林昌斌 郑渊方

(福建师范大学物理与能源学院 福建 福州 350007)

图1 最大倾斜角表示物体稳度

图2 稳度演示教具

1 最大倾斜角表示稳度大小的不足之处

为研究方便，本文选用质量分布均匀的物体进行讨论．如图3所示，缓慢上抬支持面，使物体绕着O轴逆时针匀速转动．若重力矩对物体产生顺时针旋转的效果，则物体不会倾倒．随着倾斜角θ的增大，物体受到的重力矩逐渐减小，当重力矩为零时，物体恰好处在倾倒的临界位置．

图3 支持面上物体转动的力矩分析

设物体的重心高度为h，重心在支持面上的投影点到转轴的距离为x．物体在力F的作用下绕O轴转动至θ角度，此时支持力与重力对O轴的力臂分别为

b=x-htanθ

(1)

l=bcosθ=xcosθ-hsinθ

(2)

当物体处在倾倒的临界位置时，重力矩为零

MG=mgl=

mg(xcosθmax-hsinθmax)=0

(3)

(4)

(5)

式(5)表明，物体最大倾斜角与两个参数有关，即h和x．而对于质量分布均匀的物体，其重心的位置只跟物体的形状有关，重心在支持面上的投影点到转轴的距离也只跟物体的形状有关．可见，它的最大倾斜角仅与其形状有关，与它的质量大小无关．图2所示的教具就是显示这种情况．如果采用物体的最大倾斜角表示稳度大小，那么物体的稳度与质量无关．但用最大倾斜角表示稳度大小会出现与实验结果矛盾的现象．如图4所示，将两个形状相同、材料不同的均匀长方体A和B放置在水平面上，A和B分别由泡沫和铁构成．用电吹风机分别作用在两物体的侧面，可以发现A物体容易被吹翻，而B物体基本不动．两物体受到相同的外力作用，最大倾斜角更大的物体反而更容易倾倒．生活中，人们认为 “稳定”是指稳固安定、没有变动的意思，若处在图4所示的情境下，B是更加稳定的．如果仅用最大倾斜角来表示物体稳度的大小，那么得到的结论是：A的稳定程度比B好，即A比B更稳定．可见，得到的结论与实际矛盾．最大倾斜角仅体现了物体可倾斜的程度(物体能够偏离平衡位置而不倾倒的程度)，而未体现出使它发生倾斜的难易程度．结合生活实际，考察物体偏离平衡位置的难易程度应当属于稳度的讨论范畴．

图4 外力作用下不同材料的物体稳度

2 质量对稳度的影响

以图3为例，物体在力F的作用下绕O轴转动至θ角度，由力矩平衡

Nb=mgl

(6)

据杠杆原理

Nb=Fs

(7)

(8)

式(8)表明，对于质量越大的物体，需要更大的外力才能使它发生偏转．同理，如图4所示，要使处于平衡状态的物体发生倾倒，所施加的外力矩必须大于物体的重力矩．若物体的质量越大，则重力矩越大，使它偏离平衡位置的难度更大，即质量越大越稳定．

3 物体稳度的定量描述

若考察物体在外力作用下的稳定性，则可用物体的重力矩大小定量描述物体稳度，即

MG=mg(xcosθ-hsinθ)

(9)

式中x为重心在支持面上的投影点到转轴的距离，h为物体的重心高度，θ为物体的支撑面与水平面的夹角(倾斜角)．物体的重力矩越大，则稳度越大．由式(9)可知，可通过增大重力、增大支持面的面积以及降低重心高度等措施增大重力矩，这与提高物体稳度的措施是一致的．而对于处在稳定平衡状态的物体，使它从原平衡位置偏转至倾倒的临界位置的过程中，物体在不同位置处的稳定性是不同的．如图5和图6所示，缓慢上抬支持面，使物体分别偏转至倾斜角为θ1和θ2的位置(θ1<θ2)．

图5 物体处在θ1位置

图6 物体处在θ2位置

当物体处于θ1位置时，物体的重力矩大小为

M1=mgl1=mg(xcosθ1-hsinθ1)

处于θ2位置时，其重力矩大小为

M2=mgl2=mg(xcosθ2-hsinθ2)

可以得到M1>M2，物体在θ1位置处的稳定性较高．进一步分析，当物体水平放置时(θ=0)，物体的重力矩最大，此时物体的稳定性最好．随着倾斜角的增大，重力矩逐渐减小，物体的稳定性逐渐降低．当物体的重力矩为零时，物体恰好处在倾倒的临界位置．若重力矩为负值，物体将会倾倒．可见，重力矩的大小变化很好地体现了稳度大小在偏转过程中的变化趋势．用重力矩大小定量描述物体稳度，既可以比较不同物体的稳度大小，又可以体现出物体在偏转过程中的稳定性变化．

4 总结

最大倾斜角体现了物体可倾斜的程度，而质量大小影响物体偏离平衡位置的难易程度．对于质量分布均匀的物体，它的最大倾斜角只跟形状有关，跟质量无关．物体稳度既要考虑物体可倾斜的程度，又要考虑使物体偏离平衡位置的难易程度．若考察物体在外力作用下的稳定性，则可用重力矩大小定量描述物体稳度．在相同的条件下，物体的质量越大，稳度越大．