廖远萍

【摘要】本文运用T·施勒伊费尔在《关于证明不等式的一种图表法》里所提到的图表法，对某些不等式做了进一步的推广

【关键词】图表法;均值不等式

众所周知，不等式的证明方法有非常多，作差法、作商法、放缩法、整体代换法，数形结合法……数不胜数，令人叹为观止。这一方面体现了数学的精巧，另一方面却为教学带来了一定的困难。因此，我们在向学生教授不等式的各种技巧时，一方面要展现不等式的多种技巧，另一方面应尽可能地教给学生一些易于掌握而且适用范围比较广的方法。

苏联数学教育家T·施勒伊费尔所给出了关于证明不等式的图表法就是这样的一种具有普遍性的方法。T·施勒伊费尔运用这种方法推广了Cauchy不等式、Holder不等式和幂平均不等式等诸多结果。之后，在2005年，王亚辉和王亚红应用这种方法对数学竞赛中出现的诸多不等式问题做了很多的讨论。在2009年，王增强在考虑不等式，，其中a，b，c∈R+且a+b+c=1，也使用了T·施勒伊费尔的方法。

本文旨在运用该方法对近年来中数研究中出现的几个不等式做一些讨论。为方便阅读，我们先重述T·施勒伊费尔在《关于证明不等式的一种图表法》中关于图表法的介绍：

约定A=A（a1，a2，…，an）与=（a1，a2，…，an）分别表示非负实数a1，a2，…，an的算术平均数与几何平均数。

定理1：设由n行k列组成的长方形表中，全部填写着非负实数：第一行填写a1，a2，…，a1n，第二行填写a21，a22，…，a2n，……，第k行填写ak1，ak2，…，akn.在每一行中，计算它们的几何平均数并分别用来表示它们。其次，在每一列，计算它们的算术平均数并分别用来A1，A2，…，An表示它们（表1），则有。

下面，我们运用这个定理对几个不等式做进一步的推广：

定理2：设n是一个自然数，x1，x2，…，xn=1为正实数且x1x2…xn=1.则.

证明：在n×n的长方形表格中填数如下：

令. 则由定理1得从而，由均值不等式有，于是.

又因为，所以.

因此.

证毕。

令n=3，则有：

推论1：（第39届IMO备选题） 已知x，y，z为正实数且xyz=1， 求证

定理2：设n是一个自然數，x1，x2，…，xn为正实数且x1，x2，…，xn=1. 则

.

证明：在的长方形表格中填数如下：

令 则由定理1，有由定理1以及，有.

于是

因此.

证毕。

令n=3，则有：

推论2：（第二届友谊杯国际数学竞赛） 已知a，b，c为正实数. 求证

.

定理3：设是一个自然数， 为正实数. 则

证明：在n×n的长方形表格中填数如下：

令则由定理1， 有

于是

因此

证毕。

令n=3，则有：

推论3：（2000年加拿大数学奥林匹克试题） 证明：对任意正实数，均有

定理4：设n是一个自然数， x1， x2，…，

xn， xn+1， 为正实数且x1， x2，…xn=1， xn+1=x1则

证明：在的长方形表格中填数如下：

由定理1，有

因为x1，x2，…xn=1，所以有

因此

证毕。

令n=3，则有：

推论4：设x，y，z为正实数， 且xyz=1. 则（x+2y）（y+2z）（z+2x）≥27.

最后，为了进一步说明该方法的实用性，我们来看一些熟知的例子：

例1：设是一个自然数， x1，x2，…，xn+1为实数且x1=xn+1. 则

证明：在的长方形表格中填数如下：

令则由定理1， 有

于是A≥B.

即

证毕。

例2：设ai，bi为正实数（i=1，2，...n）且. 求证：.

证明：在n×2的长方形表格中填数如下：

由定理1，有

即

又因为， 所以

证毕。

例3：求证： ， 其中a，b，c，为的三边。

证明：因为a，b，c，为△ABC的三边， 所以c+b-a，a+c-b，a+b-c，a，b，c，都为正实数。

在的长方形表格中填数如下：

则由定理1，有

两边平方，得

证毕。

由上述的证明，我们可以知道我们将问题不断地有一般到特殊，由复杂到简单，由概括到具体，层层递进，让学生感受了数学的精巧以及数学的逻辑思维的巧妙。

鉴于我校数学基础比较薄弱，学生的基础知识不是那么拔尖，我们的这个关于不等式的图表法的若干应用，主要是设想用于学校的综合实践的课堂中使用。主要是选拔一部分数学爱好者集中一起探讨，会更加适合。同时，丰盈了教师对数学研究的成就感，让爱好数学的师生们一起愉快进步。

最后，笔者将不断地调整关于不等式的图表法，用更通俗易懂的方法，将复杂的事情简单化，由浅入深，由一般到特殊，由特殊到一般，将课题研究得更加接近现在初中生的学习水平。

参考文献：

[1]Φ·T· 施勒伊费尔.关于证明不等式的一种图表法[J].王玉怀，译.数学通报，1987（10）.

[2]王亚辉，王亚红.应用均值不等式的推广证不等式[J].数学通报，2005（12）：35-37.

[3]谢跃进.柯西不等式应用探讨[J].铜仁职业技术学院学报，2008（12）：59-61.

[4]陈唐明.也谈利用柯西不等式及其推论证明不等式[J].中学数学研究，2008（10）：39-40.