甘肃 张建文

(作者单位：甘肃省岷县第一中学)

由于信息技术的迅猛发展,教师授课方式在逐渐发生变化，以几何画板为主要媒介的图形教学和解题教学的形式也随之发生变化.本文主要研究论述了几何画板的主要作用和使用原则，以及在解题教学中如何借助几何画板辅助学生作图分析.以案例的形式和师生互动的方式展现几何画板以及图形分析的特点，在培养学生直观想象核心素养方面有很大的促进作用.同时在极力推单元教学的浪潮下，运用多媒体创新教学方式已经成为教学研究的主要领域.下面笔者就以核心素养主题下借助几何画板进行教学探究进行简单论述.

一、几何画板的作用

几何画板作为一种技术手段，能够多角度的辅助教学，提高教学效果,对课堂教学产生了深远影响.几何画板在教学中的重要作用主要体现在以下几个方面：

1.帮助教师进行教学设计.课堂教学应遵循知识的发生发展过程和学生的认知规律,在有关图形教学的时候,教师可以借助几何画板直观展现图形的几何特征，分析点线面之间的位置关系和动态变化规律.几何画板作为课堂技术支持手段,能够解决教师作图慢效果差的困境,提高教师的课堂驾驭能力，助力教师教学水平的提升.

2.验证作图结果，帮助学生培养直观想象素养.直观想象素养是六大核心素养之一,主要通过学生描述和绘制图形进行培养的.在课堂教学中,学生可以直观观察标准图形的特点,纠正自己的思考错误,通过教师的引导，形成科学有效的思考方法.同时在解题教学中,可以借助几何画板来验证自己作图的正确性,纠正自己错误的作图方式，提高作图的效率.

3.优化教学策略.基于核心素养的教学设计更注重教学情境的设计,几何画板能够提供不同形式的教学情景,由单一转向多样,使得学生在思考中观察,观察中思考,切实优化教学策略.教学有法,教无定法,贵在得法,教师要结合具体学情，借助几何画板可以设计多样化的教学过程,主要在立体几何、函数图象和解析几何等知识模块中有较好的应用.

二、几何画板的使用原则

几何画板在高中数学作图教学和解题教学中具有强大的作用，我们在培养学生直观想象核心素养的时候一定要创造性的应用几何画板.注意在使用几何画板的过程中应该遵循以下基本原则：

1.适应性原则.高中数学教学内容设计包含多个不同的模块,在处理不同学习模块的教学内容时，用到的教学手段也不尽相同.在涉及图形教学或动态演示的教学内容时，可以尝试几何画板,直观形象地展现知识的生成过程和变量之间的变换关系,这能极大的激发学生的学习兴趣.

2.主次性原则.先进教学技术的应用旨在提高学生的数学能力,几何画板作为教学辅助手段,是配合教师来促进学生思维发展的重要工具.一般地,学生先要经历独立的思考过程，对图形的生成过程和动态变化在大脑中有一定的预演,但是存在一定的不解和迷惑,这时几何画板通过直观展示图形的变化过程和动态特点就可以达到事半功倍的效果.这个教学先后顺序若颠倒就会极大地抑制学生的思维发展,不利于教育教学效果的提高.

3.适量性原则.对于几何画板在教学中的应用要遵循适量性原则,适量就是要控制几何画板的使用频率.一堂课的容量应该体现在学生的思维量上面,换言之就是应用信息技术手段都是为了促进学生的思维发展.根据教学内容的自身特点思考是否使用几何画板、怎样使用几何画板以及几何画板在一堂课教学中的比例问题等.适量的图形演示可以快速解决学生的思维困惑，提高学习的趣味性.

4.适时性原则.教学不是简单机械的知识灌输,而是思想和思想的碰撞.古代教育思想家孔子说“不愤不启，不悱不发”就体现了教学的适时性原则.在学生经历了独自思考后进行图形演示，在学生能够基本厘清变量间的变化过程后展示动态图形,这样在恰到好处的时间点应用几何画板更能够提高课堂教学效率,不至于使得教学过程过于单调，以促进学生积极思考.

三、几何画板的应用

几何画板作为信息技术融入教学的典型代表,在不同知识模块当中具有不同的表现，下面就分类体现几何画板对教学的辅助作用.

1.函数中的参数问题

在解题教学中,对于函数零点问题或是函数中参数求解问题,通常需要绘制函数图象来进行思路分析.一般地，绘制函数图象都是通过对函数性质的分析来进行的,但这样绘制的函数图象通常在图象的走势和特殊点处有误差,此时通过几何画板准确绘制函数图象,用以纠正作图误差，辅导学生进行理性思考.

例1.已知函数f(x)=(x-1)ex.

(1)若关于x的方程f(x)=λx只有一个根，求实数λ的取值范围；

(2)若x=0是函数g(x)=2f(x)-ax2的极大值点，求实数a的取值范围.

教学案例分析(师生互动过程)：

师：直线x=0有何特点？如何作出函数h(x)的图象？

生：可知直线x=0为函数h(x)的一条渐近线，而且有：

当x→+∞时，h(x)→+∞；当x→0+时，h(x)→-∞；

当x→-∞时，h(x)→0；当x→0-时，h(x)→+∞.

由此可以得到函数h(x)的草图如图.

师：现在我们利用几何画板作图检验:

观察比较自己的手工草图与标准图象之间有何差异？

生：虽然单调性一致，但是自己作图的规范性和准确性还是有一定的偏差.

师：现在利用几何画板动态演示两图象的交点情况：

h(x)与y=λ图象有两个交点

h(x)与y=λ图象只有一个交点

生：由此可知λ的取值范围是(-∞,0].

师：第二问g(x)=2(x-1)ex-ax2,g′(x)=2xex-2ax=2x(ex-a).

由于x=0是g(x)的极大值点,所以x=0是g′(x)的零点，且y=g′(x)在x=0附近的取值是先正后负.如何理解“y=g′(x)在x=0附近的取值是先正后负”？

生：函数y=g′(x)在x=0附近单调递减，而且g′(0)=0.

研究函数g′(x)=2x(ex-a)的简图，可以确定y=g′(x)在x=0处取值的正负情况.

①当a≤0时，ex-a>0,y=g′(x)的取值正负与y=x完全一致,如图：

可知x=0不满足题意.

②当a>0时，令g′(x)=0，得x=0或x=lna.g′(x)=2x(ex-a)的取值正负y=x(x-lna)完全一致.作y=x(x-lna)的图象：

通过观察图象，可知a的取值范围是(1,+∞).

师：非常好！我们可以利用几何画板作出函数g′(x)的准确图象，比较分析与自己所作简图的异同.

生：虽然自己作图太粗糙，但也能说明问题.

思考与总结：此例题是师生互动的真实过程,题目的解答依赖于学生直观想象思维,需要学生自己形成解答思路,但作图时可能会有所偏差，所以教师可以通过几何画板进行模拟演示,纠正学生作图时的误差,提高学生的直观想象能力.同时化归与转化思想的运用处处都在,值得一提的是,将导函数的简图转化为二次函数进行手工作图,既保证了题意不变又简化了求解过程.

例2.函数f(x)=ex|ex-2|+2,若函数f(x)在区间[m,n](m

( )

分析：根据题意,需要借助于函数f(x)的图象来进行分析.由于解析式中含有绝对值符号,可以考虑写成分段函数进行研究.

生：分段判定函数的单调性,再分段画图,最后整体分析，关键是作出比较准确的图象.

①当x≥ln2时,f(x)=e2x-2ex+2,

所以f′(x)=2e2x-2ex=2ex(ex-1)>0，

故f(x)在[ln2,+∞)上单调递增,且f(ln2)=2.

②当x

所以f′(x)=-2e2x+2ex=2ex(-ex+1)，

故f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,ln2)上单调递减,

且f(0)=3,f(ln2)=2.

根据单调性作简图如图：

师：此图正确吗？能否据此获得m,n的取值范围？

生：假设此图正确,还需要解两个方程.

①当x

当x

师：函数f(x)的图象该如何调整？

生：可以从函数值的变化规律上寻找突破口,考虑极限问题.当x→-∞时,f(x)→2,故函数简图可以调整为如图：

师：我们可以利用几何画板来验证作图的正确性.

生：虽然我们自己作出的图象和准确图象有一定的差距,但是也能够说明图象趋势.

师：如何理解“f(x)在[m,n]上的取值范围是[2,3]”？

思考与总结：此题解答的基础是准确地作出函数图象的简图.作图过程能够训练学生大脑绘图,培养学生直观想象的素养,作图的严谨性体现出学生理性思维的严谨性.几何画板作为现代信息技术教学工具,合理利用几何画板能够提高课堂教学效果,但是不能代替学生进行独立思考.

2.动态变化中的最值问题

现将其沿图中虚线折起，使得P1,P2,P3,P4四点重合为一点P,从而得到一个多面体.下面关于该多面体的命题,正确的是________，(写出所有正确命题的序号)

①该多面体是三棱锥；②平面BAD⊥平面BCD；③平面BAC⊥平面ACD；④该多面体外接球的表面积为5πa2.

分析：在折叠问题中，需要先根据图形变化绘制出几何体的直观图，在折叠过程中要明确哪些几何元素之间的关系发生变化，哪些几何元素之间的关系没有发生变化，由此确定该几何体当中几何元素的关系，进而进行推理得到新的结论.

师：折叠过程中哪些几何元素之间的关系发生了变化？

生：P1,P2,P3,P4的位置发生变化，且与边AC的相对位置发生变化,构成新的三角形PAC.

师：哪些几何元素之间的关系没有发生变化？

生：四个角∠AP1B,∠BP2C,∠CP3D,∠AP4D的大小没有变,△ABC,△ADC没有变化.

师：该多面体有哪些新的性质或特点？

又由于PD⊥PC,PD⊥PA,所以PD⊥平面PAC.同理得PB⊥平面PAC.

师：你能描述一下图形的形状吗？你能作出它的简图吗？

生：该多面体可以这样构成：由Rt△PAC出发,过直角顶点P作垂线PB⊥平面PAC,在此垂线上有点D满足PD=PB.据此可以构造该几何体的简图.

师：我们一起来体会图形的折叠过程,验证自己的分析是否正确.

几何画板演示图形的折叠过程：

图形折叠过程具体为：图①→图②→图③.为了使得原多面体看起来更加直观,可以将该多面体适当旋转得到图④和图⑤.你能说说该几何体的特征吗？

图①

图②

图③

图④

图⑤

图⑥

师：如何求解该三棱锥的外接球半径？

生：由于该三棱锥的对棱对应相等,所以可以将该三棱锥放置在长方体当中,使得长方体的外接球就是该三棱锥的外接球.如图：

思考与总结:折叠问题的关键是要思考清楚图形的变化过程,以及折叠过程中哪些几何元素发生变化,哪些几何元素没有发生变化,同时要确定折叠后点线面之间的相互关系.几何画板在折叠问题教学中可以很好地辅助学生思考,帮助学生厘清几何元素之间的关系,但需要提醒的是几何画板使用的时间节点,尽量在学生经历独立思考之后再由教师展示图形的折叠过程.

四、总结与展望

运用多媒体优化解题教学，需要授课教师能够熟练运用几何画板，能够准确快速地绘制常用函数的图象和常用几何模型，能够合理恰当的梳理解答流程，结合学生学习知识的最近发展区和知识发生发展过程，创造性地引导学生进行思考.当然借助于几何画板进行解题教学只是常规教学的一部分，也有一定的局限，比如耗时多，过多使用可能会有一定的依赖性等，正因如此，我们才要深入思考教学的各个方面，创造性地进行教学设计.