应谱曲线，谱值会变大，这与预期的谱值减小相反。

综上，应该更改初始迭代刚度的取值。考虑到此时支座已经屈服，虽然不能明确地得出支座位移，但是可以利用支座在设计位移下的等效刚度Keff=1.95 kN/mm作为初始迭代刚度来进行迭代。取设计位移下支座的水平等效刚度 作为初始迭代刚度，带入模型重新计算。经计算，支座位移为77.6 mm，全桥等效阻尼比ζ=0.0868>0.05，结果是合理的。继续迭代，最终经过3次迭代后，支座位移与上一次结果的误差为0.8%<3%，满足要求，迭代终止。具体的迭代过程见表1。

表1 多振型反应谱迭代结果(墩高10 m)

从以上分析可以看出，使用支座在设计位移下的水平等效刚度作为初始迭代刚度进行分析是有效的。为了验证此方法的适用性，下面与时程计算结果进行对比。

2.2 非线性时程分析

在结构地震反应时程分析中，如何选择输入的地震波，是一个很重要的问题。当选择地震波时，应该考虑地震动三要素，即地震动强度、地震动谱特性、地震动持续时间[8]。根据该桥梁地震烈度和场地土类别，通过3条模拟人工波作为本次时程分析的地震动输入，时程分析结果取E2地震作用下的 3 条地震波对应结果的最大值。地震波如图3所示，将地震波输入到MIDAS Civil模型中，进行非线性时程分析。

为了比较修正反应谱法(以下简称方法一)和时程分析法(以下简称方法二)的结果，选取支座位移、支座等效刚度和墩底弯矩作为研究对象，结果对比见表2。从表2中可以看出，方法一的支座位移比方法二大14.5%，而支座等效刚度小约7%，两者不是成比例的，体现了支座的非线性特性，从支座等效刚度来看，两者之间差别很小。作为结构的地震响应指标(墩顶位移和墩底弯矩)，方法一比方法二的结果大了约18%，这是因为即使支座等效刚度相差不大，但修正反应谱法地震输入用的是修正以后的反应谱特性，通过弹性分析得到的结果；而方法二是考虑了支座的非线性特性和支座耗能得到的结果。综上可以认为修正反应谱法结果是合理的，并且方法一的地震响应比方法二偏高，这在设计中是偏安全的。

图4 E2地震波时程曲线

表2 方法一和方法二结果对比表(墩高10 m)

2.3 墩柱高度的影响

2.3.1 减隔震桥梁的合理范围

减隔震设计是通过增大阻尼，延长结构周期来耗散地震能量，从而减小结构地震反应。当墩高增大时，结构刚度减小，周期变大，通过延长周期效果变得不明显。因此，首先需要确定简支梁桥减隔震设计的合理应用范围，然后在这个范围内研究修正反应谱法的适用性。

陈光等[4]研究了不同墩高下减隔震支座对桥梁地震反应的影响，发现随着墩高的增加，减隔震体系体系周期增加，延长周期和减隔震效果不明显，建议在墩高较高时谨慎对待。魏思斯[5]通过对40 m连续T梁桥在不同墩高下桥墩地震工况的内力、位移响应进行研究，当墩高不超过20 m且采用圆形双柱墩时，铅芯隔震橡胶支座能大幅降低桥墩的地震响应；当墩高大于20 m但不超过40 m且采用矩形双柱墩时，铅芯隔震橡胶支座能一定程度地降低桥墩的地震响应，减隔震效果随着墩高增加而降低，建议减隔震支座适用于桥墩墩高不超过40 m的连续梁桥。目前对于简支梁桥减隔震设计的合理应用范围研究得还不多。

为了研究桥墩墩高对高阻尼橡胶支座减隔震效果的影响，结合既有文献[5]的研究成果，本文选取墩高分别为5、10、15、20、25 m的5个工况的进行非线性时程分析。仅研究等高桥梁的结果，不考虑同一联中墩高差异对结果的影响。各工况墩高具体取值以及对应的桥墩结构形式见表3。

表3 等高简支梁各工况结构布置

为了保证结果的真实性，采用时程分析模型，通过比较高阻尼橡胶支座和板式橡胶支座两种方式下的地震效应，来分析减隔震支座的减震效果，从而总结其合理适用范围。高阻尼支座的设计参数如前文所示，板式橡胶支座参数见表4。

表4 板式橡胶支座参数表

定义减震率Δ为:

(1)

式中：S1为减震前结构的效应值(采用板式橡胶支座)；S2为减震后结构的效应值(采用高阻尼橡胶支座)。

经计算，减震前后结构的地震效应见表5。从表5中可以看出，减震率与墩高密切相关。墩高越大，减震率越低，减震率由38%下降到8%，墩高25m时，减震效果基本很小，采用减隔震设计已经不合理。作者认为采用减隔震支座后，结构的地震响应至少能减小20%才是一个合理的范围。因此，对于此类桥梁，建议在墩高小于15 m的情况下采用减隔震支座。

表5 减震前后效应对比表

2.3.2 修正反应谱法迭代

结合减隔震简支桥梁的合理应用范围，选取墩高小于15 m的多种工况，建立修正反应谱模型(方法一)，使用支座的等效刚度作为初始迭代刚度，用全桥等效阻尼比来修正0.8倍一阶振型周期及以上周期的反应谱值，通过迭代获得结构的地震响应，并和对应的时程法(方法二)结果进行比较，以此验证修正反应谱法在不同墩高的适用性。桥墩的地震响应选取墩顶位移和墩底弯矩2个指标。各工况墩高具体取值以及对应的桥墩结构形式见表6。

表6 等高简支梁各工况墩高布置

经过计算，不同工况下的模型经过3～4次迭代，支座位移均能收敛，方法一和方法二的结果如图5所示。

从图5中可以看出，墩高小于8 m时，两种方法的计算结果相差不大；墩高大于8 m后，两种方法的计算结果开始拉开，但差值基本维持在一个稳定的范围。

图5 不同墩高下的支座特性和地震响应

(1)支座位移和等效刚度。墩高小于8 m时，两种方法得出的支座位移相差在7%以内，由支座位移反推的支座等效刚度相差3%以内；墩高大于8 m时，支座位移相差在15%～35%，支座等效刚度相差在7%～15%，墩高越大，误差越大。支座位移的误差大约是支座刚度误差的2倍，这是因为由于支座的非线性特性，超过屈服位移后，支座刚度会减小，故支座刚度的误差小于位移的误差。

(2)墩顶位移和墩底弯矩。修正反应谱的结果大于时程法结果，但两种方法得出的墩顶位移和墩底弯矩的差值百分比基本相等。墩高小于8m时，误差在10%以内；墩高大于8m时，误差在10%～15%。误差与墩高没有明显的相关性。从地震响应来看，修正反应谱的结果对于设计偏安全，且误差也在可以接受的范围内。

综上，可以认为采用支座的等效刚度作为初始迭代刚度，用修正反应谱法来计算减隔震桥梁是合理的，结果的可信度较高。

3 修正反应谱的简化方法

修正反应谱法计算需要经过多次迭代，每次迭代后都要根据新的支座刚度和修正的反应谱值来修正模型，这样计算起来就比较麻烦。若找到一种简便的方法来减少迭代次数，在保证结果可靠性的前提下简化计算过程，修正反应谱法的适用性将大大提高。从方法原理和迭代过程可以看出，最终迭代的支座等效刚度和全桥等效阻尼比是两个关键的参数。下面将对这两个关键参数进行分析。

不同墩高下的支座点下刚度和全桥等效阻尼比见表7，其中修正反应谱法下的支座等效刚度为最终迭代的结果，时程法下的支座刚度是由位移反推的结果。

表7 不同墩高下的支座刚度和结构阻尼比

从表7中可以看出，随着墩高的增大，支座等效刚度在增大，全桥等效阻尼比在减小。

(1)支座等效刚度变化不大。时程法在2.8～3.4 kN/mm变化幅度为20%；修正反应谱法在2.8～2.9 kN·mm变化幅度为5%。

(2)全桥等效阻尼比在0.055～0.188之间，变化幅度71%。两者的大小都与下部结构刚度有关系。

鉴于支座刚度的变化较小，可以假定不同墩高下的刚度为定值，下面重点分析全桥等效阻尼比的变化规律。

3.1 全桥等效阻尼比

对于减隔震桥梁的全桥等效阻尼比，兰海燕[9]总结了目前隔震桥组合阻尼比的确定方法，人们早期的研究不多，如美国AASHTO(1991)确定隔震桥梁阻尼比时不考虑桥墩的刚度和阻尼，直接等于隔震支座的等效阻尼比；Turkington 等(1989)则将隔震装置阻尼比与结构阻尼比直接相加作为系统的阻尼比。随着研究和认识的进一步深入，现在多采用模态(振型)应变能理论方法给出计算公式，如日本的抗震规范[10]给出了考虑隔震支座、墩、基础平动、基础转动的阻尼比、刚度、支座位移的计算公式，但是计算复杂；Hwang[11]通过将规则桥梁简化为双自由度模型，采用经典阻尼理论，给出的2自由度情况下的振型阻尼比计算公式；黄建文[12]基于双自由度模型，进一步简化为以隔震模态为主的为单自由度体系，并对设计参数进行了研究。

以上研究都得出，隔震结构的等效阻尼比与减隔震支座和桥墩刚度有关系，但是以上方法的计算公式复杂，涉及到多个参数，不利于简化计算应用。定义刚度比为式(2)，墩柱刚度为排架墩刚度，支座刚度为一个墩位处支座等效刚度之和，支座等效刚度由支座位移反算得到。

(2)

(3)

式中：Kp为墩柱刚度；Keff为单个支座等效刚度;d,Qdi,Kd,i分别为减隔震支座位移、特征强度、屈服后刚度。

下面研究全桥等效阻尼比和刚度比的关系，假设支座的刚度为定值，Keff=2.9 km/mm,求得桥墩刚度来计算刚度比。以全桥阻尼比ξeq作为因变量，刚度比μ为自变量，将不同墩高下的数据作图，如图6所示。添加趋势线，可以得出公式(4)，回归分析的相关系数趋近1，可信度很高，全桥阻尼比和刚度比有关。

图6 不同墩高下的全桥等效阻尼比

ξeq=-0.017μ2+0.104μ+0.29

(4)

3.2 迭代过程

根据假定的支座刚度和由公式(4)求得的全桥等效阻尼比，已经很接近最终迭代的结果，这样修正反应谱法的迭代过程大大简化。根据前文分析，修正反应谱法和时程法相比，支座刚度的误差约是支座位移的一半，而新版抗规的收敛条件为支座位移与上一次结果相差3%，因此，简化修正法的收敛条件可定为：支座等效刚度与上一次结果相差1.5%。具体迭代过程如下：

(1)假设支座的刚度为定值，即Keff=2.9 kN/mm，作为初始迭代刚度。

(2)计算桥墩刚度Kp。

(4)由公式(2)得出全桥等效阻尼比，修正反应谱值，计算分析。

(5)将(4)计算出来的支座位移求得等效刚度，若误差小于1.5%，迭代结束。

4 结 论

以多跨30 m简支梁桥为背景，利用有限元软件MIDAS Civil，基于新版抗规中的多振型反应谱迭代法进行分析，并与时程分析结果进行对比，得出以下结论：

(1)对于排架式桥墩的简支梁桥，采用支座的等效刚度作为初始迭代刚度更加合理。

(2)不同墩高下，与时程法相比，修正反应谱法结果误差基本上在20%以内，且大于时程法结果，在设计上偏安全。

(3)不同墩高下，支座的等效刚度变化不大；全桥等效阻尼比与刚度比的二次方相关。可假定支座的初始刚度为Keff=2.9 kN/mm，计算得出全桥等效阻尼比来修正反应谱值，减少迭代次数。

通过简化反应谱方法可以对同类桥梁的减隔震设计进行计算，比时程分析法简单，可靠度也较高。