贺启亮,丁敏,宋晓书,肖勇军,吕兵

(贵州师范大学物理与电子科学学院,贵阳 贵州 550001)

0 引言

量子网络的构建思想与经典电子通信网络是一致的,它是由许多量子节点组成进而进行量子信息任务处理的系统[1]。众所周知,一个高品质、高效率的量子网络系统可以为许多不同的量子信息任务提供强有力的支持,例如分布式量子计算[2]、量子密钥分配[3−5]、量子密码[6]、量子隐形传态[7]等。而实现量子网络系统的核心之一是在空间上有一定距离的不同量子比特之间执行可靠的量子关联和量子态传输[8−11],也就是通过量子信道将量子信息从空间中的一个节点传到另外一个节点,以执行和完成量子信息任务。

另一方面,由于腔QED系统具有成熟的可操控性,所以基于原子-腔-光纤的系统成为构建量子网络最具发展前景的候选载体之一[9,12]。在这个系统中,原子通常被用来存储量子信息,腔场光子作为飞行的量子位,光纤则被看作是量子通道。近年来,基于此系统的量子关联操作和量子信息任务处理受到了越来越多的关注[13−20]。例如,Serafini等[15]研究了由光纤耦合的遥远光腔中原子之间量子门有效实现的可能性,Ye等[16]在由光纤连接的光学腔中提出了一种产生三维纠缠的方案,Pellizzari[12]和Zhou等[17]分别提出了一种在由光纤耦合的远距离腔中实现量子态转移的方案。此外,还有一些研究从理论和实验上表明,在量子网络不同节点中原子之间的量子态转移和量子关联产生可以利用原子-腔-光纤系统来实现[19,20]。

综上所述,原子-腔-光纤系统对于量子态传输以及量子网络的实现具有非常重要的作用,国内外研究者基于此系统已经开展了许多相关的研究工作[13−20],但是利用非线性介质来提高传输效率的研究还未有报道。本文基于光腔充满非线性介质的原子-腔-光纤系统,研究了非线性克尔介质对系统中量子态传输和量子关联转移的影响。

1 系统模型的动力学演化

图1 所研究系统示意图Fig.1 Schematic diagram of the investigated system

如图1所示,所研究系统由两个相同的子系统所构成,每个子系统包含两个二能级原子系综和相距一定距离的两个光腔,而光腔之间由光纤进行连接,同时每个光腔中都充入了非线性克尔介质。这里假设两个子系统是独立的,而且在同一个光腔中的二能级原子的间隔足够远,也就是说原子之间没有直接的相互作用。在短光纤极限之下,整个系统的哈密顿量可以写为[21,22]

式中

接下来计算整个系统随时间的动力学演化。首先,考虑整个系统的初始状态为

式中:α、β满足|α|2+|β|2=1,态|0,N〉代表N个原子全部处于基态;同样地,|1,N−1〉表示N−1个原子处于基态,一个原子处于激发态。

因此,根据(2)、(4)式,可以计算得到整个系统在t时刻的状态为

式中

根据 (5)式,在基矢 {|1,N− 1〉1|1,N− 1〉3,|1,N− 1〉1|0,N〉3,|0,N〉1|1,N− 1〉3,|0,N〉1|0,N〉3}下,通过对其余自由度求迹,可以得到原子系综1与3之间的约化密度矩阵为

式中

类似地,根据 (5)式,在基矢 |1,N−1〉2|1,N− 1〉4,|1,N− 1〉2|0,N〉4,|0,N〉2|1,N−1〉4,|0,N〉2|0,N〉4}下,通过相同方法也可以得到原子系综2、4之间的约化密度矩阵为

式中

2 系统中量子关联的转移

本节研究非线性克尔介质对于系统中量子关联(量子纠缠和量子失谐)转移的影响,此处采用纠缠(Concurrence)[28]去量化系统中的量子纠缠转移。对于一个双量子比特系统,纠缠可定义为

因此,其纠缠可以更为简单地表示为[29]

此外,根据Zurek提出的方法,利用量子互信息与经典关联的差异程度去度量量子失谐[30−32]。对于一个双量子比特系统来说,量子互信息能够写为

式中

此外,经典关联能够被表示为

由(7)、(9)式可以看出原子系综1、3的密度矩阵ρ13(t)及原子系综2、4的密度矩阵ρ24(t)是X型矩阵,根据参考文献[32]中介绍的方法,可以计算出原子系综1、3与2、4的量子失谐的解析表达式。

图2 (a)未加入克尔介质时量子纠缠C13和C24的动力学演化;(b)χ=0和χ=5两种情况下量子纠缠C24的动力学演化Fig.2 (a)Dynamics of quantum entanglement C13and C24without Kerr medium;(b)Dynamics of quantum entanglement C24for χ =0,χ =5

图3 (a)未加入克尔介质时量子失谐Q13和Q24的动力学演化;(b)χ=0和χ=5两种情况下量子失谐Q24的动力学演化Fig.3 (a)Dynamics of quantum discord Q13and Q24without Kerr medium;(b)Dynamics of quantum discord Q24for χ =0,χ =5

3 系统中量子态传输和量子信息流动

本节将研究整个系统中量子态的传输和量子信息的流动。首先讨论系统中不同原子系综间的量子态传输,采用态保真度来度量量子态传输完成的程度,保真度由Nielsen等[10]和Marian等[10,33]引入,其计算方法为

由(4)式,系统中量子态传输的目标量子态为

由(9)、(19)、(20)式,可以得到原子系综1、3与原子系综2、4之间量子态传输的态保真度为

相似地,根据(4)、(8)、(19)式,可以推导出原子系综1、3之间的态保真度为

图4 (a)未加入克尔介质时保真度F13和F24的动力学演化;(b)χ=0和χ=5两种情况下保真度F24的动力学演化Fig.4 (a)Fidelity F13and F24without Kerr medium;(b)Fidelity F24for χ =0,χ =5

为进一步说明非线性克尔介质对系统中量子态传输完成时间的延长效果,借助迹距离的方法研究了非线性克尔介质对系统中量子信息流动的影响。迹距离是由Breuer等[34]引入的,经常用于探测系统不同部分之间的量子信息流动和交换[35,36],其定义式为[34]

由(4)、(9)、(23)式,原子系综2、4之间的迹距离可表示为

图5 χ=0和χ=5两种情况下迹距离D(ρ24(0),ρ24(t))的动力学演化Fig.5 Dynamics of trace distance D(ρ24(0),ρ24(t))for χ =0,χ =5

对比图5中实线和虚线随时间的演化行为可知:当加入非线性克尔介质之后,原子系综2、4之间的迹距离D(ρ24(0),ρ24(t))将呈现振荡衰减,其衰减的速率相比于黑色实线来说会变缓,而且其衰减到初始值的时间将延长。这一结果说明2、4之间量子信息流出的速率将减小,即2、4之间的量子信息能在更长时间内得以保存。这也意味着系统中原子系综2、4之间的量子态传输得以完成的时间将延长,即原子系综2、4将会在更长的时间处于量子关联态。

4 结论

基于光腔充满非线性介质的原子-腔-光纤系统,精确求解了系统中原子系综间的量子关联转移和量子态传输的动力学性质。计算结果表明在未加入非线性克尔介质时,系统中不同原子系综间的量子态传输和量子关联转移都会得以实现,但是随着时间的演化目标原子系综间的态保真度和量子关联的数值都会衰减,这表明系统中实现量子态传输和量子关联转移的时间是有限的。特别地,当加入非线性克尔介质后,目标原子系综间量子态传输的保真度和量子关联转移的数值会得到一定程度的增加,同时保真度和量子关联衰减的速率也会变缓,也就是说系统中实现量子态传输和量子关联转移的时间会得到延长。另外,借助迹距离的方法探讨了系统中量子信息的流动,结果表明非线性克尔介质可以减小系统中目标原子间迹距离衰减的速率,减缓其拥有的量子信息的流出,增加其量子信息存储的时间,这意味着非线性克尔介质可以延长系统中量子关联转移和量子态传输的时间。