湖北 李爱兰

(作者单位：武汉市第十四中学)

解题是数学学习的一个基本方式与环节，是利用数学学习过程中形成的数学知识、数学思想、数学方法来解决问题，验证认识，反思学习的过程.因此，解题能力与效果直接影响学生的学习信心和学习效果.帮助学生提高解题能力是完成教学任务、提高数学教学实效的基本要求,有助于调动学生数学学习的积极性和创造性.尤其是面对一些难度并不大，但存在各种误区与陷阱的易错题，往往会成为学生成绩的分水岭.掌握一定的解题能力与技巧，就能破解各种易错题，即使不能突破压轴题，也能立于不败之地.因此，在教学中提高学生解题能力，帮助学生破解数学易错题，就显得尤为重要.

1.重视概念学习，理解知识本质

数学概念反映的数学对象的属性是抓住了数学对象的最根本的、最重要的本质属性，每一个概念都有一定的外延与内涵.而平时教学中对概念本质理解得不透彻，对其外延与内涵掌握得不准确，都会在解题中反映出来，导致学生解题出错.

________.

【错因分析】未能正确理解函数奇偶性概念的外延，即定义域需关于原点对称.

例2.l1，l2，l3是空间中三条不同的直线，则下列说法正确的是( )

A.l1⊥l2,l2⊥l3⟹l1∥l3

B.l1⊥l2,l2∥l3⟹l1⊥l3

C.l1∥l2∥l3⟹l1,l2，l3共面

D.l1,l2，l3共点⟹l1,l2,l3共面

【错解一】选A.根据垂直的传递性选项A正确；

【错解二】选C.平行就共面；

【错因分析】错解一、二都是因为对空间中线线平行、线线垂直、共面等概念的理解不透彻所致.

【正解】选B.选项A中两直线还有异面或者相交的位置关系；选项C中这三条直线可以是三棱柱的三条棱，因此它们不一定共面；选项D中的三条线可以构成三个两两相交的平面，所以它们不一定共面.

例3．(1)把三枚硬币一起掷出，求出现两枚正面向上，一枚反面向上的概率.

(2)某种产品100件，其中有次品5件，现从中任抽取6件，求恰有一件次品的概率.

【错因分析】在上题的解法中有两个错误：第一，100件产品，其中有5件次品与次品率为5%是两个不同的概念；第二，该实验不是独立重复实验，从100件产品中任抽6件，可当作抽了6次，每次抽1个，但每次抽到次品还是正品，显然直接影响到下一次抽到次品还是正品，显然直接影响到下一次抽到次品或正品的概率，具体地说，如果第一次抽出的是次品，那么次品就少了一个，第二次再抽到次品的概率就小了.这就是说各次实验之间并非独立的，错用了独立重复实验概率公式.

2.吃透数学公式，用好解题工具

3.学会恒等变形，做到随题应变

变形技巧在数学解题活动中是一种基本而又常用的方法，尤其是高中数学中的一些易错题，通常难以直接目测出解题思路与最终结果.为了完成化简、论证、求值等任务，在解题过程中，常需要对一些公式或等式进行等价性变形，找到已知与未知的契合点，化繁为简.然而，因题目的差异，一个式子往往存在着多种变形方式，技巧性非常强，需要学生根据求解方向、已知条件、推导过程等具体情形，正确合理、思路清晰地灵活变形.如

②×2-①得6≤3a≤15, ③

4.挖掘隐含条件，拓宽解题思路

例6.设α,β是方程x2-2kx+k+6=0的两个实根，则(α-1)2+(β-1)2的最小值是( )

C.18 D.不存在

【错解】利用一元二次方程根与系数的关系易得α+β=2k,αβ=k+6,

【错因分析】忽视了一元二次方程有根，即判别式Δ≥0这个隐含条件.

【正解】利用一元二次方程根与系数的关系易得α+β=2k,αβ=k+6,

又因为原方程有两个实根α，β，

且Δ=4k2-4(k+6)≥0⟹k≤-2或k≥3.

当k≥3时，(α-1)2+(β-1)2的最小值是8；

当k≤-2时，(α-1)2+(β-1)2的最小值是18，故选B.

【错因分析】没有注意x的取值范围要受已知条件的限制.

从而当x=-1时，x2+y2有最小值1.

例8.方程log2(9x-1-5)-log2(3x-1-2)-2=0的解集为________.

【错解】log2(9x-1-5)-log2(3x-1-2)-2=0⟺log2(9x-1-5)-log2(3x-1-2)-log24=0，

log2(9x-1-5)=log2[4(3x-1-2)]⟺9x-1-5=4(3x-1-2)⟺(3x-1-1)(3x-1-3)=0，

3x-1-1=0或3x-1-3=0，所以x=1或x=2，所以解集为{1，2}.

【错因分析】产生了增根x=1.实际上当3x-1-1=0时，3x-1-2<0导致对数的真数为负数，则原方程无意义.

【正解】log2(9x-1-5)-log2(3x-1-2)-2=0⟺log2(9x-1-5)-log2(3x-1-2)-log24=0，

log2(9x-1-5)=log2[4(3x-1-2)]⟺

所以解集为{2}.

5．及时分类讨论，防止以偏概全

数学是一门思维严密、逻辑严谨的学科，在解决具体问题时需要考虑到每一种可能性.这就需要在解决实际问题时及时进行分类讨论，防止以偏概全.一旦思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，就不能给出问题的全部答案.

例9．(1)不等式|x+1|(2x-1)≥0的解集为________.

【错因分析】忽略了当x=-1时|x+1|=0，原不等式也成立，即x=-1为不等式的解.

【错因分析】两个错误：一是解分式不等式(方程)时未考虑分母不能为0；二是解二次不等式时没有把二次项系数变为正再考虑两根之外或两根之间，从而导致解集出错.

例10.过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点，这样的直线有( )

A.1条 B.2条

C.3条 D.0条

即k2x2+(2k-4)x+1=0，再由Δ=0,得k=1,故选A.

【错因分析】本题的解法有两个问题，一是将斜率不存在的情况漏掉了，另外又将斜率k=0的情形丢掉了，故本题应有三解，即直线有三条.

【正解】C.由上述分析，y轴本身即为一切线，满足题意；解方程k2x2+(2k-4)x+1=0时，若k=0，即直线y=1也与抛物线y2=4x仅有一个公共点，又k=1时也符合题意，所以有三条直线符合题意，故选C.

例11.设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S3+S6=2S9，求数列的公比q.

【错解】因为S3+S6=2S9,

由q≠0得方程2q6-q3-1=0.

在等比数列中，a1≠0是显然的，但公比q完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比q=1的情况，再在q≠1的情况下，对式子进行整理变形.

【正解】若q=1，则有S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1.但a1≠0，即得S3+S6≠2S9,与题设矛盾，故q≠1.