赵晓阳 周项通

(黄河勘测规划设计研究院有限公司，河南 郑州 450003)

由于直接通过GM(1,1)模型预测，往往会存在一个滞后的误差，会导致预测的结果偏差较大。为了避免滞后误差的影响，有学者对GM(1,1)模型进行优化，但是改进的GM(1,1)模型的预测精度也会随着时间增加而降低。本文将改进后的GM(1,1)模型同时间序列AR模型进行组合，生成GM-AR模型,并通过后续实测数据对预测精度进行验证。

1 灰色预测GM(1,1)模型

1.1 灰色GM(1,1)模型的建模原理

灰色GM(1,1)模型是通过原始数据序列的一次累加生成数据序列进行建立的[1]。如果一组非负离散数列：x(0)={x(0)(1),x(0)(2),x(0)(3)，…，x(0)(n)}，n为该组序列长度，对x(0)进行一次累加计算，就可以得到一个新的序列：x(1)={x(1)(1),x(1)(2),x(1)(3)，…，x(1)(n)}，对这一组新的序列建立一阶微分方程，则GM(1,1)模型可表示为：

(1)

其中，a，u均为灰参数，根据最小二乘法进行求解，可得：

(2)

(3)

则模型还原值为：

(4)

1.2 灰色GM(1,1)的精度检验

经过灰色GM(1，1)模型预测的精度在根据后验方差比、关联度及小误差概率来进行验算检验，预测效果同后验方差成反比。当关联度W>0.6时，则该模型具有良好的预测精度，否则应通过残差分析计算来提高预测模型的精度。

后验方差比、关联度及小误差概率分别用下式表示为：

方案三：公路—汽车—半移动式破碎站—胶带联合开拓运输方案，场内公路汽车运输至破碎站平均运距0.96km，场外平均运距5.3km，年剥离总量1408.4万m3需新增108t 级矿用卡车39 辆。首期在露天采场出口1 805m处建立破碎站，随着采剥的推进将破碎站分别搬迁至东帮1744m 平台和北帮1684m 平台，岩石场内采用公路汽车运输至破碎站，岩石经破碎系统破碎后，通过转运胶带接力运输至落家井排土场由排土机排土，其余岩石由矿用汔车直接运输排土场。

1)后验方差比：

C=S2/S1

(5)

2)小误差概率：

(6)

3)关联度：

(7)

灰色GM(1,1)模型预测结果精度评定表见表1。

表1 灰色GM(1,1)模型预测结果精度评定表

2 改进灰色GM(1,1)模型

3 GM-AR组合模型介绍

从非平稳的原始时间序列中提取出确定性的部分，即变化性趋势项和周期性趋势项，通过函数关系式对该序列进行拟合，并将拟合后的数据在原时间序列中剔除，再根据剩余的残差序列构建时间序列模型，最后将确定性部分和时间序列模型进行合并，从而得到一个新的组合模型。

采用GM(1，1)模型拟合原始序列的趋势项，再使用时间序列模型拟合原始序列的波动项，叠加两者，得到最终结果，如下式所示：

Xt=dt+yt

(8)

其中,dt为趋势项；yt为波动项。

通过GM(1,1)模型得出趋势项后叠加AR(n)模型，从而得到一个新的组合预测模型：

(9)

4 实例分析

济南济泺路穿黄隧道位于济南市天桥区，该隧道使用盾构法施工，隧道外直径15.2 m，隧道内直径13.9 m，是国内在建最大直径的盾构隧道，也是黄河上第一条公路、地铁共用隧道。隧道总长3.67 km，盾构段长2.52 km；在黄河南北大堤两侧，采用明挖段，总计1.15 km。北岸大堤桩号为135+929～136+329，总长度为800 m。在隧道工程线位上下游各200 m范围内沿大堤轴线方向设置监测断面(距线位桩号上、下游0 m,15 m,30 m,50 m,70 m,90 m,110 m,130 m,150 m,170 m,200 m处)，共设置2个监测断面，分别在堤顶堤肩处埋设监测点，一个监测断面21个监测点，共42个监测点。黄河北岸大堤测点平面布置图见图1。

为了比较三个模型精度，在此，定义相对精度p：

p=|It-Ipre|/It

(10)

其中，It为真实沉降数据;Ipre为GM(1，1)、优化的GM(1，1)和优化的GM-AR预报的沉降值。根据以上三种预报模型对盾构上方轴线点(即理论最大沉降点)测点预测，可得到后续10 d该测点预测数据，如表2所示。

表2 预报第1天三个模型预测值及残差 mm

由表2中得到的三种模型的预测结果和实测值，根据式(10)计算其相对精度，就能够得到未来10 d的沉降预测值的相对精度，如表3所示。

表3 预报后续10 d三种模型预测的相对精度比较

同样的，根据相同的方法，可以得到在未来第10天～15天预测结果的相对精度，如表4所示。

表4 预报未来第10天～第15天三种模型预测的相对精度比较

通过表3，表4可以得到，GM(1,1)模型、改进的GM(1,1)模型、GM-AR模型前5天预测精度都比较良好，GM(1,1)模型的预测结果的相对精度能够达到0.3左右，改进的GM(1,1)模型的预报精度可达到0.2，其中GM-AR模型得到的预测结果相对精度最高，均在0.06以内，同改进的GM(1,1)模型和时间序列模型相比，其预测结果相对精度有了明显地提高。对于随后10 d～15 d预测数据，三种预报模型的精度都有不同程度的下降，改进的GM(1,1)模型和时间序列模型的相对精度下降较为明显，但是改进的GM-AR模型预测结果的相对精度仍然是最好的，可以在0.1以下，仍然可以满足预测结果的精度要求。

通过预测未来15 d的实测数据，可以得出三种预测模型的预测的相对精度都随着预测时间的增加而降低，GM(1,1)模型、改进的GM(1,1)模型在前10天预测精度较好，在后5天偏差迅速增大，但是改进的GM-AR模型在前10天预测精度较前两种模型高，在后5天也有较好地预测精度，具有明显的优势。为了更加直观地表示，图2给出了上述三种模型在未来10 d、未来10 d～15 d预测结果同实测值进行比较。

5 结语

GM(1,1)模型、改进的GM(1,1)模型在盾构导致的大堤沉降前期预测精度较好，但是由于盾构导致的沉降达到一定阶段后，会逐渐稳定，GM(1,1)模型和在优化的GM(1,1)模型没能顾及后续沉降稳定，所以导致预测数据出现离散情况。沉降监测数据的确定性部分通过改进的GM(1,1)模型进行预测，再对其预报得到的残差部分，经过AR模型进行拟合，从而可以得到沉降监测数据随机性部分，再叠加后可以得到精确的沉降预测数据。同时，GM-AR模型的参数较少、形式简单，预测结果精度较其他两种方法有了明显提高，可以满足短期内盾构沉降数据预测需求，可以为以后类似工程提供依据。