浙江 邬烈荣 胡佳宁

(作者单位：浙江省宁波市奉化区教师进修学校 浙江省宁波市奉化区第二中学)

平面向量是有效连接几何与代数的“桥梁”，也是我们解决数学问题的一个重要工具.向量是高考数学创新命题的一个载体，近几年浙江高考中的向量题往往具有综合性、灵活性和创新性等特点.透过问题，揭示本质，例如2019年浙江高考数学第17题，难度较大，需要从“基向量”入手，简化模的表示，利用化归与转化思想将问题逐步简化.本文对教材中的“平面向量基本定理”进行深入探究，得到向量“等和线定理”，并利用这一定理解决几类向量中系数和问题.

一、平面向量“等和线”定理

等和线l与直线AB的位置关系是平行或重合.

等和线l与直线AB的位置所对应k的取值范围如下表：

五种位置关系等和线l与直线AB的位置分布对应k的取值位置关系1等和线l与起点O位于直线AB两侧(1,+∞)位置关系2等和线l与直线AB重合1位置关系3等和线l在起点O与直线AB之间(0,1)位置关系4等和线l恰好经过起点O0位置关系5等和线l与直线AB位于起点O两侧(-∞,0)

二、平面向量“等和线”定理的运用

1.求共起点向量线性运算的系数和

由例1可以抽象出模型1：

由例2可以抽象出模型2：

【解析】如图，设AP与BD相交于点Q，过点P作BD的平行线交AB和AD的延长线于点F和点E，过点A作AN垂直EF于点N，交BD于M.则由等和线定理知

【解析】如图，设OP与AB相交于点Q，过点P作与线段DE平行的直线l，过点O作ON垂直l于点N，交AB于M,则

由例3可以抽象出模型3：

【解析】如图，设AP与BC相交于点Q，过点P作与线段DE平行的直线l，过点A作AN垂直l于点N，交BC于M,则

由这三个模型的分析，可以发现利用向量等和线可以巧妙地将代数问题转化成几何问题，将抽象问题具体化，把复杂的最值问题、范围问题转化为点到直线的距离问题，通过线段之间的比例运算来求系数和，大大提高了高考做题的速度和准确率，培养学生运用化归与转化思想的能力和数学抽象等核心素养.

2.求向量线性运算的系数的线性关系式

利用等和线定理还可以求解向量线性运算的系数的线性关系式的值或者取值范围.

在利用等和线定理求解两系数的线性关系式的值时，需要先通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和，再去找基底向量的等和线，转化为线段比例关系求解.

三、平面向量“等和线定理”的推广

等和线定理是由平面中的三点共线定理深入探究而来，要将平面等和线定理推广到空间，就要从四点共面定理出发.

将平面“等和线”向空间拓展为“等和面”，求共起点向量关系式的系数和问题就可以通过“等和面”转化成空间中的点到平面的距离问题，只需求两线段之间的比值就可以知道系数和.运用“等和面”从几何角度解决代数问题，减少了代数的运算量，节省了考试时间，同时培养了直观想象的核心素养.