赵玉龙 郭吉苹 郭正华 盛 伟 陈 勇

(①南昌航空大学航空制造工程学院，江西 南昌 330063；②南昌航空大学科技学院，共青城 332020；③南京航空航天大学机电学院，江苏 南京 210016)

面齿轮[1-2]传动是一种圆柱齿轮与圆锥齿轮相啮合的新型齿轮传动，面齿轮传动具有传动平稳、动力分流效果好等优点[3]，主要应用于直升机主减速器的动力分流机构，适应于高速、重载的工作环境。国内目前研究直齿与斜齿面齿轮传动居多，进行了齿面方程的推导以及齿轮接触强度的计算，对于正交弧线齿面齿轮[4-6]的相关研究还较少，其中赵宁[7-8]研究了直齿面齿轮修形及承载接触分析，彭先龙[9]研究了斜齿面齿轮传动齿面主动修形与边缘接触分析，陈书涵[10]研究了安装误差对面齿轮传动接触轨迹与接触应力的影响规律。本文推导了弧线齿面齿轮齿面方程，并对啮合点进行求解，计算了啮合点的主曲率、主方向和接触应力，为后续有限元分析研究提供理论依据。

1 正交弧线齿面齿轮基本方程

1.1 弧线齿面齿轮展成坐标系的建立

本文弧线齿面齿轮的加工是以端面为渐开线的弧线齿圆柱齿轮作为假想刀具，通过包络成形运动展成的，确立弧线齿面齿轮展成关系如图1所示，建立弧线齿面齿轮展成坐标系如图2所示。刀具齿轮的固定坐标系和固连坐标系为o0-x0y0z0和o1-x1y1z1，面齿轮的固定坐标系和固连坐标系分别为o2-x2y2z2和o3-x3y3z3。其中：φ1、φ3分别为刀具齿轮和面齿轮展成时所转过的角度，A1为刀具齿轮轴线与面齿轮齿顶平面的距离，且A1=R1-ha，其中ha为假想刀具齿顶高。

1.2 弧线齿面齿轮齿面方程推导

在展成坐标系下，弧线齿圆柱齿轮齿面方程为

(1)

(2)

式中：Rb为弧线齿圆柱齿轮的基圆半径，θs为渐开线上的角度参数，θs0为齿槽角，β为位置角，h为齿宽参数，R1为分度圆半径，RT为圆弧半径。

根据各坐标系之间的位置关系，坐标系之间的坐标变换矩阵如下：

则刀具弧线齿圆柱齿轮包络弧线齿面齿轮的齐次转换矩阵为M31：

M31=M32·M20·M01

(3)

在假想刀具包络展成弧线齿面齿轮的过程中，假设接触点随刀具齿轮坐标系运动的速度v1，随面齿轮坐标系运动的速度v3，通过变换矩阵M31可得k3和k1的关系，刀具齿轮与被加工面齿轮的齿面接触处的相对速度v(1,3)为

(4)

假设ω1=1 rad/s，得到相对速度v(1,3)的方程

(5)

由齿轮啮合原理可知，圆柱齿轮与面齿轮啮合条件式为

f(θs,h,φ1)=n1·v(1,3)=0

(6)

根据式(6)化简可得

φ1=arcsin

(7)

其中，

(8)

(9)

ψ=arctan(b0/a0)

(10)

(11)

根据表1所示参数代入面齿轮工作齿面即可得到工作齿面数学模型如图3。

表1 正交面齿轮传动副设计参数

2 面齿轮啮合轨迹仿真

啮合轨迹的求解，可以将刀具齿轮与小齿轮看作假想的内啮合关系，将其按照内啮合的标准中心距安装，通过给定刀具齿轮的一系列转角φ1，可以得到沿着齿宽方向得到一系列θs值和h值，代入瞬时齿面的接触线方程(12)中，即在刀具齿面构成一条接触线。弧线齿面齿轮利用同样的原理，也可以得到一系列接触线，接触线方程如式(13)，最后把啮合线经过坐标变换到面齿轮上，两条接触线相交，就可以得到啮合点。

根据上述理论和公式编写相关程序对接触点轨迹、接触线等进行了计算仿真。可以得到刀具齿轮与小齿轮啮合在面齿轮齿面上的接触线L1(如图4)和刀具齿轮与面齿轮啮合在面齿轮齿面上的接触线L2(如图5)，小齿轮与面齿轮啮合在面齿轮齿面上的啮合点轨迹(如图6)，以及弧线齿面齿轮上的啮合点参数列为表2。

表2 弧线齿面齿轮啮合点参数

(12)

(13)

3 弧线齿面齿轮赫兹接触应力计算

3.1 面齿轮传动齿面主曲率与主方向分析

为了防止边缘接触，通常采用比面齿轮加工刀具齿数小1～3齿的小齿轮，此时，小齿轮与面齿轮为点接触，从而有效避免了边缘接触的产生，根据微分几何理论，曲面的曲率可以由两类基本量来确定，用E,F,G,L,M,N来表示。弧线齿面齿轮曲面的参数方程可以用r=r(u,v)表示，其中u、v表示齿面参数。假设曲面上的一点P(u,v)，则该曲面的单位法向矢量为

(14)

则P(u,v)点沿方向du/dv的法曲率kn为

(15)

化简公式(15)则得到主曲率的计算公式为

(16)

该方程存在两个不同的实数解，就是弧线齿面齿轮上一点处两个不同的主曲率。根据弧线齿面齿轮副的齿面啮合点参数，结合主曲率计算原理，编写相关程序计算面齿轮副齿面啮合点处的主曲率，其中K11与K12为小齿轮两个主曲率；K21与K22为面齿轮两个主曲率，如表3所示。

表3 面齿轮副齿面啮合点处的齿面主曲率

根据微分几何原理知识，有主方向的特征方程为

(17)

得到求解主方向的方程:

(18)

简化方程(18)得到:

(19)

求解该方程得到du/dv的两个解，即曲面上该点处的主方向。经计算，面齿轮齿面上啮合点的主方向在面齿轮坐标系中如表4所示。

表4 面齿轮齿面啮合点在面齿轮坐标系中的主方向

3.2 赫兹应力计算

基于赫兹接触理论的任意形状弹性物体间的接触情况如图7所示。两个弹性物体在O点接触，当在法向载荷Fn作用下，两个弹性物体在法向相互接近，物体表面之间有相同距离的点在公切面上形成一组相似的椭圆，起始接触点扩展为以O点为中心的接触椭圆，且O点处的法向位移最大，接触应力也最大。

根据之前求得设两弹性物体的接触点在各自两个正交平面上的主曲率K11、K12和K21、K22，正交主平面与公切面的交线为坐标轴和。对于点接触的弧线齿面齿轮而言，啮合点处将形成接触椭圆，长半轴为a、短半轴为b，面齿轮轮齿的接触变形量δ按照弹性力学赫兹公式计算。

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

式中：α、β、γ为计算系数，其值由B/A=cosθ确定，可查询接触区域计算系数表；E1、E2，μ1、μ2分别为弧线齿圆柱齿轮和弧线齿面齿轮材料的弹性模量和泊松比，φ为齿面的主方向之间的夹角。

渐开线齿廓圆柱齿轮的齿面接触点法向载荷为

Fn=2T1/(d1cosαs)

(25)

式中：T1为弧线齿圆柱齿轮施加的转矩，取T1=24 N·m；d1为圆柱齿轮分度圆直径，d1=mz1；αs为圆柱齿轮分度圆压力角，取αs=20°。取弹性模量E1=E2=2.07×105MPa，泊松比μ1=μ2=0.3。

根据赫兹接触理论，在接触椭圆表面上，接触应力按椭圆体分布，最大接触应力在接触椭圆中心，接触点处最大接触应力σmax为

σmax=3Fn/(2πab)

(26)

根据公式(26)，计算得到接触椭圆长半轴a、短半轴b、变形量δ和最大接触应力σ数值如表5。

表5 齿面接触参数计算结果

4 结语

弧线齿面齿轮传动的啮合接触分析不仅是弧线齿面齿轮传动设计的重要环节，也是促进后续面齿轮传动工程应用的理论基础。通过对弧线齿面齿轮传动的啮合接触分析，主要得出：

(1)通过建立弧线齿面齿轮展成坐标系，推导了正交弧线齿面齿轮齿面方程，并在Matlab中得到工作齿面的数学模型。

(2)在不考虑误差的情况下，求解出接触轨迹，并提出两条接触线在面齿轮相交得到弧线齿面齿轮传动副的啮合点，并且将接触轨迹和啮合点可视化；观察到啮合点的位置在一条近似从齿顶到齿根的一条直线上；弧线齿面齿轮传动副的啮合位置靠近面齿轮的内径，后期可以通过改变参数，调整啮合位置，使其向齿面中心移动。

(3)利用主曲率求解方法，得到传动中弧线齿圆柱齿轮和弧线齿面齿轮上接触点处主曲率的变化规律，当弧线齿面齿轮啮合点从齿顶向齿根方向移动时，弧线齿圆柱齿轮啮合点的主曲率K11变化很小，K12不断减小，而面齿轮啮合点的主曲率K21不断增大，K22先减小后增大。

(4)基于赫兹接触应用理论，计算得到传动中接触区域椭圆的长、短半径和接触区域中心最大变形量、最大接触应力，可知啮合点接触应力从齿顶向齿根处逐渐变小再增大，与之前研究直齿面齿轮接触应力最大在中部不同，为后续有限元及实验提供理论依据。