安徽 王东旭

(作者单位：安徽省滁州二中)

三角函数图象变换历来是高中数学教学的重点和难点，也是高考常常眷顾的考点.其中周期变换和相位变换，理解起来比较困难，极易造成混乱.新课程理念注重学生课堂学习方式的转变，强调学生的自主探究，注重学习的迁移.数学新课程理念还强调数学核心素养对人的思维的培育.本文基于新课程理念，以教育学的基本理论为指导，针对以上两个难点提出破解策略.

一、问题描述

三角函数的周期变换，即由函数y=Asinx到y=Asinωx的变换，学生经常错误地认为是在纵坐标不变的情况下，横坐标变为原来的ω倍(假定ω>0)；三角函数的相位变换，即对于函数y=Asinωx到y=Asin(ωx+φ)(φ>0)的变换，学生经常错误的认为是向左平移φ个单位.

二、课程设计主线

以问题为导向的“抛锚式”教学模式，是将知识抛锚在一定的问题情境中，以激发学生的好奇心为内驱力.教师通过在课堂上不断地提出问题，让学生在教师的指引下自主完成相关任务.以周期变换为例，简要叙述课程设计主线.

学习方式：将班级分成两大组，每组推选组长.小组内部独立完成教师提出的各项要求和问题，内部要积极合作交流，达成解决问题的方案，组内互帮互助.小组之间围绕着问题进行PK！

问题1：函数y=sinx与y=sin2x图象之间有何关系?如何研究？

教师提示：可以通过我们熟悉的“五点法”作图观察图象来解决.

过程：学生在教师事先准备好的表格和坐标系上作图.

每小组内部讨论，遴选出质量较高的图示，教师在多媒体上进行投影，分享给其他同学.

教师点评，并给出准确的作图.

问题2：如何用数学语言描述函数y=sinx与y=sin2x图象之间的关系?

小组讨论，并派代表发言……紧接着教师点评，并给出规范化的表达……举一反三，教师追问……

小组讨论，并派代表发言……紧接着教师点评，并给出规范化的表达……

问题4：根据以上具体函数图象之间的变换规律，能否对函数y=sinx到函数y=sinωx的变换进行描述?

有了以上学生的回答，以及教师的点评和讲解，知识的生成应是水到渠成的.当然教师对以上的每个问题都要给出最精准的描述或总结，教师的描述和总结就是最终生成的知识；其次教师在教学中要引导学生注重知识的迁移，主动阐释前后知识的联系.

教师点评：教师的点评对学生来说既是知识性的，又是情感性的.点评的好坏不仅影响到学生对新知识的接受程度，还影响到学生的兴趣、情绪、情感.因此，教师既要注重知识的总结性评价，也要注重过程性评价，还要针对不同层次的学生进行差异性评价等.例如，教师可以就小组探究结论的正确性进行点评，可以就数学语言表达的准确性进行点评，还可以就学生在参与小组合作过程中表现出的合作精神、态度和价值观等进行点评.

巩固与提升：让学生口头叙述一些函数图象的变换，再给出相应的变式训练.

三角函数图象的相位变换的设计思路与周期变换基本一致，这里不再赘述.

三、课程设计的基本理念

(一)改善学生学习方式

新课程改革要求还课堂给学生，改变以往教师“满堂灌”的教学模式.倡导学生主动参与、乐于探究、勤于思考，培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流合作的能力.

在探究函数图象之间的关系时，要求学生列表、作图、小组讨论、交流、回答预设问题等等.教师只需在课堂上观察、指导和评价，合理有序的组织课堂.充分发挥学生在课堂上的主体地位.

(二)立足数学核心素养

1.直观想象

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》指出直观想象是中学生着力培养的数学核心素养之一.数形结合这一思想方法是联系代数和几何的桥梁，是体现直观想象核心素养的重要途径.在数学核心素养的指引下，教师在讲解这部分知识时，应充分强调“五点法作图”对于学生理解图象变换问题的价值.通过图象上具体的一个个“点动”引起“图动”，从而激发同学们对图象变换原理的思考和认识.

2.数学抽象

“五点法作图”最终得出函数图象的变换方式.在推理模式上是由特殊到一般的不完全归纳推理，因此自身存在不严谨的一面.数学上，追求一般性原理是数学逻辑的魅力所在，也是人的直观想象思维向抽象逻辑思维迈进的必然要求.针对水平层次较高的学生,引入函数图象的变换的原理就更为必要.一般性原理的生成正是培养学生数学抽象核心素养的重要途径.

再如，三角函数图象的周期变换本质上是平面直角坐标系中坐标的伸缩变换.函数图象的伸缩变换在人民教育出版社A版选修4-4教材中才正式引入.但在教学实践中会不断地遇到相关的问题，笔者认为针对水平层次较高的学生，不妨大胆地提前引入！

(三)运用信息化平台

利用数学软件作出函数图象精准、快速、高效，在软件平台上操作，图象可以根据需要进行局部特写，这大大地提高课堂的效率，也能够充分吸引学生的注意力，引起学生的无意注意.这种效果是教师手工绘制无法企及的.在三角函数图象变换这节课，教师可以充分利用现代的教育技术，展示图象的千变万化，并在这个过程中不断引导学生对图象变换的具体过程进行思考、探索.例如，函数y=sinx与y=sin2x的图象，可以将两个函数图象画在同一个平面直角坐标系中，二者之间的关系便一目了然!

还可以设置参数ω，制作函数y=sinωx，让函数y=sinωx的图象随着ω的变化而动起来，这样在同一坐标系下函数y=sinx与y=sinωx的关系将十分清楚，教学效率大大提高，能起到事半功倍的效果！

同样可以设置参数φ，制作函数y=sin(2x+φ)，让函数y=sin(2x+φ)的图象随着φ的变化而动起来，让学生观察动态效果！

无论是周期变换，还是相位变换，教学中都不要急于把结论抛给学生，要结合多个具体的函数变换实例，让学生自主探究，并结合几何画板操作，最终得到结论.在知识产生形成的过程中，教师要让学生亲历从具体到抽象、从特殊到一般的探究过程，要让学生有思考和探究的机会，发现函数图象之间的关系，只有这样学生才会理解的深刻！这也正是新课程改革的理念所在！

“互联网+”已经渗透到教育行业，教师可以提前制作好微视频，给学生观看，或者利用网络上优质的教学视频、素材，作为教学的一个补充.

(四)注重学习迁移

(五)典型例题讲解

例题对于数学学习的作用是不言而喻的，变式训练既能加强学生对新知识的理解，也能培养学生良好的思维.三角函数图象变换，容易跟三角函数的图象和性质形成交汇.

【解法1】先周期变换，再相位变换

【解法2】先相位变换，再周期变换

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【解法1】特殊点法

【解法2】解析突破

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随着参数t的变化，g(x)的图象随之变化，x1，x2的相对位置也紧跟变化，这里可以结合几何画板的动态效果，展示g(x)在不同位置时，|x1-x2|取得最小值时的变化情况.

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答案：D.