江苏 周田香 浙江 余继光

(作者单位：江苏省姜堰第二中学 浙江省柯桥中学)

新高考数学一轮复习在梳理数学基础的同时，以8个核心知识点为抓手，复习时抓住特色，每个核心知识单元整体复习时，以6个“关注”为准绳，安排学生训练时突出3个字“练、诊、悟”，以提升一轮高考数学复习的效能.

以《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》评价体系为基准的新高考数学命题，正在以新的面貌展现在数学教师与学生面前.迎接新高考的一轮数学复习需要具有新视野，站在新课程理念的高度、环视新课程数学的高考；需要具有新境界，学生数学学习愉快而轻松、教师辅导高效而不盲目；需要研究新命题，依据课标创新数学命题、把握问题变式解法；需要探究新趋势，研究2021年高考数学命题趋势、提升不同层次的考生成绩，只有这样才能驾驭新高考数学一轮复习.

1.新高考数学一轮复习的基本抓手

新高考数学一轮复习，在梳理数学基础知识的同时，要紧紧抓住核心知识点“精讲”到位，每一个核心知识点抓住它的“特色”，编制或寻找经典问题来讲.

1.1函数 显现一个字“活”

函数是高考数学第一个核心知识点，抓住函数概念、性质、图象的同时，选题精讲要“活”，将函数的内在联系讲到位，比如，增加逆向设问题和存在性探究题：

①若a=1，求函数f(x)的定义域；

②是否存在实数a，使得函数f(x)在定义域内具有单调性？若存在，求出a的取值范围.

函数f(x)的定义域为(-∞,-2]∪[0,+∞)；

1.2三角函数 强调一个字“变”

三角函数和解三角形是高考数学第二个核心知识点，抓住“变”换，“变”角，“变”函数等，引导学生在变化中提升应变能力：掌握三角函数图象与性质，三角变换公式，解三角形的三大定理一公式(内角和定理、正弦定理、余弦定理和三角形面积公式).

【例2】已知锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c，若△ABC外接圆面积S=π.

(Ⅱ)若a2=b2+c2-bc，求△ABC周长的最大值.

解析：因为△ABC外接圆面积S=π，所以△ABC外接圆半径R=1.

1.3向量 抓住一个字“形”

平面向量是高考数学命题中最灵活，也是学生最怕的一个核心知识点，向量离不开“形”，挖掘“形”，转化“形”是复习的基本点.

【例3】已知平面向量a，b，c满足a·(a+c)=0，|c|=1,|a+b-2c|=2，则a·b的最大值是________.

解析：因为|c|=1，不妨设c=(1,0)，

a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则

a+c=(x1+1,y1)，a+b-2c=(x1+x2-2,y1+y2),

因为a·(a+c)=0,

又|a+b-2c|=2,

所以2(x1x2+y1y2)≤4，即x1x2+y1y2≤2,

而a·b=x1x2+y1y2,故a·b≤2，a·b的最大值为2，故答案为2.

1.4立体几何 用好一个字“图”

立体几何的表现形式是空间图形，建立在8个基本定理的基础上，去挖掘图中直线与直线、直线与平面的位置关系；添加辅助线，构造角或三角形，使目标更加贴近.

图1

(Ⅰ)若G为PC中点，求BG与平面PAB所成角的正弦值；

(Ⅱ)如图2，AC∩BD=O，过A作AE⊥PD交PD于E，作AF⊥PO交PO于F，求证：PD⊥平面AEF.

图2

解析：(Ⅰ)如图，过G作GH垂直平面PAB于H点，连接BH,则∠GBH为BG与平面PAB所成角，

1.5数列 体现一个字“律”

数列是高考数学重要的核心知识点，数列必有“律”，抓住规律问题才能突破，递推思想方法是求解数列问题的核心，比如，下列基础训练题的设计：

解析：Sn=n2-2n，所以an=2n-3，b1=a2=1，b2=a3=3，b3=a6=9，{bn}是以1为首项，3为公比的等比数列，所以bn=3n-1；

1.6解析几何 突出一个字“算”

平面解析几何是用代数方法研究几何图形，代数式运算、数字运算是常态，也是学生的软肋，虽然挖掘图形性质可以减少部分运算，但是运算能力是圆锥曲线问题的突破口，因此复习中必须牢牢抓住“运算”．

【例6】如图，设点P在直线l:x-y-2=0上运动，过点P作抛物线C:y=x2的两条切线PA，PB，且与抛物线C分别相切于A，B两点，则△APB的重心G的轨迹方程是

( )

1．7导数 紧扣一个字“用”

导数本是高等数学中最容易的一个核心知识点，它没有什么秘密，只是一个研究函数的工具，学会“用”导数分析函数性质是复习的重点．

【例7】已知f(x)=ax3-ex，e=2.718 28…为自然对数的底数.

(Ⅰ)若f(x)是R上的单调函数，求实数a的取值范围；

(Ⅱ)求证：当a<0时，对任意x≥0，f(x)≤-1；

解析：(Ⅰ)f(x)=ax3-ex，f′(x)=3ax2-ex，

当a=0时，f(x)是R上的单调递减函数；

当a<0时，f′(x)<0，f(x)是R上的单调递减函数；

当a>0时，f′(x)的正负不定，此时f(x)非单调函数，

综上， 实数a的取值范围是(-∞，0].

(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)知，当a<0时，f(x)是单调递减函数，

所以f(x)≤f(0)，而f(0)=-1，所以对任意x≥0，f(x)≤-1.

所以9a2(x1x2)2=ex1+x2≥1+x1+x2>x1+x2,

1．8数学文化 理解一个字“型”

数学文化已经成为高考数学命题中的打卡题，数学文化一般涉及数学史或现实情境或科学情境，其中含有“型”，抓住数学模型，一般就能突破，但阅读理解力是关键．

【例8】某病毒研究团队观察人体免疫系统对某种病毒在服用蛋白酶抑制剂后发现，所有患者血液中病毒颗粒数量呈指数下降，于是建立数学模型：V′=-cV，其中未知函数V=V(t)表示血液中不断变化的病毒浓度，V0是人体初始病毒载量，比例常数c(c≠0)是清除率，它衡量身体清除病毒的速度，试问清除病毒过程中，病毒浓度函数V=V(t)为________；当清除体内病毒一半时，所需时间为________.

故V=Ce-ct，其中C=eC1，当t=0时，V=V0，所以病毒浓度为V=V0e-ct，

2．新高考数学一轮复习的基本策略

教师在精讲核心知识点的“八字”中，还要时时“六关注”，复习更上一层楼.

2.1关注数学概念的本质

数学概念是理解方法的基础，只知道方法而忽视概念是复习教学的一种不良现象.

【例9】函数f(x)=x3-ax2-bx+a2在x=1时有极值10，则a，b的值为

( )

这是关于极值概念的题，学生普遍只是考虑极值求法，而忽略极值概念，

学生思路：

忽略了对可能是极值点的验证，事实上a=3时，x=1不是f(x)的极值点.

关于函数的极值点概念，作为学生必须很清楚，一阶导数为0的点不一定是极值点，必须在经过此点时要变号的点；极值点也不一定是一阶导数为0的点．

2.2关注基础题信息挖掘

高考数学中最基本的两个能力是审题与运算，审题能力是在阅读题目过程中形成，尤其是对问题中题设信息的准确挖掘．

【例10】定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在[-3,-2]上是减函数，α,β是锐角三角形的两个内角，则

( )

A．f(cosα)>f(cosβ) B．f(sinα)>f(sinβ)

C．f(sinα)f(cosβ)

解析：第一，f(x+1)=-f(x)，则f(x+2)=-f(x+1)=f(x)，f(x)是周期为2的周期函数；

第二，f(x)在[-3，-2]上单调递减，在[-1，0]上也单调递减；

第三，f(x)为偶函数，则f(x)在[0，1]上单调递增；

第五，f(sinα)>f(cosβ),故选D.

2.3关注图形的代数表示

高考数学语言由文字语言、符号语言、图形语言等组成，其中图形语言更为直观，但其中也隐藏着许多数量关系，只有准确挖掘出来，才能找到问题的突破口．

【例11】一位花布设计师在边长为3的正方形ABCD中设计图案，如图，他分别以A,B,C,D为圆心，以b(0≤b≤3)为半径画圆，由正方形内的圆弧与正方形边上线段构成了丰富多彩的图形，则这些图形中实线部分总长度的最大值为________，最小值为________.

花布图案设计是一个复杂的工作，但抽象出来的数学模型是简洁而美丽的，由点的运动而产生许多丰富的图案：

如图，

当b=3时，L达到最大值6π+12.

学生面对如此问题时，一方面要学会从“数”的角度思考，

写出长度的分段函数，而后求出其最大值与最小值；

另一方面也应学会从“形”的角度思考，发现其最值点和最值，

但不论是哪一个思路，都需要学生在“运动”着的图案中发现其数学本质．

2.4关注高考新题型涌出

2020年山东、海南、新高考数学命题以及2021年八省高考数学适应体验题中涌出许多新题型、新信息，比如逻辑推理题.

【例12】关于函数f(x)=ax2-b·2x(x>0)，有下列四个命题：

甲：x=2可能是函数f(x)的一个零点；

乙：函数f(x)可能有两个零点；

丙：函数f(x)的两零点之和大于6；

丁：若a-b=0，则函数f(x)两零点之和为6.

如果只有一个假命题，则该命题是________(标注甲，乙，丙，丁即可).

解析：当a=b=1时，函数有两个零点x=2，x=4，甲，乙均正确；

若a-b=0，则f(x)=a(x2-2x)，函数有两个零点x=2，x=4，丁正确，

因为a，b大小不定，则零点大小不定，所以丙不正确，填写丙．

2.5关注科学情境初等化

课程标准已将科学情境列入高中数学课程且已在新高考数学命题中渗透，因此关注以科学研究成果为基本信息的情境是必要的．

【例13】冈珀茨模型(y=kabt)是由冈珀茨(Gompertz)提出，可作为动物种群数量变化的模型，并用于描述种群的消亡规律，已知某珍稀物种t年后的种群数量y近似满足冈珀茨模型：y=k0e1.4e-0.125t(当t=0时，表示2020年初的种群数量)，若m(m∈N*)年后，该物种的种群数量将不足2020年初种群数量的一半，则m的最小值是________(ln2≈0.7).

解析：当t=0时，y0=k0e1.4；当t=m时，ym=k0e1.4e-0.125m，ym=0.5y0,

2.6关注现实情境数学化

用数学眼光观察周围现实世界，你会发现许多含丰富数学模型的数学问题.自1995年以来，高考数学应用题进入高考后，一直是全国高考数学命题打卡题.

前10分钟下潜深度为1 000米；第11分钟至第32分钟下潜2 200米，

3．科学的足量的规范的“三字”训练

新高考数学一轮复习，除了教师的“精讲”，学生听的效果如何？落脚点还在于学生“练”的有效性，设计科学训练方式很重要——练、诊、悟．

3.1练

即学生独立面对数学问题进行思考、解答，在这一环节中，不但要发挥学生解题的主体作用，也要注意发挥教师在题目的优化组合中的主导作用．

一是基础训练与综合训练相结合，只重视基础训练，就会割裂知识间的联系，不利于学生提高分析问题，解决问题的能力，与素质教育背道而驰；只重视综合训练，会使学生片面追求解题的特殊技巧而忽视了教学中的通性通法，使数学能力成为毫无根基的“空中楼阁”，只有将两者结合，利用各自优势．

二是常规训练和应变训练相结合，数学能力的高低，不仅体现在解基础题上，更体现于独立解决一些新颖的、未给出解题模式的题目上，在复习中，可以将五大新题型融入其中，为学生创设数学的问题情境，引发学生的思维，提高他们的应变能力．

3.2诊

学生练的如何？一个重要环节是诊断，发现学生在数学复习中的思维痛点，通过诊断数学作业、试卷中学生留下的思维痛点，了解复习的效果与不足之处，制定新的复习策略，关注学生在作业本与测试卷上留下的思维痕迹，诊断思维痛点类型，给出校正方向.

(Ⅰ)若A1，A2是椭圆长轴的两个端点，求直线PA1，PA2的斜率之积；

诊断出学生语言表达痕迹的思维痛点：没有充分挖掘题中几何图形的几何性质：

一是P为△QMN的重心，所以S△QMP=S△QNP=S△PMN；

又因为F1，P，S三点共线，

因为△QMN的重心是P，所以S△QMP=S△QNP,

3.3悟

包括渐悟和顿悟，实现悟的途径主要是解题后的反思，引导学生养成反思自己解题痕迹，找出痛点，积累经验，解题没有固定模式，但对某类型的题目，的确又存在着一定的模式．

【例16】两位学生在思考一个开放题“满足f(x)=x的点x称为函数y=f(x)的不动点(稳定点)，请你构造一个分段函数，使其具有无数个不动点，这些不动点构成一个公差不为零的等差数列”时，他们分别构造了一个函数，

请你判断，正确的结论是

( )

A．①②都对 B．①对②错

C．①错②对 D．①②都错

本题涉及分段函数，正、余弦函数，不动点，等差数列概念，考查审题能力，综合分析与判断能力，等价转化能力及运算能力．