陈雨

广西大学行健文理学院 广西 南宁 530005

引言

机械手臂是由多个关节组成，关节空间的轨迹规划就是对每个关节都基于关节运动约束条件规划它的光滑运动轨迹。关节的运动约束条件包括它的运动范围、运动速度、加速度等[1]。常见的轨迹规划有直线插值、抛物线过渡的直线插值、三次多项式函数规划、五次多项式函数规划等。本文比较了三次多项式函数规划和五次多项式函数规划的不同，并用MATLAB仿真验证结果。

1 三次多项式函数规划关节轨迹

三次多项式函数具有一阶、二阶微分光滑特性，所以在机械手臂关节空间轨迹规划中被普遍采用。定义关节值中起点为θ0，终止点为θf。构造出满足关节运动约束条件且通过起始点和终止点的光滑轨迹函数θ(t)。

将约束条件代入三次多项式函数通式（1），可得四个方程：

图1-1中，关节运动角度随时间光滑变化。图1-2和图1-3，关节运动角速度和关节运动角加速度随时间变化曲线非光滑。

图1-1 关节运动角度随时间光滑变化

图1-2 关节运动角速度随时间变化

图1-3 关节运动角加速度随时间变化

由图1-1、图1-2、图1-3得出结论：采用三次多项式函数的关节运动角速度和关节运动角加速度为直线，采用三次多项式的关节轨迹函数只能保证两关节点处的位置约束，无法满足两关节点处的速度和加速度约束。如果想满足速度和加速度约束，需要采用更高阶的多项式函数，如五次多项式函数[2-5]。

2 三次多项式函数规划关节轨迹

五次多项式函数的通式为：

将约束条件代入五次多项式函数通式（2），可得六个方程：

解得五次多项式的系数为：

图2-1中，关节运动角度随时间光滑变化。图2-2和图2-3，关节运动角速度和关节运动角加速度随时间变化曲线非光滑。

由图2-1、图2-2、图2-3得出结论：采用五次多项式函数的关节运动角度、角速度和角加速度在15s内都是光滑变化的，五次多项式函数优于三次多项式函数[6-10]。

图2-1 关节运动角度随时间光滑变化

图2-2 关节运动角速度随时间光滑变化

图2-3 关节运动角加速度随时间光滑变化

3 结束语

本文比较了三次多项式和五次多项式插值的轨迹规划，并通过MATLAB进行了仿真实验。仿真结果表明，采用过路径点的五次多项式插值法中关节运动角度、角速度和角加速度曲线都是连续的，机器人的整体运动更加平滑，避免了运动过程中由于加速度突变引发的冲击和振动，有效提升了机器人运行的稳定性和寿命，为后续研究工业机器人的轨迹规划提供参考价值。