殷玲 翟洪亮

摘  要：文章创设适切的问题情境，引导学生思考数学内容的本质，对等式的基本性质进行梳理，归纳其中蕴涵的数学思想方法，开展对不等式基本性质和常用性质的探究. 在教学中，注重思想方法的渗透和活动经验的积累，培养学生的数学理性思维，落实“四基”.

关键词：等式性质;不等式性质;“四基”;思想方法

《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）指明，高中数学教学应启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质. 同时，指明通过高中数学课程的学习，学生能获得进一步学习及未来发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，即“四基”. 如何落实《标准》的要求？筆者认为，要先考虑学生的知识储备和认知能力.

相等关系和不等式关系是数学中最基本的数量关系，利用相等关系、不等关系可以构建方程、不等式，再通过方程、不等式解决各种数学问题或非数学问题. 因此，人教A版《普通高中教科书·数学》将“等式性质与不等式性质”提前，放在必修第一册的第二章. 现以本节课的教学为例，具体阐述如何激发学生思维，探索数学本质，渗透数学思想，积累活动经验，与大家交流.

一、教学片断

1. 因疑设问，引入课题

师：在现实世界和日常生活中，存在着大量相等关系和不等关系.上一节课，我们根据实际问题中所蕴含的不等关系抽象出了不等式，可以用不等式解决问题了. 你会解不等式[3x-2>0]吗？

生：因为[3x-2>0]，所以[3x>2]. 解得[x>23]. 所以原不等式的解集为[xx>23].

师：你能说出由[3x-2>0]得到[3x>2]的理由吗？

生：由两个实数大小关系的基本事实可以得到.

师（追问）：那么，你能说出由[3x>2]得到[x>23]的理由吗？

生：在不等式的两边同乘以正数[13]，不等号的方向不变.

师（追问）：为什么在不等式的两边同乘以一个正数，不等号的方向不变呢？

生：不知道，初中就是这样用的.

师：这其实是利用了不等式的性质. 今天我们一起来学习.

【评析】本节课是高一上学期第二章的内容. 在此之前，学生仅学习了“集合与常用逻辑用语”，还没有较强的理性思维能力，因此教师没有直奔主题，而是让学生解简单的一元一次不等式，通过使学生产生认知冲突，引起悬念，引入课题.

2. 回忆归纳，筑造基石

问题1：上一节课，我们学习了两个实数大小关系的基本事实，你还知道实数的其他基本事实吗？

师生活动：在教师的引导下，学生归纳出如下基本事实.（1）正数大于0，也大于一切负数;负数小于0，也小于一切正数;（2）正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0;（3）两个正数的和仍为正数，两个负数的和仍为负数;（4）同号两数相乘，其积为正数;异号两数相乘，其积为负数;等等.

【评析】回忆两个实数大小关系的基本事实和实数常用基本事实，为学生证明不等式的性质埋下伏笔，提供性质的证明依据.

问题2：等式和不等式都是对大小关系的刻画，为了能更好地研究不等式的性质，我们先来复习等式的性质. 等式有哪些性质？

师生活动：学生独立思考后回答，教师引导学生用数学语言来描述，板书性质如下. 如果[a=b]，那么[a+c=b+c];如果[a=b]，那么[a-c=b-c];如果[a=b]，那么[ac=bc];如果[a=b，c≠0]，那么[ac=bc].

追问1：这四条性质有什么共同之处？（均有第三方[c]，从加、减、乘、除四则运算的角度提出性质.）

追问2：运算中，等式是否保持符号不变？（是，反映了等式运算的不变性.）

追问3：这四条性质是否可以精简？（减法是加法的逆运算，所以前两条性质可以合并为一条性质;除法是乘法的逆运算，所以后两条性质也可以合并为一条性质.）

追问4：研究数学对象，要先对其自身的性质进行研究. 等式自身还有什么性质？

师生活动：一位学生说出“如果[a=b]，那么[b=a]”和“如果[a=b，b=c]，那么[a=c]”，教师问其如何得知，学生回答是进行了预习，教师给予表扬，并指明这是等式的“对称性”和“传递性”. 师生调整顺序，共同归纳等式的5条基本性质.

性质1：如果[a=b]，那么[b=a].

性质2：如果[a=b，b=c]，那么[a=c].

性质3：如果[a=b]，那么[a+c=b+c]，[a-c=b-c].

性质4：如果[a=b]，那么[ac=bc].

性质5：如果[a=b，c≠0]，那么[ac=bc.]

追问5：等式的性质可以分为哪两类？（自身特性和运算中的不变性.）

【评析】等式的性质是不等式的性质的类比对象，建议不直接给出，而是与学生一起回忆、归纳，为学生自主归纳不等式的性质做好铺垫.

3. 类比推理，共同探究

问题3：类比等式自身的特性，试猜想不等式自身有哪些特性？

师生活动：学生提出猜想“如果[a>b]，那么[b<a]”，教师提出问题串.

追问1：能证明你的猜想吗？（因为[a>b]，所以[a-][b>0]. 又因为正数的相反数是负数，所以[-a-b<0]，于是有[b-a<0]，得[b<a].）

追问2：反过来也对吗？

追问3：你能用精简的数学符号表示此性质吗？（[a>b][⇔][b<a].）

追问4：你能利用数轴说出这个性质的几何意义吗？

由学生独立完成不等式性质2的类比、猜想、证明. 教师板书不等式的性质1和性质2.

性质1：如果[a>b]，那么[b<a];如果[b<a]，那么[a>b]，即[a>b][⇔][b<a].

性质2：如果[a>b]，[b>c]，那么[a>c]，即[a>b]，[b>c][⇒][a>c].

【评析】对学生而言，证明性质1有点困难，因为学生缺乏代数证明的经验. 但是有之前的铺垫，通过教师点拨，学生就能顺利完成证明. 在证明了性质1的基础上，性质2的证明也不再是难点.

问题4：类比等式的运算性质，试猜想不等式有哪些运算性质？

师生活动：学生思考后回答，教师板书性质3.

性质3：如果[a>b]，那么[a+c>b+c].

師生共同证明：因为[a>b]，所以[a-b>0]，则[a+][c-c-b>0]，即[a+c-b+c>0]，所以[a+c>b+c].

追问1：能用文字语言描述性质3吗？

追问2：能用数轴解释性质3吗？

追问3：能用性质3说出由[3x-2>0]得到[3x>2]的理由吗？（可以在不等式两边同时加上2，所得不等式和原不等式方向相同.）

师：这表明不等式中的任何一项改变符号后可以移到不等号的另一边. 这也表明实数大小关系的基本事实和不等式的性质是解决问题的基本依据.

接下来，学生猜想并证明性质4.

性质4：如果[a>b]，[c>0]，那么[ac>bc];如果[a>b]，[c<0]，那么[ac<bc].

教师指出性质1 ～ 性质4是不等式的基本性质，并再次让学生说明由[3x>2]得到[x>23]的理由.

【评析】让学生再次解释不等式[3x>2]的求解过程，既与学生认知结构中默认的事实统一，又加深了学生对性质本质的理解.

问题5：利用不等式的基本性质，可以猜想并证明不等式有哪些常用性质吗？

师生活动：教师引导学生进行小组讨论，为了防止学生思维过于发散，不利于性质的归纳，教师指明研究对象是不等式的常用性质，并参与小组讨论，最后择优展示成果.

小组A由性质3是不等式两边同加一个数[c]，利用一般化的思想猜想：在不等式两边加上不同的数，即如果[a>b]，那么[a+c>b+d]. 为了保证正确性，增加条件[c>d]，得到性质5.

性质5：如果[a>b]，[c>d]，那么[a+c>b+d].

追问1：如何用文字叙述？（大数加大数的和，大于小数加小数的和.）

追问2：如何证明？（教师鼓励学生运用多种方法证明，证明过程略.）

小组B由加法联想到乘法，提出猜想：如果[a>b]，[c>d]，那么[ac>bd]. 举例发现猜想不正确，增加条件得到性质6.

性质6：如果[a>b>0]，[c>d>0]，那么[ac>bd].

追问3：对于性质6，如果特殊化，令[c=a]，[d=b]，那么可以得到什么结论？能再继续推广吗？

师生活动：学生回答得到“如果[a>b>0]，那么[a2>b2>0]”. 教师继续引导学生将结论推广，得到“如果[a>b>0]，那么[a3>b3>0]”. 继续推广，得到性质7.

性质7：如果[a>b>0]，那么[an>bn>0 n∈N，n≥2].

教师指明乘方是乘法运算的推广，性质5 ～ 性质7均是不等式的常用性质，可以作为结论在今后的推理中使用.

【评析】探究不等式的性质是本节课的重点，也是难点，在课堂教学中需要有选择性地证明.

4. 学以致用，解决问题

例  已知[a>b>0，c<0]，求证[ca>cb].

变式：已知[a>b>0，c>0]，求证[ca<cb].

师生活动：教师引导学生从结论出发，结合已知条件，利用不等式的性质，寻求使当前命题成立的充分条件. 学生板演，教师指导、点评，并强调书写的规范性.

【评析】该例题的证明旨在向学生示范应用不等式的性质证明命题的一般思路. 变式是对例题的有效补充，可以促进学生进一步理解不等式性质的规律性.

5. 课堂小结，归纳反思

问题6：本节课学习了什么知识？学到了哪些思想方法？有哪些收获？

师生活动：学生回答，互相补充，教师总结.

二、教学感悟

1. 教学要注重问题情境的创设

数学知识具有高度的抽象性和概括性. 本节课的内容以代数推理为主，如果一开始就给出等式的性质，再研究不等式的性质，学生会觉得平淡，缺乏学习的动力. 因此，教师注重创设适切的问题情境，从求解简单的一元一次不等式入手，通过两个“说明理由”引发学生思考. 第一个“说明理由”与上节课的内容呼应，也可以说明实数大小关系的基本事实是研究不等式的性质的基础;第二个“说明理由”促使学生从“然”思考“所以然”，激发学生的求知欲，培养学生提出问题的能力，促进学生在学习中多问几个“为什么”.

问题情境的创设需要结合教学内容，为教学服务，做到有的放矢. 例如，本节课的问题情境从简单问题出发，引发学生对“基本”一词的思考，实数大小关系的基本事实、实数的基本事实、等式的基本性质和不等式的基本性质，均用到“基本”一词，也意味着基础和重要. 教师要帮助学生理解，为他们后期重视基本不等式、平面向量的基本定理等内容的学习做好铺设.

2. 教学要突出思想方法的渗透

如果说数学知识是数学内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学意识，重在领会、运用，是实现学生在数学上的终身可持续发展，乃至终身受益的核心收获.

在该课例中，教师让学生体会等式的性质与不等式的性质，不仅是形式上的类比，更是研究问题思路的类比和解决问题方法的类比. 等式具有自身特性和运算中的不变性，不等式也具有自身特性，但是不等式有方向，所以运算中体现得更多的是不变性和规律性相结合. 由不等式的性质3推导出性质5，是利用从特殊到一般的思想;由不等式的性质5到性质6，是加法到乘法的类比;由不等式的性质6到性质7，是从一般到特殊的思想. 可以说本节课以数学思想方法引领学生的思维活动，处处以促进学生理解基本思想为指导，让学生体会数学思想，并学会用数学思想探究问题，从而落实“四基”.

3. 教学要侧重活动经验的积累

活动经验是指学生经历思考、探究、实践等数学活动过程之后获得过程性知识，最终形成应用数学的意识. 本节课中，教师通过层层递进的问题和一系列追问，让学生经历猜想、证明，并用数学语言、自然语言或图形语言等对性质进行多元表征，以加深学生对性质的了解，这样学生就能形成基本活动经验，并以此为基础完成对常用性质的探究活动. 再如，本节课让学生形成类比学习的活动经验，是帮助他们积累基本活动经验的有效体现. 通过本节课的学习，学生能清晰认识到在之后的哪些学习环节可以适时采用类比的思想方法探究问题. 课堂伊始，学生只有初中解不等式的基本活动经验，并不理解不等式[3x-2>0]的解题本质. 通过对不等式的性质的探究，学生不断积累了深层次的活动经验，实现了对问题本质的认识.

参考文献：

[1]刘勇，沈婕，李龙才.“等式性质与不等式性质”教学设计、教学反思与点评[J]. 中学数学教学参考（上旬），2019（9）：14-24.

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