戚 壮，王晓雷，莫荣利，叶 特，陈清化

(1．石家庄铁道大学 机械工程学院， 河北 石家庄 050043；2．中国中车 株洲时代新材料科技股份有限公司， 湖南 株洲 412000)

近年来，空气弹簧由于其独特的优势被广泛应用于高速动车组上[1-3]。空气弹簧能够较好的满足二系悬挂系统设计中的各种要求，缓解振动并提高旅客乘坐的舒适度，被国内外学者进行了大量的研究分析并应用于不同领域[4-5]。随着高速列车的提速与快速发展，空气弹簧的非线性特性成为了学者们的研究热点。因此建立空气弹簧非线性模型，对空气弹簧系统的动态特性进行研究。

空气弹簧结构复杂，刚性特性影响因素多，改善空气弹簧的垂向性能一直是研究的重点[6-7]。为了探究空气弹簧动力学特性，文献[8]利用气体热力学和流体力学方程推导了空气弹簧-连接管路-附加空气室的空气弹簧动力学模型，并分析了连接管路长度、管径大小及管内气体质量对悬挂性能的影响。文献[9]基于连续介质损伤力学理论，结合三阶Ogden应变能密度函数推导出模型，并通过试验数据拟合参数，得出对空气弹簧疲劳寿命的预测。文献[10]基于自行编写的空气弹簧动态特性仿真软件ASDS建立TPL-ASN模型，并对某高速动车组空气弹簧进行不同激励振幅和频率下的动态特性仿真分析，将仿真计算的动刚度、阻尼比与试验结果进行对比，反映出空气弹簧的非线性特性。但上述研究均没有考虑空气弹簧在承载过程中由于橡胶气囊本身具有的黏弹性和伸缩性所形成的黏弹性力的影响。文献[11]考虑了橡胶气囊力学特性，采用摩擦模型和分数导数Kelvin-Voigt模型对橡胶气囊进行建模，描述了橡胶气囊的振幅相关性和频率相关性，但是其仅基于一阶泰勒展开和割线法在平衡点附近建立了空气弹簧系统的线性模型，基于数学方法对空气弹簧参数进行辨识，没有与整车的模型进行联合仿真计算。

因此，本文提出利用气动热力学理论对空气弹簧的静态与动态特性进行研究，结合有限元平台对空气弹簧重要参数进行分析，并建立气动热力学模型。采用分数阶微积分理论探究气囊橡胶材料的黏弹性阻尼特性，建立橡胶气囊的分数阶控制器，优化了气动热力学模型。结合试验数据用最小二乘法对该模型的参数进行优化，以此来对气动热力学模型进行修正。大量试验结果验证了分数阶修正的气动热力学模型的有效性，并分析了空气弹簧的静态、动态特性。最后，将空气弹簧模型植入UM动力学软件进行与整车模型的联合仿真，能够为空气弹簧系统在整车动力学性能影响的研究提供有效的方法。

1 建立空气弹簧系统气动热力学模型

空气弹簧气动热力学模型的探究需要对空气弹簧主气室、附加气室和节流阻尼孔分别建模，主气室代表橡胶气囊内部的压缩空气，附加气室影响空气弹簧的动态性能，节流孔径的有效面积限制气体的流动速率。基于以上各组成部分，在Simulink中建立空气弹簧系统模型。

1.1 空气弹簧主气室与附加气室子模型

空气弹簧主气室在振动过程中接近于工程热力学中的绝热过程，故满足理想气体的绝热过程方程式。

(1)

式中：n为多变指数，等温过程下n一般取1，绝热过程下n一般取1.4。

方程两端对时间求导，得到微分方程为

(2)

空气弹簧的气囊容积主要与空气弹簧工作高度h有关，此外还受到空气弹簧内部压力的改变而导致容积径向发生弹性变形。基于这两种因素的影响，可得

(3)

式中：h为空气弹簧高度，h=h(t)；kv为空气弹簧的体积受到气囊内部压力变化产生的体积变化率。

空气弹簧有效面积Se不仅与空气弹簧工作高度h有关，而且还与压强的变化率相关。

(4)

式中：Se为有效面积，是垂向力F与空气弹簧气室相对压强P的比值，N/Pa；ks为空气弹簧的有效面积受到气囊内部压力变化产生的有效面积变化率。

基于空气弹簧主气室动力学方程，分析附加气室动力学方程，由于附加气室容积Vt一定，因此有

(5)

基于以上理论，在Simulink中建立空气弹簧主气室与附加气室子模型如图1、图2所示。由图1、图2可知，输入端为空气弹簧下盖板的激励信号、流入主气室和附加气室的气体质量流量和初始载荷力的变化量，输出端为空气弹簧的垂向力、主气室与附加气室压强等参数。

图1 空气弹簧主气室气动热力学模型

图2 空气弹簧附加气室气动热力学模型

1.2 空气弹簧节流孔子模型

节流孔是空气弹簧产生阻尼的重要元件，发挥着限制和阻碍气体流通的作用，依据流体力学理论，气体流动过程时的流量变化依赖于两气室之间的体积和压力差，经流的气体在节流孔处产生了流体摩擦力和惯性力，导致实际流通面积S小于理论设置的流通面积S0，流经节流孔的气体质量流量变化Q可表示为[12]

(6)

(7)

基于以上理论建立的节流孔子模型见图3。由图3可知，将节流孔两端的压强作为输入，经过式(6)、式(7)计算可以得出输出端主气室与附加气室的气体质量流量。

图3 空气弹簧节流孔模型

1.3 分数阶理论在空气弹簧橡胶气囊中的应用

空气弹簧气动模型没有考虑橡胶气囊材料的阻尼特性，然而空气弹簧在工作频率范围内，橡胶气囊黏弹性产生的阻尼效应会影响空气弹簧的动态特性，而分数阶理论对研究橡胶材料的黏弹性提供了很好的建模方法，已经被证明是描述橡胶材料黏弹性性质的有力证据[14]。因此，本文采用分数阶微积分对橡胶气囊的黏弹力进行分析并建模，以此来修正气动热力学模型与工程实际空气弹簧之间的一些差异。

根据常用的Grünwald-Letnikov分数阶定义，将分数微积分写成[15]

(8)

式中：α为分数阶的阶数。式(8)表明分数阶微积分一个点的积分是由整个时间的历史决定的，分数阶微积分具有记忆性。因此Grünwald满足以下递推公式[16]

(9)

利用以上Grünwald-Letnikov 分数阶定义，将橡胶气囊的黏弹力与位移的关系表示为[17]

(10)

式中：Fvis(t)为黏弹力；α为空气弹簧工作位移x(t)对时间的阶数；C为分数阶的阻尼系数。

但是，上述的分数阶微积分定义较为复杂，难以进行建模分析，考虑到空气弹簧受到频率的响应是在一定范围内，可以采用Oustaloup传递函数的方法，将含有整数阶零点与极点生成的折线去近似逼近分数阶微积分的直线特性，见图4，使其频域响应很好的逼近原始的分数阶模型[18]。

图4 Oustaloup滤波器近似解与分数阶微积分解示意图

该传递函数可以表示为

(11)

(12)

(13)

基于G(s)传递函数，建立分数阶修正的气动热力学模型见图5，激励信号作为输入，橡胶气囊黏弹性力Fvis作为输出，设置分数阶微积分的阶数α与黏弹性阻尼系数C来表征空气弹簧黏弹性力。

图5 分数阶模型应用在空气弹簧系统模型

2 空气弹簧模型参数的确立

2.1 基于有限元分析下的空气弹簧参数确定

空气弹簧气动模型在建立过程时需要确定一些流体参数，有限元算法作为一种有效的数值算法，能够将复杂的几何体进行单元简化，经过建模分析计算得出结果。根据株洲时代新材料公司提供的某型号空气弹簧尺寸图，建立有限元模型，得到云图见图6，得出空气弹簧有效面积和加载位移、压强以及空气弹簧体积和位移、压强之间的关系，并将数据进行拟合得出函数关系见图7、图8，其他结构参数见表1。

图6 空气弹簧模型

图7 空气弹簧有效面积与位移和压强关系

图8 空气弹簧体积与位移和压强之间关系

表1 空气弹簧模型参数

2.2 橡胶气囊分数阶微积分参数的辨识

分数阶模型参数的辨识建立在试验数据的基础之上，选择一组原有的试验数据对空气弹簧橡胶气囊的参数进行辨识。气动热力学模型的回滞曲线与试验曲线对比结果见图9。由图9(a)可知，静态加载下气动热力学模型已经能够较好的反映出空气弹簧的刚度和阻尼特性，这是由于静态加载下的频率极低，试验过程橡胶气囊产生的黏弹力成分可以忽略不计，因此与尚未考虑橡胶气囊黏弹性的气动热力学模型相匹配。但是，在动态加载下，橡胶气囊的黏弹力已经不能忽略，此时动态回滞曲线与试验曲线在刚度和阻尼上均有较大差异，见图9(b)。

图9 动态与静态下气动热力学模型仿真与试验对比

分数阶模型的建立就是为了修正空气弹簧气动热力学模型与试验结果存在的差异，为了获取分数阶模型参数，首先需要获得分数阶模型的阶数α和分数阶阻尼系数C的一般规律。采取控制变量法，让系数C的值保持不变，通过大量仿真计算，得到分数阶阶数α和回滞环刚度k、回滞环面积S之间的函数关系，见图10(a)。由图10(a)可知，随着α的增大，刚度先减小后增大，面积持续增大。同理，控制阶数α保持不变，依次增大系数C进行仿真计算，得到系数C和回滞环刚度k、回滞环面积S之间的函数关系，见图10(b)。由图10(b)可知，随着C的增大，刚度逐渐减小，面积几乎呈线性增加。

图10 分数阶参数的一般规律

在获得了分数阶微积分一般规律后，对分数阶模型的参数进行准确的辨识。选择一组空气弹簧垂向动态试验数据进行校正，见图11(a)，采用最小二乘法对该参数进行循环辨识，最终获得分数阶阶数α和分数阶阻尼系数C，将α和C的值输入分数阶模型中，实现对气动热力学模型的修正作用，其结果见图11(b)。由图11(b)可知，经过修正后的空气弹簧气动热力学模型与试验曲线吻合较好，证明了该辨识参数方法的有效性，并且验证了对考虑橡胶气囊黏弹性力建模的必要性。

图11 空气弹簧气动热力学模型修正方法与修正结果显示

3 分数阶修正的空气弹簧气动热力学模型验证

为了验证分数阶修正的空气弹簧气动热力学模型的准确性，对空气弹簧的动静特性进行试验，试验参照TB/T 2841—2010《铁道车辆空气弹簧》[19]。将某型号的膜式空气弹簧本体倒立放置在自由振动台的中心位置，调整空气弹簧的高度为326 mm，并且固定上盖板，使得空气弹簧能随着振动台的激振进行振动。静态与动态试验是在JYC-027二维电子万能试验机上进行。试验装置包括数据采集器、位移传感器、MPM4760主气室压强传感器、MPM4760附加气室压强传感器、力传感器、空气弹簧本体、附加气室、节流阻尼孔、空气压缩机、干燥过滤器、压力表以及开关阀等。在空气弹簧上盖板的垂直方向放置质量一定的配重块，其上方放置位移传感器，用来检测主气室所施加的位移信号。空气弹簧的下盖板固定在试验台上，放置力传感器，用来检测主气室所施加的反作用力。两个压强传感器分别检测空气弹簧主气室和附加气室的压力变化信号，最终通过MTS数据采集系统进行采集、处理。

空气弹簧的刚度和阻尼采用了图12的计算方法。由图12可知，回滞曲线的刚度K由最高点与最低点坐标得出；垂向振动进程中消耗的能量为回滞曲线的面积S。

图12 空气弹簧刚度与阻尼的计算方法

3.1 垂向静态特性探究

按照试验工况对该模型进行同等状态下仿真分析，得出初始气囊压强与载荷关系的试验、仿真对比结果见图13。由图13(a)可知，气囊初始压强的增大会提高其承受载荷的能力，随着充入内压的依次增大，垂向载荷也逐渐增大，试验结果与仿真计算吻合较好。

图13 空气弹簧静态特性仿真图与仿真试验对比图

为了探究静态状况下空气弹簧气囊中气体分子的压缩程度是否影响空气弹簧在不同工况下的刚度变化，调整初始内压为470、630、700 kPa，经过仿真计算得出相应的载荷、位移曲线，并将得出的数据拟合为相应的载荷、位移的二次函数。垂向力F对位移X求导得出刚度、位移的一次函数见图13(b)。由图13(b)可知，空气弹簧气囊在承受载荷时的静态刚度随着初始压强的增加而变大；同一初始压强下，静刚度会随着空气弹簧压缩位移的增加而增大；随着初始压强的增大，静刚度的变化率(刚度位移曲线的斜率)增加，这表明当气囊内部气体压缩程度变大时，其产生的单位位移下的作用力(刚度)变化率增大，体现了空气弹簧可变刚度的优点。

调整模型参数与试验工况完全一致，仿真得出载荷为95、126、140 kN，振幅为10 mm的静态三角波激励下的空气弹簧刚度回滞曲线，见图14。由图14(a)～图14(c)可知，空气弹簧静态刚度回滞曲线与试验曲线吻合度较高，且能够较好地反映出回滞曲线两端的“尖角效应”，其误差不超过5%，表明该模型能够准确地模拟不同载荷下的空气弹簧静刚度特性。由图14(d)可知，随着压强的增加，静刚度增大；且空气弹簧的静刚度不仅与压强有关，还与附加气室的体积大小有关，体积越大，静刚度越小。

图14 空气弹簧静态刚度回滞仿真曲线与试验曲线对比图

3.2 垂向动态特性探究

空气弹簧垂向动态刚度与阻尼特性不仅与加载振幅的大小有关，还与不同的频率有关。因此，基于仿真计算，将振幅为5、10 mm、频率为1 Hz的正弦激励下的空气弹簧动刚度曲线的规律整理见图15。由图15可知，分数阶修正的气动热力学模型仿真出的载荷位移曲线与试验特性曲线基本吻合，表明该模型能较好地描绘出动刚度特性，动刚度大小与试验结果基本相同，误差在2%以内，体现了模型的准确性。通过回滞曲线对比结果可知，由于试验过程中位移、力传感器布置在振动台上随着激扰一起振动过程中存在一些实际误差和摩擦，导致载荷、位移回滞曲线与仿真曲线在几何上有所差别，但通过计算得出两者的包络面积在数值上基本相等，可以得出此模型能够较好地反映空气弹簧的阻尼特性。

空气弹簧的频变特性采用频率为0.5～5 Hz的正弦波激励，振幅设置为5、10 mm，试验研究和仿真研究总结出频变特性的规律如图17所示。由图17可知，该空气弹簧模型能较好地模拟出不同激振频率与振幅下的空气弹簧动刚度与阻尼特性，仿真结果与试验结果吻合较好，试验和仿真结果误差在10%以内。

由图16(a)可知，在0.5～5 Hz频率范围内，振幅越大，动刚度整体上越大，在频率0.5～3.5 Hz范围内，频变特性受到的影响程度较大，随着频率的增加，动刚度明显增大。在频率3.5～5 Hz范围内，随着频率的增大，动刚度逐渐减小并逐渐趋于水平。由此可知，分数阶修正的空气弹簧气动热力学模型能够较好地描述空气弹簧频变的非线性特性。

图16 不同激振频率与振幅下动刚度与阻尼特性仿真与试验结果对比

由图16(b)可知，分数阶修正的空气弹簧模型产生的阻尼大小与激振幅值和频率有较大的关联性，阻尼的波峰与波谷会随着振幅的变化而改变。在2 Hz以前，振幅越大，阻尼越大。振幅为5 mm时，在0.1～1.4 Hz范围内，随着频率的增加，阻尼先减小后增大，在0.5 Hz附近和1.2 Hz附近呈现波谷与波峰值；振幅为10 mm时，在0.1～1 Hz范围内，随着频率的增加，阻尼先减小后增大，在0.3、1 Hz附近呈现波谷与波峰值，由此可以得出，随着振幅的改变，阻尼特性曲线有一定的滞后性。在2 Hz以后，随着频率的变化阻尼大幅度降低，最终趋于稳定变小的状态，并且受到振幅变化的影响不再明显。

4 整车模型与空气弹簧系统联合仿真

运用多种方法对空气弹簧的各项参数和垂向特性进行研究，考虑到车辆多体动力学模型是车辆动力学研究的基础，而单一频率的简谐运动难以模拟车辆运行过程中的不平顺激励的随机性，因此基于车辆动力学联合仿真思想，将Simulink中建立的空气弹簧系统模型植入到UM多体动力学软件中建立的整车模型中，进一步分析整车模型下的空气弹簧模型对车辆运行平稳性的影响。

4.1 UM与Simulink联合仿真方法

将Simulink中建立的空气弹簧模型经编译、加载的方式生成Dynamic-Loaded Library(DLL)形式，导入UM环境中的整车模型中，以此来设置车辆系统与控制方案之间的连接，将空气弹簧模型的位移变量作为输入信号，垂向支反力变量作为输出信号。车辆系统以动车组拖车的单节车为研究对象，在UM多体动力学软件中建立车辆系统的多刚度拖车模型，将车体、构架和轮对考虑为6个自由度的刚体，令其能够在车辆运行过程中实现纵向、横向、垂向、侧滚、点头、摇头运动。二系将抗蛇行减震器、横向减震器、横向止挡和抗侧滚扭杆均考虑为非线性力元，以FASTSIM理论计算蠕滑力。

4.2 联合仿真下对整车动力学计算的影响

整车动力学模型联合仿真计算中，轨道激励采用京津高速铁路轨道谱，车辆运行速度单位设置为km/h。为了探究气动力学模型、分数阶修正后的空气弹簧模型分别与整车联合仿真计算中的时域、频域响应范围与差异，对构架和车体之间的相对位移变量进行研究分析，对比两种模型在相同时间历程下受到构架激励的位移变化时域曲线，见图17(a)，两种空气弹簧模型受到的激振幅值多数集中在5 mm左右，虽然两种模型在时域上有所不同，但是不能确定激振信号的特征曲线，因此将该激振的时间历程进行快速傅里叶变换(FFT)后得到频域特性，如图17(b)所示。由图17(b)可知，气动热力学模型在激振频率为1.2 Hz左右较为集中，分数阶修正模型在激振1.5 Hz左右较为集中，此差异可能是由于橡胶气囊的黏弹性阻尼在不同频率响应下提供的阻尼力不同，进而体现在分数阶修正模型产生的滞后性上，而且，分数阶修正模型在高频振动下幅度特性低于气动热力学模型，表明该模型能够更好地抑制高频振动下的幅值大小。

图17 空气弹簧激振的时域与频域分析

为了探究联合仿真计算下车辆的平稳性变化，调整车辆以一定的运行速度通过直线，轨道激励依然采用京津高速铁路轨道谱，在车辆二系悬挂空气弹簧支撑的车体上设置加速度计，经过仿真计算输出相应的垂向加速度值，依据GB/T 5599—1985《铁道车辆动力学性能评定和试验鉴定规范》，车辆的垂向平稳性指标W的表达式为[20]

(14)

式中：Az为车体的垂向振动加速度；f为振动频率；F(f)为与振动频率相关的修正系数。

气动热力学模型与分数阶修正模型在不同速度级下的车辆垂向运行平稳性以及最大加速度分析见图18，采用两种不同模型与整车联合仿真时，车体的垂向平稳性Sperling指标与最大加速度值随着车辆的运行速度增加而非线性增大，且在数值上均有较大的差异，分数阶修正模型的平稳性指标、最大加速度值均低于气动热力学模型的指标与加速度值，其中平稳性指标相差最大约为7%，最大加速度值相差最大约为14%。依据GB/T 5599—1985《铁道车辆动力学性能评定和试验鉴定规范》中车体舒适度与加速度的评判标准，划分为优、良、合格3个等级，平稳性指标越小，车体舒适度越好；最大加速度值越小，评价度越优良。因此，若采用分数阶修正的空气弹簧模型建模能够在一定程度上改良车体的垂向平稳性与舒适度，能够更好地应用于高速动车组的二系悬挂系统。

图18 两种空气弹簧模型下的直线运行平稳性指标

5 结论

(1)基于工程热力学、空气动力学和流体力学，在Simulink中建立带有附加气室的空气弹簧模型，利用有限元平台分析相关气动参数的值，为建立气动热力学模型提供了参数支持。

(2)由于动态加载下空气弹簧气动热力学模型不能很好的反映出刚度与阻尼特性，引入了分数阶微积分理论对橡胶气囊本体材料进行研究，考虑橡胶材料间的黏弹性力，建立分数阶微积分模块，有效改善了气动热力学模型。基于试验数据对分数阶模块的参数进行优化和辨识，最终建立优化后的空气弹簧模型。

(3)为探究空气弹簧的振幅相关性，将分数阶修正后的模型调整与试验工况一致，分析不同载荷下空气弹簧的静态与动态刚度和阻尼特性。载荷位移曲线表明：试验结果和仿真结果吻合程度良好，验证了该模型的准确性，并且得到振幅与载荷变化对空气弹簧刚度的关联性；为探究频率相关性，分析了空气弹簧的加载频率为0.5∶5 Hz下与试验与仿真对比结果，较好反映出不同频率下的空气弹簧刚度特性。通过探究阻尼相关性的结果表明：不同频率与振幅范围内阻尼特性有所不同，频率增大，阻尼先减小后增大再减小至趋于平稳。

(4)整车的联合仿真能够将空气弹簧系统模型与车辆动力学模型结合，实现数据的交换，通过探究车辆垂向平稳性的影响表明：在轨道不平顺的激励下，空气弹簧橡胶气囊的黏弹性力起到了一定的作用，两种模型对轨道谱的激励敏感程度也略有不同，尽管两种模型均满足车辆动力学中关于垂向平稳性的评判标准，但其平稳性指标和最大加速度值均体现了差异性，分数阶修正的空气弹簧模型能够降低平稳性指标和最大加速度值，更有利于车辆动力学的安全性计算。