重庆 李海堂

(作者单位：重庆市荣昌中学)

解析几何的本质是用代数的方法研究几何图形的性质.解决解析几何问题的常规处理思路是借助曲线的几何位置关系等价转换为代数关系，通过合理的运算探寻到量的关系，再翻译成几何特征，体现了数形结合思想.解析几何的内容比较丰富，既有对平面图形的认识和图形的量的处理，又有较复杂的运算，备受命题者的青睐，在高考试卷以及各级各类的模拟考试中都会出现，具有较强的区分功能.因此，如何探究其解题思路，优化其运算路径，简化其运算过程，都具有非常现实的意义.本文以2021年八省(市)联考第7题解析几何为例，对此题进行了解法探究以及结论的推广.

一、试题呈现

已知抛物线y2=2px上三点A(2,2)，B，C，直线AB，AC是圆(x-2)2+y2=1的两条切线，则直线BC的方程为

( )

A.x+2y+1=0 B.3x+6y+4=0

C.2x+6y+3=0 D.x+3y+2=0

本题虽然是一道选择题，但考查的知识点比较多，主要考查直线方程，抛物线的标准方程，直线与抛物线、直线与圆的位置关系等基础知识，在解题过程中，涉及函数与方程、数形结合、化归与转化等基本数学思想，同时考查了直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养，突出能力立意，彰显数学思想方法.解题思路较宽，为学生提供了多样化的选择，要完整准确解答该题，学生必须要有较强的推理能力、探究能力和运算能力.

二、解法探究

(一)列式求解，解出交点

解法一：由已知把A(2,2)代入抛物线y2=2px，得p=1，

因此抛物线方程为y2=2x，

圆(x-2)2+y2=1的圆心设为D(2,0)，注意到AD⊥x轴，则kAB+kAC=0，

设AB：x=my-2m+2，m>0，

则AC：x=-my+2m+2，

设B(x1,y1)，则2y1=4m-4，所以y1=2m-2，

故x1=2m2-4m+2.

即B(2m2-4m+2,2m-2)，

即3x+6y+4=0，故选B.

点评：得到①式后，有些学生不能正确因式分解，导致运算不能顺利进行.要引导学生用求根公式求出B点的纵坐标，或者借助韦达定理2+y1=2m，2y1=4m-4，解出y1，也就是用字母m表示B，C两点的坐标.此题还可以先求斜率再直接求出B，C两点的坐标，若求斜率的话，学生一看到直线方程有根号就畏惧，容易算错.在平时的教学中要让学生比较不同的算法，哪个运算更简单和更直接，要培养学生边做边算边思考的习惯，在细微之处培养学生的运算素养.

(二)设点求解，简化运算

同理3x2+6y2+4=0，所以B(x1,y1)，C(x2,y2)都在直线3x+6y+4=0上，故选B.

点评：根据点B在抛物线上，由抛物线方程设出点B的坐标，由A，B两点坐标写出直线AB的方程，再由AB与圆相切得到B点纵坐标的等量关系式，又根据B点在抛物线上，继而转化为点B横坐标与纵坐标的二元一次方程，然后用曲线与方程的关系使问题得以解决.此种方法设而不求，运算简便，解法优美.

(三)几何直观，理性分析

又根据B，C两点在抛物线上，

又设B，C的中点为H(x3,y3)，

点评：此种解法抓住了特殊角，由直线AB，AC的倾斜角求出其斜率，通过点差法求出B，C两点的纵坐标及BC中点的坐标，从而得出BC的直线方程，运算比较简单也容易算出.其实这里可以推广到一般的抛物线BC恒过定点以及BC的中点与BC斜率之间的关系，如果在平时的练习中总结一些结论并记住它就很容易得出答案.

(四)退化曲线，探寻本质

解法五：若把直线AB和AC的方程3(x-2)2-(y-2)2=0和抛物线y2=2x联立得到经过A，B，C三点的曲线系方程可设为3(x-2)2-(y-2)2+λ(y2-2x)=0，整理得3x2+(λ-1)y2-(12+2λ)x+4y+8=0，而点A(2,2)处的抛物线y2=2x的切线方程AG为x-2y+2=0，设BC的直线方程为ax+by+c=0，则过AG，BC的退化的二次曲线方程为(ax+by+c)(x-2y+2)=0与3x2+(λ-1)y2-(12+2λ)x+4y+8=0相同，比较对应系数得a=3,b=6,c=4，从而直线BC的方程为3x+6y+4=0，故选B.

点评：解法四、解法五均用到了曲线系的思想来处理这道题，当然解法五也可以通过因式分解化成两个关于x,y的一次方程的乘积的形式，也可以将切线AG和直线BC的组合曲线与抛物线组成新的曲线系，即是(x-2y+2)(ax+by+c)+μ(y2-2x)=0，此曲线系表示直线AB和AC的方程3(x-2)2-(y-2)2=0，比较对应的系数即可.

上述的5种解题思路是充分理解了问题解决的目标、灵活抓住问题条件中不同的数学形式表达，明算理、优方法指导下的一次解题历练.一题多解，不是解题追求的目标，更重要的是提炼解决问题的通性通法，形成数学的方法与思想，促进学生数学素养的提高.

三、问题推广

以解法三作为基础，进行拓展，得到圆锥曲线的一般规律.

结论1：圆锥曲线的弦AB的斜率k可由该弦的中点坐标P(x0,y0)来表示.

结论2：已知圆锥曲线上的一个定点A(x0，y0)和两个动点B，C(不与A重合)，若直线AB和直线AC的斜率之积为常数λ，即kAB·kAC=λ(λ≠0).

证明：①设直线AB的方程为m(x-x0)+n(y-y0)=1，

上式变为b2(x-x0)2+a2(y-y0)2+2b2x0(x-x0)+2a2y0(y-y0)=0，

所以b2(x-x0)2+a2(y-y0)2+[2b2x0(x-x0)+2a2y0(y-y0)][m(x-x0)+n(y-y0)]=0,

得a2(1+2ny0)k2+2(a2my0+b2nx0)k+b2(2mx0+1)=0,

因为kAB·kAC=λ(λ≠0)，所以b2(2mx0+1)=λa2(1+2ny0).

又m(x-x0)+n(y-y0)=1，与上式消去m整理得

2n[λa2y0(x-x0)+b2x0(y-y0)]+(λa2-b2)(x-x0)-2b2x0=0，

②证明只需把椭圆里的b2换成-b2即可.

四、结束语