基于BP神经网络预测岩石导热系数

2021-04-07雷廷贾军元田福金马青山康建国于子望

世界地质 2021年1期

雷廷,贾军元,田福金,马青山,康建国,于子望

1.中国地质调查局南京地质调查中心，南京 210016；2.吉林大学建设工程学院，长春 130026

0 引言

为达到节能减排的目的，地热能作为一种高效、清洁的可再生能源逐渐受到人们重视。地源热泵作为一种可再生能源技术能直接利用地热能并有效地与广西地区有利的水土资源结合，从而解决能耗问题[1]。地源热泵系统在地层中的换热主要以热传导的形式进行，而导热系数能直接反映热传导特性，因此岩石热导率在地热工程中有极其重要的理论意义，受到学者的广泛关注。

近些年，国内外学者对岩石导热系数有不同程度的研究，并取得一定的研究成果。Robertson et al.[2]通过对夏威夷玄武岩与石英砂岩在常温常压下导热特性的研究，得出孔隙度与导热系数间大致呈反比例关系。Tavman[3]研究表明导热系数会随着晶粒尺寸的增加而增加。张延军等[4]通过对长春地区典型砂土、黏土导热特性的研究，得出温度与导热系数的近线性关系。Vosteen et al.[5]对比不同模型温度与导热系数的表达式，认为结晶岩与沉积岩因成因和矿物组成的差异对温度的依赖不同，在确定计算模型时需对沉积岩与结晶岩分别制定相关系数。Yavuz et al.[6]将5种碳酸盐岩逐级加到500℃并冷却到室温，研究各个温度级别下的导热系数、微裂隙、孔隙度和波速等关系，认为温度能极大地影响岩石的热物理性质。但是由于岩石成因的多样性、复杂性，致使其微观结构具有多样性、复杂性，并且岩石这类多孔介质的传热具有耦合性质，即便是不同地区的同种岩石，导热系数也会有较大的差异。

导热系数对实际工程有重要影响，实验室测试导热系数耗时且麻烦，采用原位测试则造价昂贵且每次测量范围有限。所以国内外专家学者尝试采用经验公式来解决此类问题。Abdulagatova et al.[7--8]研究了孔隙率为13%的砂岩在不同温度、压力下的导热系数，并建立了关于温度、压力、孔隙度的砂岩热导率状态方程；赵永信等[9]研究钙质粉砂岩、长石石英砂岩、变质凝灰岩、泥质粉砂岩4种岩样，发现温度每上升10℃，导热系数增加1.55%～2.08%，压力的升高同样也会导致导热系数有明显增加；Barry et al.[10]通过研究冻土，得到关于干密度、饱和度的导热系数计算模型。但是由于岩石传热的耦合性、微观结构的多样性及岩石的区域限制，使不同学者得到的导热系数计算模型存在差异。导热系数的确定在各种工程应用中至关重要，研究表明,当岩石导热系数偏差10%时，地埋管换热器的设计长度就会发生4.5%～5.8%的偏差[11]，且随着材料的导热性能变好，单位管长换热量显著增加[12]。因此，工程设计中岩石热导率的合理确定极大影响工程预算及工程设计精度，并且为保证工程设计偏差<5%，尽量将岩石热导率误差控制在10%以内。所以寻找一种能够准确预测岩石导热系数的计算方法为相应工程提供精确的理论数据很有必要。

本文选取南昌地区出露的主要岩石样品进行实验室分析，结合前人研究结果，得到导热系数与各影响因素间关系，并以此研究岩石导热系数系统的变化规律。通过实验室试验及资料得到366组有效数据，在此基础上，提出基于BP神经网络的岩石热导率预测模型，并分析模型可行性。研究结果表明采用BPNN模型预测岩石导热系数能有效避免重复实验，相关系数可达0.993 82，表明预测结果精准，能够解决由于岩石内部传热的耦合现象导致预测模型难以确定的问题，为工程应用所需要的导热系数提供一种新的方法及思路。

1 实验

1.1 实验原理

实验采用光学扫描仪(thermal conductivity scanning，TCS)，该仪器具有高精准度(误差<1%)、高效率、不与样品直接接触、对样品几何形状无特殊要求等优势[13]。

测试模型如图1所示，以如图所示半无限体上表面为平面，建立以点热源为圆心，加热方向为X轴正向的笛卡尔坐标系。点热源以恒定功率q持续加热半无限体，红外线感应器与点热源以速度v沿x轴做平行于半无限体表面的匀速运动，其中红外线感应器与点热源保持相对静止。此时半无限体表面的温度分布为准稳态分布，其过余温度θ为[13]：

(1)

式中：q为恒定加热功率，λ为导热系数，v为速度，a为热扩散系数，R为半无限体表面点到o点距离。

1.点热源；2.红外感应器；v.点热源、红外感应器的移动速度；x.A、B点横坐标；y. A、B点横坐标。

令：

(2)

将式(2)、(3)代入方程(1)中，引入两块λ，a已知的标准样品，即：

(4)

(5)

联立式(4)、(5)消去M′,N′,M,N得：

(6)

(7)

则导热系数与热扩散系数即为所求。

1.2 样品采集与实验

研究区为南昌市规划区范围(包括赣江新区)，面积为1 400 km2，共采集包括青白口系、白垩系、古近系和第四系等4个系别6组共370件岩石样品，覆盖南昌出露岩石的主要类型，包括千枚岩、泥岩、板岩、正长花岗岩、花岗闪长岩、石英岩、石灰岩和砂岩等。

TCS导热系数测试仪具有不与样品直接接触、对样品几何形状无特殊要求等优势。因此，不需对样品进行精细化加工，保证每个测试样品存在规则的平整面即可。本实验中，由于TCS能准确测量岩芯及岩芯断头热导率，即使试件侧面为弧形也能进行准确测量，因此无需对规则试件进一步加工。对于表面凹凸不平，整体形状不规则的岩石样品，进行切割处理，制成圆柱或立方体样品。切割后试样保证其纵断面凹凸高度与相对理想平面的偏差<2 mm即可。在样品平整面上涂抹黑漆，待黑漆干燥后将试样放置在TCS仪器上表面中心线处，供热源及红外感知器加热扫描。随着感知器的移动及对加热路径处的温度记录，计算机端形成一条连续曲线。根据测得的温度、加热功率、相对距离等参数，由式(1)～(7)得出样品导热系数。为消除各向异性带来的热导率差异，每组样品取2～3个相互垂直的面进行测试，以其平均值作为岩石最终导热系数。

2 导热系数影响因素分析

2.1 导热系数与含水率关系

图2为南昌地区6组砂岩样品含水率与导热系数关系。据拟合曲线可知，岩石达到饱和状态前，含水率与导热系数呈近线性关系，即干燥与潮湿状态下岩石的导热系数差异明显。这可以从气体与液体的热物理性质来解释，岩石由固相、气相、液相3相组成，水的导热系数为0.5～0.7 W/(m·K)，空气仅为0.01～0.04 W/(m·K)，所以在岩石孔隙率一定的情况下，含水率决定其导热系数。

岩石饱和过程中，导热系数先增大后趋于稳定。这是由于干燥时，孔隙为气体填充，气体所能传递的热量微乎其微，岩石的热传导作用主要在固体中进行，传热方式唯一。随着孔隙中导热能力更强的水含量增多，逐渐挤掉空气，相当于增加导热通道，岩石导热率大大增加。当孔隙中气体完全被液体取代，岩石处于饱和状态，导热系数不再增长。

2.2 导热系数与孔隙率关系

为保证实验可靠度，减少含水率影响，实验室样品均为干燥状态。图3为南昌地区砂岩、花岗岩、流纹岩和花岗闪长岩等4种岩石共20组样品导热系数与孔隙率关系，由图3可知，岩石孔隙率与导热系数呈负相关关系。因为在传热过程中，传热通道上的孔隙、微裂缝起阻碍传热的作用，当岩石处于低孔隙率时，密实度较大，无论岩石孔隙中填充的是何种固体，导热系数都远高于空气，因此导热系数偏大。从传热角度看，岩石的传热过程是内部微观颗粒的相互碰撞和传递实现，而孔隙度越小的岩石，颗粒结合得愈加紧密，微观颗粒的振动越剧烈，导热系数越大。

a.灰绿色细砂岩1; b.灰绿色细砂岩2; c.浅红色细砂岩1; d.浅红色细砂岩2; e.杂质细砂岩1; f.杂质细砂岩2。

图3 岩石导热系数与孔隙率关系

2.3 导热系数与密度关系

密度是影响岩石导热系数的重要因素，为准确探究密度与导热系数关系，减少水分干扰，对样品烘干处理。图4为干燥状态下砂岩、花岗岩、流纹岩和花岗闪长岩等4种岩石共21组样品热导率与密度关系。据前人研究[7,14--17]，岩石的热能传导主要靠晶格振动进行，通常，岩石密度越高，每单位体积岩石就有更多的固体颗粒及更少的气体，颗粒排列更加紧密，颗粒间接触面更大，导热系数越大。由图4可知，密度与导热系数整体成正相关关系。但密度在2.30～2.55 g/cm3的样品不满足上述规律，这是由岩石的地质背景及微观结构差异导致的，也说明岩石微观结构的多样性会令传热过程复杂化，因此对岩石热导率的研究要全面综合。

图4 岩石导热系数与密度关系

2.4 导热系数与温度关系

温度是影响导热系数的重要因素，图5为石英岩在0.1 MPa下导热系数与温度关系。由图5可知，随着温度的升高导热系数逐渐降低，这与前人的研究结论[7--8,18]相同。对于岩石，热能传导主要靠晶格振动进行，根据德拜模型，导热过程是声子间的非谐性碰撞，故与气体导热系数表达式相似，声子平均自由程主要影响导热系数。温度升高导致声子振动加剧，相互作用加强，其平均自由程减少，导致导热系数降低。

图5 石英岩导热系数与温度关系

2.5 导热系数与压力关系

图6 石灰岩的导热系数与压力关系

图6为石灰岩导热系数与压力关系。由图6可知，岩石导热系数随压力升高而增大，这是由于压力增大会改变岩石结构。对于岩石这类多孔介质材料，高压会减小孔隙率，颗粒排列更加紧密，部分微裂隙趋于闭合，密实度增加，从而增大导热系数。越是结构稀疏的岩石，压力对导热系数的影响越大。同时，压力区间不同，对热导率造成的影响不同，当压力为0～50 MPa时，平均每增加10 MPa，导热系数增加8.83%；压力为50～100 MPa，压力每增加10 MPa导热系数上升1.23%；而当压力为350～400 MPa时，每增加10 MPa仅会导致导热系数上升0.0296%。这是由于压力为100 MPa时，已经能够封闭大量孔隙以及微裂隙，达到较大的密实度。当压力高于100 MPa后，岩石结构趋于单一，孔隙及微裂缝基本闭合，体积压缩率小，此时压力对热导率的影响十分有限。

3 模型预测及可行性分析

3.1 BP神经网络

BP神经网络(BPNN)是基于误差反向传播算法的多层前馈式神经网络。BPNN具有较高的非线性适应性和良好的多维函数映射能力，从结构上讲，BPNN由输入层、隐藏层和输出层组成，实质上BPNN使用梯度搜索技术，将网络实际值与预测值的误差降到最小[18--20]。

令X=(X1，X2，X3，…Xr…Xn)为训练集，训练样本描述为：输入值Xr=(xr0,xr1,xr2,…，xrq),真实值yr=(yr1,yr2,yr3,…，yro),预测值sr=(sr1,sr2,sr3,…,sro)。假设输入层与隐藏层的阈值和权重为v0j,vij，隐藏层与输出层的阈值与权重为u0k,ujk，预期精度为b，迭代次数为m。则数学表达为：

(8)

(9)

式中:Ij为隐藏层的输入，Ik为输出层的输入，zj为隐层输出，sk为输出层的输出，f为传递函数。

误差能量之和为：

(10)

若E(m)

(11)

式中：η是学习率。ujk(m+1)的计算方法与公式(11)相同。

重复计算过程，直到误差在允许范围内或达到最大迭代次数。

3.2 特征参数分析与选取

岩石作为典型的三相混合多孔介质材料，内部的传热过程可分为固体颗粒间的热传导过程、流体内部的换热过程、固体颗粒与流体的换热过程及空隙间气体的热辐射过程，均以各自的热传导形式传递热量。由于每种组相的导热特性差异巨大，故岩石中组相的分布、物理性质均能影响到岩石的导热行为，且在传热过程中还伴随相变。所以任何能影响岩石内部组相的分布、物理性质等因素，都会令岩石的导热特性发生改变。这种存在于多孔介质传热过程中的各因素相互作用、相互影响和干扰的行为称为传热的耦合现象。正是这种耦合现象增加了理论模型确定岩石导热系数的难度，因此即使是同种岩石，不同作者给出的导热系数计算模型也会存在较大差异。如前所述，导热系数在工程上有重要意义，所以寻找一种能准确确定岩石热导率的方法很有价值。

研究参数的数值区间为：含水率范围为0%～6.22%，密度范围为1.75～2.98 g/cm3，孔隙率范围为1.8%～38%，温度范围为273 K～600 K，压力范围为0.1～445 MPa；导热系数范围为0.809～5.670 W/(m·K)。根据实验及前人研究可知：不同种类岩石，控制导热系数的主要因素为孔隙率、矿物组成及密度。同种类型岩石，在达到饱和状态前含水率为控制岩石导热系数的主要因素，本试验中砂岩饱和后的导热系数较干燥时增加116.38%～152%，而花岗岩饱和后仅提升26.69%，这是由于样品中的砂岩孔隙率较大，可达20%，受含水量影响大，而试验所用花岗岩的孔隙率仅为3%±，受含水率的影响相对有限；当岩石饱和后，含水率达到稳定值，不再是影响岩石导热系数的主要因素，此时可以通过对岩石增加压力，闭合孔隙及微裂隙，增大固--固传热模式，达到提升导热系数的目的，因此同种类型岩石达到饱和后，压力成为影响导热系数的主要因素。

综上，岩石传热的耦合性使岩石热导率受多种因素约束，含水率、孔隙率、密度、温度和压力均与岩石导热系数存在相关关系，使实验得到的某类岩石的导热系数为一个统计范围，而非确定值。因此在建立导热系数预测模型时，若只考虑某一参数对导热系数的单映射，不能得到理想热导率预测模型，故本研究以含水率，孔隙率，密度、温度及压力作为模型输入参数，热导率为输出参数，综合考虑各影响因素对岩石热导率影响，得到最优热导率预测模型。

3.3 模型的建立

将366组数据作为模型训练的数据集，训练集与测试集从样品数据集中随机选取，为保证预测结果的可靠性，训练集与测试集无交集。由于不同输入向量的量级差异较大，在加权处理中，数量级大的特征值会“淹没”小数量级特征值，为消除诸如压力、温度等大数量级特征值对预测精度的影响，对输入向量进行归一化处理，待算法结束后再进行反归一化处理。

BPNN的训练算法主要有梯度下降法(traingd)、有动量的梯度下降法(traingdm)、弹性梯度下降法(trainrp)、拟牛顿算法(trainfg)等。本研究拟采用对中型网络训练速度最快的Levenberg--Marquardt (trainlm) 算法。最佳神经元数目通常是以经验和测试确定。通过重复对比，确定12个隐层神经元数目。期望精度b设为1×10-5，学习速率η为0.01。为防止网络过度训练，最大迭代次数设置为500次。变量Mu是Levenberg--Marquardt算法中决定学习方法的参数，若Mu过大，网络将停止训练，默认值为0.001，实际训练过程中Mu为1×10-5，满足要求。

对样本数据进行预测分析，并采用均方差MSE与相关系数R2对模型性能进行评估。

3.4 模型的预测与分析

根据上述步骤建立预测模型，随机选取180组数据作为训练集，50组数据作为测试集，二者无交集，运行共用时3.790 s，R2=0.993 82，MSE=0.009 8，表明BPNN模型具有良好的泛化效果，预测结果如图7所示，预测误差如图8所示。

图7 导热系数预测结果与真实值对比

图8 预测误差图

由图7、8可知，预测值与实测值的相对误差大都在10%内，最大相对误差为10.88%，最小仅为0.012%，预测结果精准，满足工程精度要求。模型性能取决于训练集大小，通常，随着训练数据增加，预测精度随之提高。但数据集获取需要一定成本，如实验及时间成本等，因此在工程中需要平衡数据成本与模型性能关系。模型训练需要少量时间，训练完成后，预测值可以通过模型即时得到，且计算成本忽略不计，优于经验公式或半经验公式。BPNN模型能有效避免通过重复繁杂的实验获取岩石导热系数，解决了由于岩石内部传热的耦合现象使预测模型难以确定的问题。因此，BPNN方法在预测岩石导热系数方面具有广阔的应用前景，能够为工程应用所需要的导热系数提供一种新的方法及思路。