安徽 刘守文

(作者单位：合肥市第三中学)

近年来，随着信息技术的日益发展，广大数学教师充分将信息技术与课堂教学内容深度融合，“再创造”数学课堂教学情境，开发智慧课堂.而可视化教学是信息技术整合到数学课堂的一个新的视角，是数学课堂教学改革的发展方向之一.可视化教学的理论基础是建构主义学习理论，“再创造”教学思想和知识的多元表征理论，其本质是利用信息技术手段直观“再现”数学知识发生、发展的过程，具有“数学实验”的生成性特征，旨在解决学生对抽象数学知识的理解.

利用GeoGebra软件，数学课堂教学可以有效地实现数与形的完美结合，在探究、发现新知识，检验未知猜想等教学效果显著.“圆锥曲线”是中学数学的重要内容之一，蕴含丰富的数学文化内涵，历史文化底蕴丰厚.特别是古希腊阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》，其数学哲学文化思想博大精深、方法体系优美绝伦，是数学课堂教学思维品质优化的最佳题材.本文借助GeoGebra软件平台，揭示圆锥曲线统一定义的教学过程，挖掘圆锥曲线相关数学文化背景，将古代优秀数学文化成果与信息技术有效整合，以期为高中数学可视化案例教学提供些许借鉴.

一、圆锥曲线概念形成的直观演示

圆锥曲线有丰富的历史背景，传说古希腊人从削尖的圆木桩中发现了“圆锥曲线”.人教A版教科书选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》的前言，引用古希腊几何学家阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》中的叙述：“如图，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线、双曲线.我们通常把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线”.

圆锥曲线概念形成的过程，若仅靠教师讲解，数学知识的发生与发展过程无法得到自然、直观的“再现”.我们借助GeoGebra软件，不仅能直观演示，还可以动态地演示曲线的生成过程.

如图，在GeoGebra的3D绘图区画出空间曲面x2+y2=z2(有公共顶点的两个圆锥)和平面x=0，然后将平面x=0旋转α角度，再按照向量μ=(λ，0，0)进行平移，建立α，λ的滑动条，控制平面旋转角度和平移位置.教师可以通过改变平面的倾斜程度(拖动α滑动条)向学生动态直观地展示平面与圆锥的截口曲线的变化情况，通过适当平移平面(拖动λ滑动条)可以使截口曲线更容易显现出来.通过直观展示，学生直观认识了截口曲线是圆锥曲线，同时直观感知：平面的倾斜程度决定截口曲线形状.

截口曲线直观演示

二、圆锥曲线统一定义生成过程演示

(一)旦德林双球模型演示椭圆

数学是严谨的，学生对截口曲线是圆锥曲线的直观感知，要通过定义来检验.对于椭圆，旦德林双球模型巧妙地从纯几何角度演绎出截口曲线符合椭圆定义.

旦德林双球模型直观演示

(二)旦德林双球模型演示双曲线与抛物线

通过前面截口曲线的直观演示，我们有一个直观感知：平面π′的倾斜程度决定截口曲线形状.设圆锥母线与旋转轴的夹角为α，平面π′与xOy面的夹角为β(锐角)，如图所示，拖动滑动条β，角β的值会发生改变，多次演示，学生会得出以下猜想结果：

(1)当α+β<90°时，截口曲线为椭圆；

(2)当α+β=90°时，截口为抛物线；

(3)当α+β>90°时，截口曲线为双曲线.

旦德林双球模型的关键之处是利用双球与平面相切的切点，猜想切点即椭圆的两个焦点，然后利用定义验证.对于双曲线、抛物线是否也可以这样做呢？具体模型又怎么建立呢？通过类比，我们可以尝试将旦德林双球模型进行“变式”，即将“内公切面”改为“外公切面”，动手操作来猜想、探究结果.用动态演示来代替抽象思考，实现数学可视化教学.

如图，建立好模型后，在截口曲线上任意取动点K，连接KF1，KF2，计算|KF1-KF2|,学生会发现KF1，KF2的值随着动点K的改变而改变，但|KF1-KF2|的值始终是定值5.47，拖动滑动条改变平面倾斜程度，会得到同样的结论.因此，动点K的轨迹符合双曲线定义.

如图，过圆锥顶点O、动点K作母线，与两球的切点为M，N，易证KF1=KN,KF2=KM，所以|KF1-KF2|=|KN-KM|=MN.我们再利用GeoGebra的度量工具，度量出上述线段的长度，启动点K的动画，得出的结果与几何证明完全一致，从而实现了定义的可视化证明.

双曲线、抛物线定义可视化证明

当α+β=90°时，根据猜想结果，我们假设球与平面的切点F为抛物线的焦点.在这里GeoGebra作为探究的工具性价值得到了完美的体现，可以引导学生先猜想再利用GeoGebra进行可视化检验，很多学生的第一印象猜想准线应该是平面π′与xOy面的交线l′，作MH1⊥l′，通过GeoGebra的度量工具检验，发现MF≠MH1，因此需要重新探究准线.

经过探究：准线是过与切点F关于球心对称的点G的平面π与平面π′的交线l.设MH1与直线l交于点H，由题意可知，MH⊥l，通过度量工具可以发现MF=MH，所以动点M的轨迹是抛物线.

三、圆锥曲线统一定义的证明

类似地，双曲线也可以这样定义，进而得出圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离之比等于定值e的点的轨迹是圆锥曲线(椭圆(01)).

(1)当α+β<90°时，β<90°-α，sinβ

(2)当α+β=90°时，β=90°-α，sinβ=sin(90°-α)，e=1，截口曲线为抛物线；

(3)当α+β>90°时，β>90°-α，sinβ>sin(90°-α)，e>1，截口曲线为双曲线.

圆锥曲线统一定义可视化探究

四、结束语