何浩祥，丁佳伟，程时涛

(北京工业大学 工程抗震与结构诊治北京市重点实验室，北京 100124)

地震动是复杂的时间-空间随机变化过程，其特性一般用幅值、频谱和持时三个要素描述。20世纪30年代初期，Biot等[1-2]提出可以将结构分解为一系列的单自由度系统并求解时程反应的最大值，从而获取地震反应谱曲线。之后大量学者在此基础上建立了地震反应谱理论[3-4]。弹性反应谱的定义为：地震作用下具有指定阻尼比的单自由度弹性体系的最大反应随自振周期变化的曲线或函数关系。反应谱是地震动特性与结构动力反应之间的纽带，将大量实际地震记录的反应谱的包络线或平均线作为标准反应谱并基于振型分解反应谱法可以实现多自由结构的抗震设计[5]。

在我国GB 50011—2010《抗震设计规范》[6]中，将反应谱用地震影响系数α曲线来表示，地震影响系数α是地震系数k与动力放大系数β的乘积，地震系数k是地震地面运动峰值加速度amax与重力加速度g的比值，反映了一个地区基本烈度的大小，与结构的性能无关。动力放大系数β是单自由度弹性体系在地震作用下加速度反应最大绝对值与地面加速度最大绝对值的比值，即单质点最大加速度比地面最大加速度放大的倍数，为无量纲量，与地震烈度无关。β谱反映了准概率意义下的不同周期结构响应最大值的均值，通常是按照场地条件、震级与震中距等分类的实际地震记录计算并进行平均化和平滑化处理获得的[7-8]。

从上述分析可知，反应谱及β谱主要反映了地震动频谱特性与结构阻尼和自振周期的关系，但对频域非平稳性仅做了均值意义上的近似处理，对地震动时域非平稳性的表征也更加不充分。近年来，随着地震动特性研究的发展及结构抗震设计精细化的需求，研究者对地震动时频非平稳性的研究日益关注且对传统反应谱的概念和抗震设计反应谱的局限性有了更深刻的认识[9-11]。重新审视传统反应谱概念的不足，回溯反应谱理论发展历程[12]中有益的各阶段成果是改进和提升传统反应谱概念和计算方法的有效途径。

地震反应谱尤其是β谱的概念发轫于传统的结构动力系数定义和概率极限状态设计法的思想[13-14]，认为采用结构反应最大值与地震动幅值最大值的比值即可表征结构反应的包络，在单自由度结构层面至少具有足够的安全性。然而，对于具有中长自振周期的结构，由于其自身频谱特性与地震动频谱特性有所区别，加之结构阻尼较小，其最大反应通常会滞后，出现在地震幅值较小的时刻，而并非地震动峰值时刻，有时偏差甚至较大。上述现象导致传统β谱的数值与理想的物理需求值相比是偏小的，并没有预期的保守性。

另一方面，对任一具体地震动，传统β谱仅考虑其最值效应，对该地震动时域和频域统计特征均没有充分考虑，而是通过对大量地震动及结构反应进行统计来实现均值描述，且在结构不同周期处的概率含义是不一致的[15]。以上不足导致传统β谱对地震动时频统计特征挖掘并不充分。针对这一问题，胡聿贤等[16]曾在20世纪60年代建议通过建立结构反应标准差动力放大系数β谱来作为普通反应谱的有益补充。该β谱是将地震动和结构反应视为平稳随机过程，用随机振动理论求出具有不同周期的结构反应标准差和地震动标准差并将二者的系列比值视为动力放大系数谱。该β谱虑及了地震动和结构反应的整个过程，并将峰值之比改为标准差之比，更真实地反映了二者的统计特征，具有明确的物理意义和实用价值。然而，由于当时对随机振动理论和频域分析的重视程度不够加之传统反应谱易于计算，有关标准差动力放大系数β谱的研究并没有系统开展，其影响力甚微，甚至一直没有获得统计意义上的谱值并与传统谱进行对比。

有鉴于此，针对传统反应谱的局限性，本文提出能够考虑地震动多个峰值影响的β谱，从而能够全面考虑地震动时域非平稳的影响；根据标准差谱的概念建立了考虑大量地震动统计特性的不同场地条件下的β谱。上述两种β谱在理论上弥补了传统反应谱的不足，且在某些结构周期段上的数值更大，因此本文进而将三种β谱的包络线定义为广义β谱，可为结构抗震分析提供更保守的计算依据。算例分析结果表明按广义β谱进行抗震设计的结构更安全可靠。

1 传统谱缺陷及等效动力放大系数谱

(1)

式中:T和ζ分别为结构的自振周期和阻尼比;ω和ωd分别为结构无阻尼和有阻尼的圆频率;τ为单位脉冲作用时刻;t为地震动时间。β谱反映了地震动的频谱特性，具有不同自振周期的结构有不同的动力效应，地震动的特性决定了β谱的形状，与场地条件、震级和震中距等有密切关系。

在传统的研究中，一般认为地震动的加速度最大值致使结构加速度反应出现最大值，二者是因果关系且几乎是同时发生的。然而计算分析表明上述观点是不正确的。为了具体验证，本文以加速度绝对值最大值为0.2g的El Centro波和Taft波为例，分别计算阻尼比在2%和5%时不同自振周期结构出现最大加速度反应的时刻，结构自振周期间隔为0.01 s，最大结构自振周期为6 s，结果如图1所示。

从以上结果可以看出：具有不同自振周期的结构的加速度响应最大值出现时刻分布比较散乱，很多情况并非在地震动加速度峰值处。当周期在1.5～3 s时，结构加速度最大值出现的时刻更加分散且严重滞后。随着阻尼比的增加，结构响应最大值出现时刻向地震波最大值出现时刻集中，但二者重合的比例仍然很低。结构的位移和速度也具有上述现象，不再赘述。造成这一现象的原因主要在于地震动时频非平稳性、结构本身的振动特性与地震动频谱特性的差异及小阻尼比形成的时滞。正因为上述现象，传统动力放大系数β谱的数值常常比按理论假定得到的理想值偏小，并没有达到预期的保守性。

为了进一步检验加速度峰值对β谱的影响并改进上述不足，针对El Centro波，计算阻尼比为5%情况下原始地震波、去除地震波中8个及15个极大峰值点后的修正地震波下结构加速度响应最大值出现的时刻及相应的β谱，结果分别如图2所示。

(a) 不同周期结构反应最值出现时刻(b) 去除不同峰值后的β谱图2 去除不同峰值后的结构响应Fig.2 Structural responses after deleting different peaks

由结果可知，去除若干地震动极大峰值后结构加速度最大值出现的时刻有明显变化，表明并非只有地震动加速度最大值影响结构反应及其出现时刻，其他极大峰值对结构反应的影响不可忽略。此外，图3结果表明去除15个极值的地震波下结构β谱反而最大，这进一步证明了需要充分考虑地震动其他加速度极大峰值对结构响应的综合效应。有鉴于此，本文建议在建立β谱时，可以计算地震波中多个加速度极值的等效叠加值与相应结构响应极值的等效叠加值，并将二者的比值定义为等效动力放大系数β谱，计算式为

(2)

相对于传统β谱，本文提出的等效动力放大系数βe谱不仅能够考虑地震动最大峰值的影响，也考虑了其它地震动极值对结构反应的影响。当虑及足够多的极值点时，可以认为βe谱实现全面考虑地震记录非平稳性对结构反应的影响，弥补了传统β谱的缺陷。

为了进一步确保分析结果具有足够统计精度，针对四类场地条件，本文从太平洋地震工程研究中心(PEER)数据库中分别选取世界范围内四类场地各100条典型的地震记录进行统计分析。具体选波原则包括：① 所选地震震级范围在3.5～8.1级；② 地震波的PGA大于0.05g小于0.80g；③ 震中距大于10 km小于280 km；④ 平均土层剪切波速符合规范的要求；⑤ 一次地震发生最多采用2条不同地点的地震记录；⑥ 均采用水平向的记录。在最大峰值加速度为0.2g的情况下，以各地震动最大绝对峰值的50%为基准值(0.1g)，计算大于此基准值的前50%、60%和70%的极值(峰值)个数n，并根据式(2)计算得到等效动力放大系数βe谱，并与传统动力放大系数β谱进行比较，结果如图3所示。

(a) I类场地等效动力放大系数βe谱(b) II类场地等效动力放大系数βe谱

(c) III类场地等效动力放大系数βe谱(d) IV类场地等效动力放大系数βe谱图3 四类不同场地等效动力放大系数βe谱Fig.3 Equivalent acceleration spectra of four sites

经分析可知：对于加速度极值数量取值不同的βe谱，其数值在短周期段均与传统β谱十分接近。当结构自振周期大于卓越周期时，βe谱值明显增大，且影响其响应的不仅包括最大加速度峰值，其它峰值的作用不可忽视；对于自振周期小于卓越周期的结构，主要影响因素是最大加速度峰值，且考虑前50%加速度极值点数的βe谱值最大，这是由于小幅度的加速度峰值凸显了结构动力放大效应。

鉴于选取适量的对结构响应起主要作用的极值点才更有意义，经过大量统计分析与验算后，本文建议取60%～70%的加速度极值点数计算βe谱。相比于传统β谱，βe谱能够更全面地反映结构动力放大效应，其谱值更大，保守性更强，按此进行抗震设计的结构更安全可靠。为了进一步确认βe谱的适用性和通用性，本文计算了各类的速度βe谱和位移βe谱，II类场地的结果如图4所示，其它场地结果的规律一致，不再赘列。可以看出不同反应量的βe谱在结构短周期内均与传统β谱接近，但中长周期结构的谱值依然更大。位移、速度和加速度的βe谱均较保守，且三者是可互相验证的。

2 标准差谱及其统计特性

尽管βe谱针对传统β谱对地震动时域非平稳性考虑不足的问题进行了改进，但这两者均是从时域上进行动力分析获得结构响应峰值并通过大量计算获得具有统计特征的结果，对地震动频域非平稳性的考虑并不全面。由于地震动是典型的随机过程，实际上也可以基于随机振动理论从频域分析角度计算结构反应统计特征量并建立频域动力放大系数β谱。在一般的研究中，可假定地震动为零均值的高斯过程，则根据平稳随机分析理论，结构响应也是零均值的高斯过程。尽管结构反应标准差与结构反应峰值分别属于随机分析与确定性分析的结果表征，但二者是相互对应的，因此可以用结构的标准差来表征结构频域反应。标准差β谱不同于传统β谱，它是基于地震动频域能量分布及频域传递函数来表示结构的动力反应放大倍数。根据随机振动理论求解结构反应标准差及对应的反应标准差谱具有重要意义。

(a) 等效速度反应谱(b) 等效位移反应谱

当输入激励x(t)为平稳随机过程时，可根据x(t)的特性求得稳态输出y(t)的特性，假设不考虑零初始条件的影响，可求得结构的动力响应功率谱，进行Fourier变换求得稳定状态的方差响应，即有

(3)

式中:Sx(ω)为地震动加速度的功率谱函数;σy为结构反应的标准差;H(ω)为结构频域传递函数。绝对加速度、速度和位移的频域传递函数公式依次如下

(4)

由此可以计算单自由度结构在平稳随机过程作用下的标准差βσ谱，计算公式为

(5)

综上，根据单自由度结构的位移、速度和绝对加速度的频域传递函数可以分别求得标准差意义下的位移βσ谱、速度βσ谱和绝对加速度βσ谱。对前文所用的大量地震记录进行统计分析可得各场地条件下的加速度标准差βσ谱的均值，与传统β谱和前文的βe谱的比较结果如图5所示。此外，II类场地的速度标准差βσ谱均值和位移标准差β谱均值的结果如图6所示。

从以上结果可以看出：在短周期段标准差βσ谱偏小于传统β谱和βe谱，这是由于标准差βσ谱对任一自振周期结构均考虑了全频域范围的能量分布，而短周期结构偏刚，其加速度反应特性与地震动加速度特性接近，此时传统β谱主要虑及最值，因此传统谱值大于标准差谱；在中长周期段，结构反应特性与地震动峰值的关联减弱，而由于标准差βσ谱是对所有频段反应的综合表征，因此其谱值要明显大于传统β谱和βe谱。速度标准差βσ谱和位移标准差βσ谱也同样具有上述特性。

3 广义动力放大系数谱

综上可知，基于频域计算的反应标准差谱βσ在长周期段更加合理，且明显高于其他两种β谱；基于时域等效峰值效应提出的βe谱与传统β谱相比在中长周期段有了显著的提升，克服了传统β谱的不足；传统β谱而在短周期段具有更可靠的理论含义，三种β谱各有优势。对于抗震安全等级较高的结构和有特殊抗震需求的结构，针对同一周期可以选择谱值更大的反应谱，因此可以结合三种动力放大系数的特点，选取三种β谱在任一周期下的最大值，从而形成具有包络意义的准确安全的全新β谱，本文称之为广义动力放大系数β谱。不同场地条件下的广义动力放大系数β谱均值如图5所示，II类场地的位移和速度的广义β谱均值如图6所示。

为了更明确地反映广义β谱的增强效应，本文对各类场地条件下广义β谱均值与传统β谱均值的比值Rβ进行了统计分析，结果如图7所示。可以看出，该比值始终大于1且随着结构周期的增大也逐渐增大。随着场地类型的提高，Rβ值逐渐下降，可分别用二次函数来拟合，具体形式如下

Rβ=aT2+bT+1

(6)

四类场地的参数拟合值及拟合可决系数(R-square)如表1所示。可以看出本文提出的拟合函数的拟合可决系数接近于1，表明拟合效果良好。

(a) I类场地动力放大系数β谱(b) II类场地动力放大系数β谱

(c) III类场地动力放大系数β谱(d) IV类场地动力放大系数β谱图5 四类场地动力放大系数β谱Fig.5 Dynamic amplification spectra of different sites

(a) II类场地速度β谱

(b) II类场地位移β谱图6 II类场地反应谱Fig.6 Response spectrum of site II

图7 四类场地放大比值系数Fig.7 Dynamic amplification ratio coefficient of four sites

表1 拟合函数的参数取值

对于中长周期结构，广义β谱的增强效应较显著，可以考虑对结构抗震设计规范中的β谱进行修正。需要指出的是：如果反应谱是通过对地震动进行大量统计直接获得的，则其本身即为真实地震动频谱特征的反映而不需要修正；但目前大部分规范设计反应谱均为放大系数谱，相当于已经针对地震动峰值进行了等效归一化[17]，因此可以考虑修正谱值或增大地震影响系数最大值来体现广义β谱的放大效应，修正后的谱值与地震安全评价谱更接近。实际上中国抗震设计谱对各场地的5倍特征周期以上的结构已经进行了谱值放大，但并没有对短周期段谱值相应调整，目前规范谱值在不同周期段的概率特性、精度和协调性仍然是不一致的，这导致按规范谱生成的人工地震波的频谱特性与真实地震动也有一定差别，因此暂不宜探讨对该设计谱进行再次修正。为了进一步探究采用广义β谱修正传统β谱的可行性和效果，本文选取没有对周期段进行修正的美国NEHRP2003规范[19]反应谱进行分析。计算各类场地类型下的真实地震动传统β谱的均值谱、广义β谱的均值谱、美国抗震设计规范的β谱及按式(6)和表1进行改进的广义β谱，II类场地下的结果参见图8，其它结果类似。可以看出：各类场地的设计β谱和广义β谱分别与真实地震的谱值吻合，精度较高、因此广义β谱及其拟合公式具有良好的工程适用性，可以考虑适当应用和推广。

4 结构响应分析

上文对结构动力放大系数β谱进行了分析和讨论，但考虑到实际结构一般均为多自由度结构，有必要研究按广义β谱和传统β谱进行抗震验算得到的结构反应的差别。为此本文建立了一个8层的二维剪切模型框架结构进行振型分解反应谱法分析和随机振动分析。结构的场地类型为II类，每层层高为3 m，各层质量和刚度沿高度递减，结构的前三阶周期分别为0.725 s、0.254 s和0.154 s。选用图8中的4条谱分别进行结构分析，由于不同谱的数值在结构自振周期内具有一定的差异，因此该结构模型的响应可以基本反映各反应谱对结构反应的影响。

图8 美国动力放大系数β谱的比较Fig.8 Comparison of the dynamic amplification spectra

采用振型分解反应谱法计算结构反应时，利用SRSS法即对各振型的最大反应平方和再开根号得到结构的最终反应。结构的层间位移及层间位移角结果如图9所示。结果表明：四种反应谱的计算结果均小于抗震设计规范中位移角的限值。基于广义β谱计算得到的各层层间位移和层间位移角均大于按传统β谱计算得到的结果，其比值约1.20倍左右。美国规范β谱与真实地震β谱均值的计算结果接近，美国规范广义β谱与真实地震广义β谱的计算结果接近，表明本文提出的广义β谱和Rβ具有良好的适用性。在位移限制符合规范要求的情况下，基于本文提出的广义β谱进行设计或验算可以进一步确保结构安全。

(a) 结构各楼层的层间位移

(b) 结构各楼层的层间位移角图9 结构各楼层位移Fig.9 Structural displacement

对于采用随机振动理论进行结构分析的情况，本文利用加速度反应谱与加速度功率谱之间的近似转换关系式计算所需的功率谱[20]，如下

(7)

式中:S(ω)为加速度反应谱;Td为有阻尼结构的自振周期；r为超越概率;ζ为阻尼比;G(ω)为加速度功率谱。利用式(7)将上述的四种加速度反应谱转化为功率谱，如图10所示。结果表明在中低频处广义β谱转换的功率谱大于传统β谱的结果，且与真实地震动功率谱更接近，因此广义β谱有着更包络精度。此外，修正美国规范广义β谱转化成的功率谱相比于美国规范β谱也有着更高的精度。

图10 四种转换功率谱Fig.10 Four converted power spectra

利用随机振动理论求解结构非平稳随机振动反应，反应标准差σs计算公式如下

(8)

式中:I(ω,t)为结构在确定性激励g(t)eiωt下的结构响应，g(t)为时程包络函数。采用上述四种不同功率谱求得结构底层与顶层的响应标准差，结果如图11所示。可以看出：基于广义β谱的计算得到的结构响应仍然大于基于传统β谱的结果，平均比值为1.14，其中最大比值达到1.63。按广义β谱与美国规范广义β谱计算的结果可以确保结构有更高的安全赘余度，动力放大比值系数公式可以实现对传统规范β谱的改进，具有较高精度。

综上，对于重要结构，在基于规范反应谱进行抗震设计的基础上，可考虑采用广义β谱进行进一步的设计或验算，从而在充分考虑真实地震时频非平稳性的基础上确保结构足够安全。

(a) 第一层结构位移标准差

(b) 第八层结构位移标准差图11 四种转换功率谱结构计算结果Fig.11 Structural displacement using converted power spectra

5 结 论

本文通过求解不同周期结构最大反应出现时刻和地震动峰值时刻并进行对比，证明地震动的若干极值对结构反应有着不可忽视的作用，而传统动力放大系数β谱仅仅考虑最大峰值对结构反应的影响，因而并不具备足够的保守性。本文提出了考虑地震动和结构反应的若干极值的等效动力放大系数βe谱有效克服上述局限，实现了动力放大系数β谱对时域非平稳的考虑。结构反应的标准差动力放大系数βσ谱可以从频域能量的角度计算分析结构的位移响应，具有重要的理论和应用价值，本文计算了不同场地类型下的βσ谱统计值，结果表明其长周期段的谱值更大。在此基础上，本文建议在各周期点取传统β谱、βe谱和β谱的最大值形成广义β谱，可以为抗震等级要求高的结构提供更保守的反应谱。提出了相对于传统β谱的放大系数拟合公式。我国抗震规范设计反应谱的谱值在长周期段已经进行了适当的放大，其用意和效果与考虑动力放大比值系数是类似的。如有可能，规范设计反应谱也可以在其他周期段进行适当放大或调整，从而修正地震影响系数α。考虑动力放大比值系数后的规范反应谱将具有更合理的力学统计意义和安全性。考虑不同的β谱，通过利用振型分解反应谱法和随机振动方法求解算例结构的反应并进行对比，验证了广义β谱的准确性、适用性和保守性。