全直线上四阶方程的Laguerre-Laguerre复合谱逼近

2021-04-15蔡耀雄庄清渠

华侨大学学报（自然科学版） 2021年2期

蔡耀雄，庄清渠

(华侨大学数学科学学院，福建泉州362021)

近三十年来，关于求解四阶微分方程的谱方法的研究有很大进展.Shen[1]采用Legendre-Galerkin谱方法求解二阶和四阶微分方程；Kwan等[2]考虑可分离椭圆型问题的并行谱元计算；Shen等[3]采用Legendre Petrov-Galerkin逼近法数值求解四阶方程；文献[4-5]分别研究一维和二维四阶方程的谱元计算；庄清渠等[6]研究四阶常微分方程的Birkhoff配点法；文献[7-8]分别研究两类四阶积分微分方程的谱逼近；Chen[9]研究四阶Cahn-Hilliard方程的Legendre-Galerkin谱逼近.上述文献研究的是有界区域上的四阶方程，对于无界区域上的四阶方程也有一些研究工作.叶小华[10]研究一维半直线区域四阶方程的Legendre-Laguerre复合谱方法；Zhuang等[11]研究一维半无界区域四阶方程的Legendre-Laguerre耦合谱元计算；李敏等[12]研究半无界条状区域四阶方程的Laguerre-Legendre混合谱逼近；李珊等[13]研究半直线区域上四阶椭圆型方程的有理Legendre函数全对角化谱方法；Yu等[14]研究全直线区域上的对角化Legendre有理谱方法.本文用Laguerre-Laguerre复合谱方法求解全直线上的四阶方程，并与一类Hermite谱方法进行对比，主要考虑方程的数值计算.

1 问题及复合逼近形式

记I:=(-∞,∞)，考虑如下的四阶问题，即

(1)

d(u,v)=(f,v), ∀v∈V,

(2)

式(2)中：d(u,v):=λ2(u,v)+λ1(ux,vx)+(uxx,vxx),∀u,v∈V.

对问题(2)，用Laguerre-Laguerre复合谱方法进行求解.首先，将(-∞,∞)剖分成I1=(-∞,0)，I2=(0,∞)两部分.然后，在两个区间上分别采用Laguerre谱方法进行逼近.

记uI1:=u|I1，uI2:=u|I2，N=(N1,N2) ，令PN(Ω) 为Ω上次数不超过N的全体多项式组成的空间，并记

(3)

(4)

则问题(1)的Laguerre-Laguerre复合逼近形式如下：找uN∈VN，使得

d(uN,vN)=(f,vN), ∀vN∈VN.

(5)

2 计算实施

Laguerre多项式Lm的基本性质[15]如下，即

(6)

(7)

令

(8)

(9)

(10)

(11)

类似于文献[11,16]求解高阶方程的过程，Laguerre-Laguerre复合逼近问题(5)所对应的线性系统可通过如下3个步骤进行求解.

(12)

(13)

(14)

3) 结合.由式(13)，(14)可知，对任意的vN∈VN，有

(15)

因此，问题(5)的解为

(16)

问题(5)分解成了两个相对独立的子问题，子问题(12)和(13)分别由九对角问题和五对角问题组成，因而容易进行求解.

(λ2C+λ1B+A)U2=F2.

(17)

由Laguerre函数的正交性可得

由此可知，矩阵都是对称的，且最多是五对角阵，因而式(17)可以有效地求解.子问题(13)在I1上的代数方程组与其在I2上的代数方程组类似.

子问题(12)对应的代数方程组的系数矩阵与子问题(13)相同.子问题(12)对应的代数方程组的右端项可通过对φ1(x),φ2(x)进行求导，有

又因为

从而在区间I1上,有

以及

而在区间I2上,有

以及

因此,可得子问题(12)对应代数方程组的右端项.

对于子问题(14)，由于

图1 最大误差随的变化情况Fig.1 Maximum errors change with

3 数值算例

算例1在问题(1)中,固定λ1=λ2=1，取精确解为

u(x)=sin(x)e-σx2.

其次,当σ=0.01和σ=0.02时，分别利用Laguerre-Laguerre复合谱方法及Hermite谱方法进行计算,得到的最大误差,如表1所示.由表1可知：当σ比较小时，用Laguerre-Laguerre复合谱方法进行逼近的误差比用Hermite谱方法进行逼近的误差要小得多.因此,Laguerre-Laguerre复合谱方法逼近更具优越性.