江俊勤,涂菁

(广东第二师范学院物理与信息工程系,广东 广州 510303)

0 引言

量子阱(有限深势阱)是量子器件的基本单元,是理论研究的热点之一[1−4]。从量子物理的层面研究势阱数目和势垒宽度对能态分裂的影响,对于理解半导体多势阱结构中电子的能态分布和制备具有实际意义的量子器件都具有参考价值。同时,计算一维量子阱中电子的能级和态函数是量子力学中一个重要的基础问题[5−9]。量子阱中电子的能态可以通过薛定谔方程或转移矩阵的方法来描述,文献[3]用转移矩阵的方法研究了双势阱中能级分裂的物理机理,但该方法是否便于推广到多势阱的情况则未见报道。另一方面,能带理论是固体物理学的核心,但是能带的形成机理颇为复杂和抽象,如果能用一种简单易懂的计算方法直观地展示多势阱中能带的形成过程,将有助于理解能带这个重要概念。文献[9]发展了一种近似的初值法,通过数值求解定态Schr¨odinger方程计算多势阱的能级,但是该方法能否成功依赖于较多的人为因素,需要人为调节一系列参数(调试波函数的求解边界和调试合适的近似初值以及对合理波函数的筛选),以确保成功将边值问题转化为近似的初值问题。对于未知能级的多势阱结构来说,此调试工作量难以估计、结果的可靠性难以保证。

求解量子阱中电子能态的经典方法是先求出定态薛定谔方程的解析解,然后用波函数的标准条件计算电子的能级和波函数。经典方法的优点是物理概念明晰、计算方法简单易懂,而且不依赖人为调节的参数。然而,即使在单一个量子阱的情况下,用于确定电子能级的个数及其大小的方程也是颇为复杂的超越方程,所以目前常用的教科书[5,6]只能求出能级满足的方程,而无法具体计算能级和波函数。想要得到足够精度的能级和波函数,需要进行有效的数值计算。对于多个势阱的情况,更需要一种有效的数值方法。

为此,提出了一种基于Mathematica有效计算电子能级和波函数的数值方法,并在4个势阱的情况下初步显示了该方法的优势[10]。本文在文献[10]的基础上进一步考虑5个量子阱(有限深势阱)的情况,利用新版本Mathematica强大的符号运算和数值计算能力,研究了能态结构随势阱数目变化的规律,显示了电子能级分裂成能带的机理。

1 1～5个势阱中电子能级的计算

1.1 单个量子阱的能级

设电子被如图1所示的单势阱束缚(电子能量E0):左右两边的势垒为无限宽但有限高,高度为U0,即势能函数可写为

按照经典解法,定态Schr¨odinger方程分3个区间求解:

其通解为

2)当x≤0或x≥a时,令,则定态Schr¨odinger方程可表示为

其满足ψ(±∞)为有限值要求的解为

根据波函数 (及其一阶导数)的连续性要求,在x=0 处,要求 ψ(0−)= ψ(0+)且 ψ′(0−)= ψ′(0+),即

这就是取如图1所示坐标系的优点之一,x=0处的边界条件可以提前单独处理,这样(3)式可写成

图1 单势阱Fig.1 Single-well potential

在x=a处,要求 ψ(a−)= ψ(a+)且 ψ′(a−)= ψ′(a+),即

其为关于A和B的二元齐次线性方程组,有非平庸解(非0解)的充分必要条件是系数行列式等于0,这是确定能量本征值的条件,使用有效的数值解法即可获得能级的高精度值。约去系数行列式中无用的公因子 e−βa,令方程式f(E)=0的全部实数根就是所求的电子的能级。但是,若要得到足够精度的电子能级,需要有效的数值计算,借助Mathematica-11.3的找根命令FindRoot可完美解决问题。先用绘制曲线图的命令Plot画出f(E)的曲线图,确定数值解的个数及其初值。此处取a=1 nm和U0=5 eV,对应的f(E)曲线如图2所示,即在此参数下共有4个能级,分别在0.3、1.1、2.3、4.1附近(曲线的单调区间较宽,初值的选取比较自由,如取0.2、1.3、2.5、3.5,找根结果也一样),以它们为数值解的初值,容易求得高精度的能级(单位为 eV,下同),分别为 0.271803、1.07739、2.37920、4.05933。

图2 单势阱中的 f(E)曲线Fig.2 Curves of f(E)in single-well potential

1.2 2个量子阱的能级

设单个电子被如图3所示的双量子阱束缚(电子能量E

图3 对称双势阱Fig.3 Symmetric two-well potential

式中各未知系数和能量由x=0,a1,a2,a3处波函数(及其导数)的连续性确定。先由x=0处连续性要求,得A1=βA/α和A2=A,再由x=a1,a2,a3三处连续的要求,得

其为六元线性齐次方程组,有非平庸解的充要条件是(10)式的系数行列式等于0,去掉无用的公因子e−βa3,得到确定能量本征值的条件

式中f(E)是六阶行列式,其结果比(8)式复杂得多,用Mathematica计算则十分快捷,即

图4 对称双势阱中的 f(E)曲线Fig.4 Curves of f(E)in symmetric two-well potential

取a1=1 nm、a2=1.5 nm、a3=2.5 nm(两势阱的宽度均为1 nm、中间势垒宽度为0.5 nm)以及U0=5 eV,则f(E)的曲线如图4所示,能级一共有8个,它们的大概值分别是0.271、0.272、1.0、1.1、2.3、2.4、4.0、4.1(可以局部放大以便正确确定能级个数及其初值位置,图4右下方给出了f(E)在E=0.271和4.05附近的局部放大图,都是两个很靠近的交点)。以它们为初值,用命令FindRoot求出高精度能级(单位为eV,下同),分别为:0.271504、0.272100、1.07565、1.07913、2.37158、2.38691、4.02556、4.09941。

1.3 3～5个量子阱、能带的形成

单个量子阱和双量子阱的计算方法容易推广到多量子阱的情况。每增多1个量子阱,表示束缚定态的分段波函数增加两段,定态波函数中待定系数满足的线性方程组增加4个未知数;相应地,用于确定电子能级的行列式f(E)增加4阶。

对于三势阱,波函数分为7段,即

由x=0,a1,a2,a3,a4,a5处波函数的连续性可确定(13)式各未知系数和能量所满足的方程组

其为十元线性齐次方程组,由十阶系数行列式f(E)=0可计算出高精度的能量本征值,求解方法和处理超越方程式(12)相同,但对应(14)式的十阶系数行列式f(E)的表达式比(12)式复杂得多,本文从略。

取a1=1 nm、a2=1.5 nm、a3=2.5 nm、a4=3 nm、a5=4 nm(即每个势阱的宽度都是1 nm,而中间势垒宽度都是0.5 nm)和U0=5 eV,可求得所有能级(共12个),分别为:0.27138、0.271802、0.272223、1.07493、1.07739、1.07985、2.36846、2.37919、2.39013、4.01223、4.06124、4.11722,每 3 个一组。

对于四势阱,波函数分为9段,即

由x=0,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7处波函数的连续性可确定(15)式中各未知系数和能量所满足的方程组

其为十四元线性齐次方程组,由其系数行列式(十四阶,略)f(E)等于0(有非平庸解的条件)可求得所有能级。取每个势阱的宽度都是1 nm,中间势垒宽度都是0.5 nm(即a1=1 nm、a2=1.5 nm、a3=2.5 nm、a4=3 nm、a5=4 nm、a6=4.5 nm、a7=5.5 nm)和U0=5 eV,则共有16个能级,分别为:0.271319、0.271617、0.271986、0.272284、1.07457、1.07631、1.07846、1.08021、2.36692、2.37447、2.38395、2.39173、4.00574、4.03942、4.08507、4.12619,每 4 个一组。

对于N≥5的情况,其计算量远大于4个势阱的情况,但由于Mathematica-11.3具有强大的符号运算和数值计算能力,仍然可以得到有效处理。对于5个势阱,波函数分为11段,确定能级和波函数待定系数的是十八元齐次线性方程组(略),由十八阶系数行列式f(E)等于0(有非0解的条件)可求得所有能级。仍然取每个势阱的宽度都是1 nm、中间势垒宽度都是0.5 nm(即a1=1 nm、a2=1.5 nm、a3=2.5 nm、a4=3 nm、a5=4 nm、a6=4.5 nm、a7=5.5 nm、a8=6 nm、a9=7 nm)和U0=5 eV,则共有20个能级,分别为:0.271285、0.271503、0.271801、0.272100、0.272318、1.07437、1.07564、1.07738、1.07913、1.08041、2.36607、2.37158、2.37919、2.38690、2.39262、4.00211、4.02643、4.06188、4.10049、4.13124,每5个成一组。

图5 单个势阱至5个势阱的电子能级Fig.5 Energy levels of electron from single-well potential to five-well potential

把1～5个对称势阱的能级绘制在一个图上,如图5所示,由于各个量子阱距离很近(只有0.5 nm),当N个完全一样的量子阱排在一起时,电子的态函数发生了重叠(越高能级的电子态重叠越严重),电子受到了N个量子阱的影响,原来的一个能级分裂成为N个相近的新能级,量子阱数目N越大能级间隙越小;随着量子阱数目N的增加,形成了能带。

2 电子定态波函数的数值计算

仅以N=4(4势阱)为例,其能级已经高精度确定,也就能计算电子定态波函数了。把能级E、电子质量µ、电量e、约化普朗克常数ħ和势阱高度U0值代入(16)式,就可以确定各个系数与A之间的关系(A由归一化条件给出),从而求出线性方程组(16)的基础解系。实际上,系数A1和A2已经由A1=βA/α和A2=A确定了,再由(16)式的前两个方程可以解出系数B1和B2,由第3个和第4个方程解出C1和C2,由第5个与第6个方程可以解出系数D1和D2,由第7个与第8个方程可以求得系数E1和E2,由第9个与第10个方程可以确定系数F1和F2,由第11与第12个方程可以解出系数G1和G2,最后利用(16)式的第13(或第14)个方程就可以求得系数H。

把从(16)式求得的各个系数代入(15)式就可以计算出波函数并绘图,限于篇幅此处只给出一部分波函数的图形,如图6～10所示,分别是基态的波函数、第一激发态的波函数、第二激发态的波函数、第十四激发态的波函数和第十五激发态的波函数。

所有定态波函数都是以势阱中心轴(在x=2.75nm处)为对称轴的奇偶函数,随着能级的升高,定态波函数的奇偶性轮流呈现,基态波函数为偶函数,最高能级的波函数为奇函数。

图6 对称四势阱中基态的波函数Fig.6 Wave function of ground state in a symmetric four-well potential

图7 对称四阱势中第一激发态的波函数Fig.7 Wave function of the first excited state in a symmetric four-well potential

图8 对称四阱势中第二激发态的波函数Fig.8 Wave function of the second excited state in a symmetric four-well potential

图9 对称四阱势中第十四激发态的波函数Fig.9 Wave function of the fourteenth excited state in a symmetric four-well potential

图10 对称四阱势中第十五激发态的波函数Fig.10 Wave function of the fifteenth excited state in a symmetric four-well potential

3 结论

研究了处在1～5个量子阱(有限深方势阱)中单电子的束缚态。从定态薛定谔方程出发,利用新版本Mathematica强大的符号运算和数值计算能力,研究了能级结构随势阱数目N变化的规律-用数值方法求解由标准条件决定的(4N−2)元线性方程组,由系数行列式等于0的超越方程计算出电子的能级、再通过计算线性方程组的基础解系确定本征函数。计算过程和所得到的结果表明所提出方法是研究多势阱中电子束缚态的有效方法,其保留了经典解法的优点,物理概念清晰、过程简明易懂、不存在人为调节的参数,而且计算精度高、速度快。同时,所得结果直观地展示了电子能级分裂成能带的机理。