王明高,唐秋云

(1.山东理工大学 数学与统计学院,山东 淄博 255049;2.齐鲁医药学院 山东 淄博 255300)

1 引言及预备知识

脉冲系统作为现代科学领域中广泛存在的一类系统，应用于许多领域中，比如人口动力学、生物系统、工业机器人、最优控制等。因此，对脉冲微分方程的探讨已经引起了国内外学者的兴趣，傅希林等[1]、Guo等[2]、郭大钧[3]阐述了较系统的脉冲微分方程方面的理论基础；依据这些理论，田亚芳等[4]、Agarwal等[5]、卢振花等[6]应用Leggett-Williams不动点定理研究了脉冲微分方程的至少3个正解的存在性；刘衍胜[7]、尚亚亚等[8]在Banach空间中研究了二阶脉冲微分方程边值问题的解的存在性；郑凤霞等[9]、Xie等[10]、王岩岩等[11]分别用混合单调算子的不动点定理和锥上的不动点定理得到脉冲微分方程正解的存在性；张亚莉[12]、唐秋云等[13]、朱雯雯等[14]则是利用锥上不动点定理研究了微分方程(组)边值问题的正解。然而由于脉冲微分系统的多样性，在Banach空间中研究二阶脉冲微分方程组的文献目前还比较少。本文通过构造一个特殊的算子，将脉冲问题转化为连续性问题，在Banach空间中运用锥压缩与锥拉伸不动点定理研究了二阶脉冲微分方程组边值问题，得到两个正解存在性结果，运用Sadovskii不动点定理得到了一个正解的存在性结果。

本文考虑二阶非线性脉冲微分方程组边值问题正解的存在性,方程组见式(1)。

(1)

其中θ为E中零元,fi∈C[J×P×P,P]，Iik∈C[P,P],i=1,2;k=1,2,…,m。

引理1.3[3]设E,F都是Banach空间,A,B分别是E,F中有界开集,E,F,E×F中的非紧性测度用α(·)表示,E×F中的范数用‖(x,y)‖=max{‖x‖,‖y‖}定义,则α(A×B)=max{α(A),α(B)}。

引理1.4[2](锥拉伸和锥压缩不动点定理)设P为E中的一个锥,Pr,s={x∈P,r≤‖x‖≤s}(s>r>0),并设A:Pr,s→P为严格集压缩算子,并满足下面条件之一：

(i)当x∈P,‖x‖=r时，‖Ax‖≥‖x‖,且当x∈P,‖x‖=s时，‖Ax‖≤‖x‖，

(ii)当x∈P,‖x‖=r时，‖Ax‖≤‖x‖,且当x∈P,‖x‖=s时，‖Ax‖≥‖x‖,

则A在Pr,s中至少具有一个不动点。

引理1.5[2](Sadovskii不动点定理)设D为Banach空间E中的有界凸闭集。如果A∶D→D是凝聚的,则A在D中至少具有一个不动点。

2 正解的存在性

为方便起见，先列出下列条件:

(H2)对任意的r>0,fi(t,x,y)在[0,1]×BE(0,r)×BE(0,r)上一致连续，且其中BE(0,r)={x∈E,0<‖x‖≤r}。

(H3)存在lij≥0(i=1,2;j=1,2),满足α(fi(t,C1,C2))≤li1αE(C1)+li2αE(C2),∀t∈J,C1,C2为E中的有界集，且存在Lik≥0,D为有界集，使α(Iik(D))≤Likα(D),其中i=1,2;k=1,2,…,m,并且

K=∶{(x,y)∈C[J×J]∶∀t,s∈J,x(t)≥tx(s),y(t)≥ty(s)}。

(2)

(3)

(4)

则易证(x,y)也是边值问题(1)的解。

现考虑积分方程组(4),令

则

(5)

(6)

对∀(X,Y)∈K,根据式(5),(6)定义算子

(7)

则方程组(4)转化为

(8)

对∀(X,Y)∈K,定义算子

(9)

其中

且T1(X(t))，T2(Y(t))由式(7)定义,易证式(9)在K上的不动点也是积分方程组(8)的解,通过式(5),(6)可得积分方程组(4)的解,即边值问题(1)在Q中的解。

根据式(2),(3)令

K1=∶{X∈C[J,P]∶∀t,s∈J,X(t)≥tX(s)},K2=∶{Y∈C[J,P]∶∀t,s∈J,Y(t)≥tY(s)},

引理2.1 假设Iik∈C[P,P],i=1,2;k=1,2,…,m,则Ti:Ki→Qi(i=1,2)连续有界。

证明显然Ti(i=1,2)的定义是合理,且对∀t∈J,∀X∈K1有T1(X(t))≥X(t)≥θ。假设{Xn}⊆K1,X0∈K1，使得

显然由I1k(k=1,2,…,m)的连续性知

故由式(7)知

同理

类似可得

因而‖T1(Xn)-T1(X0)‖→0(n→∞),故T1∶K1→Q1连续。同理可证T2∶K2→Q2连续。

假设Ω⊆K1有界,则存在常数M>0,使得∀X∈Ω,‖x‖≤M。由(5)知

故T1(Ω)[0,t1]有界。因为I11连续,所以I11(T1(Ω(t1)))也有界,且有

同样，由I1k的连续性可得I1k(T1(Ω(tk)))有界。

类似可得

故T1(Ω)有界,即T1:K1→Q1有界。同理，T2:K2→Q2有界。证毕。

类似于文献[13]中引理2.3的证明,易得以下引理。

引理2.2设(H1)满足,Ω为K中有界集,则{A(X,Y)∶(X,Y)∈Ω}在J上等度连续,且对∀ε>0存在δ>0,满足

‖A(X(t),Y(t))-A(X(t′),Y(t′))‖<ε。

关于|t-t′|<δ和(X,Y)∈Ω一致成立。

由非紧性测度定义及引理1.3容易推出以下引理。

引理2.3设(H1)成立,Ω为K中的有界集,则

引理2.4 若(H1)～(H3)满足,则A∶KR→K是严格集压缩算子。

证明首先说明对∀(X,Y)∈KR，A(X,Y)∈K,且Ai(X(t),Y(t))≥θ,i=1,2,t∈J。另由(H1)和引理2.1知

‖fi(t,T1(X(t)),T2(Y(t)))‖≤ai(t)‖T1(X)‖+bi(t)‖T2(Y)‖+ci(t),i=1,2。

(10)

所以由式(9)得

故有‖A(X,Y)‖<+∞。

对∀t,t′∈J有

因此A(X,Y)∈C[J×J]。

又对∀t,u,s∈J,由于G(t,s)=min {t,s}≥min {ut,s}≥tmin {u,s}=tG(u,s)。所以

故A(KR)⊆K,即A∶KR→K。

现证A∶KR→K连续。设

对∀t∈J,由(10)知

‖fi(t,T1(Xn(t)),T2(Yn(t)))‖≤ai(t)‖T1(Xn)‖+bi(t)‖T2(Yn)‖+ci(t)≤(ai(t)+bi(t))M+ci(t),i=1,2。

(11)

对∀ε>0,由(H2)知,存在N1∈N，使得当n>N1时,有

‖f1(t,T1(Xn(t)),T2(Yn(t)))-f1(t,T1(X0(t)),T2(Y0(t)))‖≤2ε。

所以

‖A1(Xn(t),Yn(t))-A1(X0(t),Y0(t))‖

同理,对上述ε,存在N2∈N，使得当n>N2时,有

‖A2(Xn(t),Yn(t))-A2(X0(t),Y0(t))‖<ε。

故对∀ε>0,取N=max {N1,N2},当n>N时，有‖A(Xn,Yn)-A(X0,Y0)‖<ε,即

下证A∶KR→K为严格集压缩算子。设Ω⊆KR有界,易知A(Ω)为有界集,根据引理2.2,A(Ω)在J上等度连续。以下证明αC(A(Ω))≤lαC(Ω)(l<1)。事实上,由引理2.3可知,只需证明

(12)

令Ω1={X|(X,Y)∈Ω},Ω2={Y|(X,Y)∈Ω}。因为

由(H3)知

所以由引理2.3,(H3)及文献[3]中(9.4.11)知

由t的任意性知式(12)成立,即αC(A(Ω))

定理2.1设条件(H1)～(H5)满足,且存在R>0使得

(13)

证明只需说明A在锥K中满足引理1.4即可。首先证明对式(13)中的R有

‖A(X,Y)‖≤‖(X,Y)‖,∀(X,Y)∈∂KR。

(14)

事实上,对∀(X,Y)∈∂KR,由(H1)及(13)式知

故有(14)成立。

其次,由于(H4)成立,我们选取充分小的r(0

‖A(X,Y)‖≥‖(X,Y)‖,∀(X,Y)∈∂Kr。

(15)

最后,由(H5)成立,取充分大的R1>max {1,R},可以证得

‖A(X,Y)‖≥‖(X,Y)‖,∀(X,Y)∈∂KR1。

(16)

事实上,

根据定理2.1易知下面结论成立。

推论2.1设条件(H1)～(H3)满足,(H4)和(H5)有一个成立，且对于定理2.1中的R使得式(13)仍然成立。则A在K中至少有一个非平凡不动点。

证明略。

定理2.2设条件(H1)～(H3)满足,则A在K中至少有一个非平凡不动点。

3 结论

本文是在前期研究微分方程组边值问题正解存在性[13]的基础上进一步考虑了Banach空间中脉冲微分方程组边值问题。另外，在本文中借鉴了文献[1]将脉冲问题转化为连续性问题方法，利用锥拉伸和锥压缩不动点定理，得到了脉冲微分方程组BVP(1)多个正解的存在性(见定理2.1),并在最后运用Sadovskii不动点定理得到了一个正解的存在性结果(见定理2.2)。