胡存宏

[摘  要] 小数可以看成是十进分数的特殊形式，它的意义非常抽象。對于学生来讲，小数既熟悉也陌生。熟悉的是小数在现实生活中的真实存在，也就是对小数的事实性理解;而陌生的是小数究竟表示什么意义，与十进分数又有着怎样千丝万缕的联系。部分学生不是真正的理解与掌握，远没有达到概念性理解的程度。如何才能帮助学生更好地理解小数，让他们对小数的本质有深刻的认识，最关键的就是要真正了解学生对该知识点已经掌握了多少，他们最感困惑的地方又在哪里。文章经过精心设计问题对学生进行前测，基于前测统计结果，中肯地提出教学建议，值得一线教师借鉴。

[关键词] 前测;十进分数;事实性理解;概念性理解;意义建构

一、究竟什么是小数

小数，微数也。

“微数无名者以为分子，其一退以十为母，其再退以百为母，退之弥下，其分弥细……”这是刘微在《九章算术》中对小数的论述，也是世界上最早的关于小数的记载文字。

而《辞海》中对小数的解释是：小数，分母是10、100、1000……的真分数，可以改写成不带分母的形式，这种形式的数，称之为“十进位小数”，简称“小数”。

以上阐释不难看出，二者是同出一辙的，从中可以发掘小数最为本源的意义所在。

由此，让学生了解小数与1之间有着怎样千丝万缕的联系，尤其是怎样通过具体的情境创设丰富的实践活动，让学生经历从实物操作到小数意义抽象概括的全部过程，借此沟通小数与十进分数之间广泛而丰富的正向认知联系（本节课内容是一位小数与十分之几之间的联系），感知小数的来龙去脉，这才是学生在正式认识小数的第一阶段学习中最需要也是必须掌握的地方。

二、学生已有的认知

“小数的初步认识”是苏教版三年级下册的教学内容，是学生第一次正式认识小数，那么这一学段的学生对于小数会有哪些了解呢？按照我们的预设，应该会有下面几种认识途径。

途径1：商场、超市里面的商品价格标签，学生耳熟能详。

途径2：体育课上的身高测量、车站里面的身高标识牌，与每个学生密切相关。

途径3：从小学一年级就开始与学生形影不离的考试成绩，也经常会出现小数，比如92.5分、89.5分等。

……

上述的认识只能说明，到了三年级，学生对于小数应该会有直观的感知，头脑中有了小数的模型，小数作为事实的存在已经在学生的头脑中留下了印记。因此，我们知道学生对于小数有了印象，但这可能只是孤单且零碎的存在，对于什么是小数，它与整数、分数等之间究竟有着怎样的联系，可能还需要我们进一步去调查与了解。

三、前测的意图以及测试题

从上述的分析来看，对于小数，学生有着较为丰富的直观感知以及一定的认知储备;但是就每个学生理解的程度而言，小数的认识是否都达到了整齐划一的高度？这与我们教师的认识之间有着怎样的鸿沟？为了更好地帮助学生理解小数的意义，我们希望通过前测了解学生真正的知识基础，这也是我们后续教学最为可靠的依据。

在前测中，我们试图从以下三个方面去打开发现之门，并精心设计与之配套、相对应的前测习题（见表1）。

首先，生活中有哪些小数是学生印象最深刻的？（对应“前测题1”）

其次，他们对这些本已熟知的小数表示的意义有着怎样的解释与说明？（对应“前测题2”）

再次，身处既熟悉又陌生的现实情境中，对于教师提供的小数，他们又是怎样理解的呢？（对应“前测题3”中的3个小题）

四、测试结果的统计与分析

（1）你印象最深的一个小数是什么？

当今社会，信息高度发达的情况下，我们有理由相信学生已经不是一张知识白纸。他们在学习本单元教材之前，对小数已经有了一定的认识。当然，有悖于我们常理的是，对于他们来讲，印象最深的除了公认的商品价格标签以及长度单位外，在考试中经常出现的89.5分、92.5分和94.5分等成绩对他们也显得尤为重要，也是认识小数的一个很重要的途径。笔者猜想，正是这个考试成绩中看似不起眼的0.5分，也就是“半分”中的“半”字，深深地影响着学生后面了解“0.5拃”表示的结果。

（2）你知道上题中所写的小数表示什么意义吗？你是怎么知道的？（回答的统计结果见表3）

很明显，从表格数据中可以看到学生在接受新知的过程中，家长及校外的教师起了很大的作用，接近80%的学生在假期对所学知识进行了预习，其中接近一半的学生是通过家长对小数的意义有了初步的认识，但“没有学习过”的22%是一个不容忽视的数据。

了解不等于理解。对于每位学生自己所写出来的小数的意义，全班能够理解（包括部分理解）的仅占22%，即五分之一左右。统计显示，更多的学生在表示小数的意义时，特别是对“考试成绩的89.5分”，都认为是考试中的题目只做对了一半，所以是89.5分，在此将“半分”与“半题”很清晰地画上了等号，这是我们始料不及的，也是必须高度重视的地方。

（3）①下面最长线段的长度是1米，你能表示出0.4米吗？（回答的统计结果见表4）

对于教材的例题，学生掌握的程度更好一些，理解得更加透彻一些。对于这一题，我们可以看出正确率是出奇的高，达到了78%;如果加上数错的3名学生，这一题的正确率将超过80%。这是我们教师一直坚定地认为学生对小数已经有所了解的根源所在。究其原因，是这一题中已经很明确地将1米进行了平均分，并且正好是10份，无形中已经将小数与十进分数画上了等号。正如学生即将爬坡的时候，从上面伸下来一个扶梯，学生何乐而不为呢？这样也就大大降低了解题的难度，学生做对就是理所当然的事情。

倒是统计结果中有3名学生将1米重新平均分成了4份，然后再取出其中的一份，这非常耐人寻味。在一些学生的心目中以为，平均分成多少份就是表示零点几，这种思路在这一题中得到了验证。这也是我们教师一直以为的学生对于小数的理解只是一种事实的存在而没有深入地进行理解与认识的依据。依葫芦画瓢，让小数与十进分数在此完全脱节了。

②这是老师一拃的长度，你能表示出0.5拃吗？（回答的统計结果见表5）

原以为这题与前面一题同出一辙，正确率应该不相上下;但是数据是最真实的，从前一题的正确率78%下降到这题的46%，不得不引起我们的思考。最重要的可能是这里将“0.4米”换成了“0.5拃”的缘故。可以看到，一共有8名学生在表示“0.5拃”的时候很小心谨慎地取了“半份”。为什么？实际上前面已经讲到，因为考试成绩在学生的心目中是根深蒂固的印象——“0.5分”表示的就是“半分”，所以这里的“0.5拃”表示“半份”无疑是正确的，也是有着必然的联系的——因此才有不少学生认为这里的“0.5拃”就是相当于图中的半小格（与此相对应的，他们可能也会把“1小格”代表为考试成绩中的“1分”），并与此直接无缝对接。这种现象，教学中理当引起教师的高度重视，看似不符合常理，实际上就是学生认识中真实的存在。

③如果下面的长方形表示1元，你能表示0.3元吗？（回答的统计结果见表6）

统计这一题一共出现了4种不同的结果，每个结果都占到了四分之一左右，缘由在哪里？我们暂且不去看正确的结果（占调查学生人数的32%），先关注一下不正确中前面的两个结果：数据很明确地告诉我们，对于学生来讲，有相当一部分的学生（占调查学生人数的24%）将其理解成了“零点几就是表示平均分成几份”，与我们期待的“平均分成10份后再数出其中的几份”完全不在一个轨道上面;还有相当一些学生（占调查学生人数的22%）认为“零点几就是表示有几份”，至于是不是平均分成了10份，对他们来讲似乎并没有任何关系。这就是学生对于小数的认识完全没有达到概念的关键之所在。

事后，笔者临时又增加了一题：“这条线段的长度正好是1分米（如图1），请你表示0.1分米、0.2分米和0.3分米。”让全班的学生进行了第二次测试。

果然不出所料，统计之后，发现全班50名学生中有18名（占到全班人数的36%）学生是下面的这两种结果（如图2）。

山还是那座山。对于相当一部分学生来讲，尽管我们千方百计地将小数与十进分数讲授了有效的正向联系，但是他们中仍有不少人对小数的确没有深入地认识，只是浮于表面接触的直观感知，这正是我们需要在课堂上精心准备的地方。

五、教学建议

（1）找准认知起点生长知识。这是一节建构意义的教学内容，必须建立在充分理解的基础上，仅仅依靠不断地识记是解决不了问题的。不少教师认为，只要让学生把教材中的知识点进行多次识记就可以了，所以在很多课堂上，我们都不情愿地看到不少教师反复地带领学生朗读：4分米是1米的■，也就是■米，米写成小数是0.4米。这样的识记解决不了任何问题。对于教师来讲，要基于学生学习的真实起点，弄清楚已经走到了哪里;要充分地暴露学生对小数最原生态的理解，即起点在哪里，然后再精准设计教学;让他们静静地去思考课堂上出现的每个小数，然后带着问题去讨论、交流并碰撞，最终抽象概念的本质。这样的课堂才真正具有生长性元素。

（2）基于多元表征深化理解。课堂教学中，小数的意义非常抽象，几何直观则是最合适的载体之一，可以让学生经历一个从具体情境到抽象意义的过程。课堂上，一定要反复通过动手操作，基于本质大胆想象，将小数进行多元表征，逐步抽象、概括，从而深刻理解小数的本质含义。教师可以提供不同的素材，比如线段、长方形、圆等，与学生一起研究，运用多种不同的方法表征所呈现的小数的真正含义。在这样的表征过程中，透过这些不同具象的图形，自然能够抽象出背后真正的本源，即小数与十进分数之间的最本质的勾连。经历这样一个完整的学习过程，学生才能够真正领悟到，小数其实不仅仅是用来读的，每个小数后面都有着丰富的内涵，这个内涵就是十进分数。同时，在教学过程中，还要不断地进行变式练习，加强对比，突出十进分数与一般分数的本质区别，借此丰富学生的认知。更重要的是，通过这样的训练打破学生的思维定式，“并不是平均分成几份就是表示零点几”，也不是“取了几份就是表示零点几”，一切都要回到原点，即所提供的分数是不是分母为10。这样的学习不仅仅学习到了知识，而且数学核心素养自然得到了充分的体现。

（3）特殊的小数要引起重视。一些特殊的小数如0.5等，要引起我们每位教师的高度重视。学生的理解与我们教师的固有思维之间有出入，这里一定要通过对比强调“是10份中的5份，而非半份”。我们可以多重对比，比如0.5分米、0.5元、0.5千克等，让学生自己发现问题之所在，实际上这也是生活与数学之间的一个交集。出现这样的问题不必慌张，源头找到了，剩下的就是让学生将自己真实的想法表达出来，表达的过程也就是一个更好的消化与吸收知识的过程。能消化、善吸收，加以教师的适时点拨，知识的建构也就不成问题了。

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