吕 甜， 张雪霞

(西南交通大学唐山研究生院，河北 唐山 063000)

作为新型的混合电容器，锂离子电容器(LIC)是一项进入能量存储市场的创新技术。锂离子电容的阳极由类似于锂离子电池的预先掺杂锂的碳基材料制成，阴极采用超级电容所用的活性炭材料。正是由于这种混合架构，锂离子电容相比于传统的双电层电容和锂离子动力电池有着更高的能量密度及功率密度，并且自放电率极低(双电层电容静置一个月后，电压减少了30%，而锂离子电容电压仅仅下降了2%)。在未来几年中，进一步的技术开发和批量生产将使锂离子电容器在能量存储市场中得到大规模应用[1]。锂离子超级电容的荷电状态(SOC)表征着该器件的剩余容量，SOC的准确估计对机车的安全运行和能量的利用效率有着重要影响。

目前，比较常用的SOC估计方法主要有：安时积分法[2]、开路电压法[3]、神经网络法[4-5]和基于模型的滤波算法[6]。安时积分法依赖设备精度和初始SOC值，误差容易累积增大；开路电压法需要长时间静置才能达到稳态，不适用在线估计；神经网络法虽然能获得一个精确估计，但计算成本太高。而且模型训练需要大量的时间，训练数据的数量和质量是这类智能算法估算精度的重要影响因素。基于模型的算法，例如广泛应用的扩展卡尔曼滤波和无迹卡尔曼滤波算法，是将安时积分法与开路电压法与非线性滤波技术结合以达到最佳的SOC估计。卡尔曼滤波法是基于精确的等效模型进行迭代运算，可以有效缩小累计误差，并且可以实时估计SOC。扩展卡尔曼滤波(extend Kalman filter，EKF)是在KF的基础上的改进，适用于非线性系统，其实质就是通过泰勒级数展开将非线性系统近似线性化，再对线性化系统进行卡尔曼滤波[7]。然而，其雅可比矩阵估计不准确会导致滤波发散，影响其稳定性。无迹卡尔曼滤波克服了EKF的近似线性化问题，状态向量的估计精度更高，稳定性更好[8]。在实际算法运行过程中，很难获得过程噪声和测量噪声的协方差。为了改进KF算法的滤波精度，消除噪声影响，Rahimi-Eichi等[9]提出Sage-Husa自适应滤波方法，令噪声方差自适应调整，提高了算法的估计精度。但是，很少有学者对新型混合电容器——锂离子电容进行SOC估计算法的研究。

本文提出将在线参数辨识与自适应平方根无迹卡尔曼滤波联合估计算法应用于锂离子电容的SOC估计中。为获得LIC精确的等效电路模型，基于LIC的工作特性，进而建立等效二阶RC模型，该模型既能反映超级电容的储能特性，又表征了锂离子电池的内部反应机理；然后，采用FFRLS在线辨识LIC的等效模型参数；最后，基于实时的参数辨识结果，运用ASR-UKF对SOC进行估计。实验结果表明，联合估计算法具备较高的精度。

1 锂离子电容的等效模型

传统的超级电容等效模型有很多种，如一阶RC模型、三支路模型和传输线模型等[10]。但是这些模型大多是依据双电层电容结构特点建立的，并不适用本文提出的新型电容器。文献[11]分析了锂离子电容的工作特性，本文根据LIC的内部反应机理的特殊性，在此基础上建立了如图1所示的锂离子超级电容的等效模型。

图1 等效电路模型

通过基尔霍夫定律，可得到图1的二阶RC等效电路模型电气特性的表达式为：

式中：定义电池放电时的电流方向为正，充电时的电流方向为负。

由文献[11]中的特性分析可知，锂离子电容自放电率极低，因此忽略自放电效应对等效电路模型的影响。定义Qn为电池的实际容量，通过安时积分法可以表示电容的SOC值，得到式(2)：

令等效电路模型的输入u和输出y分别为电流I和端电压UL，状态变量为SOC、Ua、Ub，离散化后的状态空间方程如式(3)所示：

2 在线参数辨识

2.1 开路电压和荷电状态关系的建立

本研究在NEWARE公司电池测试系统平台上对Taiyo 3200F的单体锂离子电容进行混合脉冲功率性能实验(hybrid pulse power characteristic,HPPC)测试，通过实测数据来获得开路电压和荷电状态(SOC)的关系曲线，如图2所示。

图2 开路电压和SOC关系曲线

开路电压和荷电状态存在一定的函数关系，本文调用MATLAB中的带最小二乘意义的Polyfit函数进行多项式拟合，经过多个阶次实验对比后，确定用7次多项式拟合效果更好。Uoc与SOC函数关系如式(4)所示。

2.2 基于遗忘因子的递推最小二乘法在线参数辨识

模型参数精度决定SOC估计精度，本文选用带遗忘因子的递推最小二乘法(forgetting factor recursive least-squares，FFRLS)对锂离子电容等效模型进行在线参数辨识[12-13]，将原有静态模型动态化，提高电容模型精度。

基于获得的HPPC实验数据，运用FFRLS算法进行参数辨识，在线辨识的参数结果如图3所示。由图3可以看出，参数辨识值变化较为剧烈，这是因为LIC是一个非线性系统，在不同工况下，它的内部参数会受到诸多因素影响而不断变化。当HPPC工况下脉冲电流充放电变化时，FFRLS算法会不断迭代更新，快速辨识出最优匹配等效电路模型的参数值，从而修正因电流变化而引起的波动。

3 锂离子电容的SOC估计算法

3.1 平方根无迹卡尔曼

无迹卡尔曼滤波是采用Kalman线性滤波框架，通过无迹变换来处理均值和协方差的非线性传递问题，选用一系列确定样本来逼近已知状态变量的概率分布。UKF没有忽略高阶项，因此在处理非线性系统问题方面有较高的计算精度。但由于实际工况复杂多变，算法运行后期协方差矩阵Pk负定的问题会逐渐显现出来，影响滤波器收敛效果[14]。

图3 在线辨识参数结果

因此，本文采用平方根无迹卡尔曼算法，运用QR分解和Cholesky更新的线性代数技术获取协方差平方根，利用协方差平方根来代替协方差矩阵进行迭代运算[15]，从而保证状态变量协方差矩阵的半正定性和数值的稳定性，克服滤波发散和算法稳定性差的问题。

平方根无迹卡尔曼算法流程如下：

首先，选择初始协方差和状态估计。然后，递归地处理步骤2到11，直到实验结束(或输入数据)。

3.2 噪声自适应算法

在标准的无迹卡尔曼滤波器算法中，实际的噪声方差是未知的。通常，过程噪声和测量噪声的协方差设置为固定值。这样的人为设置有时会影响算法的估计精度，甚至导致滤波器发散。因此，为了减少噪声影响，本文采用自适应噪声滤波算法对噪声协方差矩阵进行自适应调整和迭代更新，以提高算法的估计精度[16]。本文利用滤波器的新息和残差估计更新滤波器噪声的统计特性。因此，Q和R的估计与迭代更新如下：

其中，新息e(k)的协方差函数E(k)和残差r(k)的协方差函数R(k)可以通过开窗法得到：

式中：W为数据的滑动窗口长度，它的取值对算法的灵敏度和稳定性影响较大。本文经过多次尝试，确定了W的取值约为15。

通过以上方法便可实现未知噪声方差的在线更新，相应地实时更新平方根无迹卡尔曼滤波算法的增益K，实现不断修正和滤波的功能以获得状态变量中SOC的最优估计。

3.3 联合估计算法

图4 联合算法估算示意图

本文是运用FFRLS和ASR-UKF联合估计SOC，联合算法估算示意图如图4所示。在联合算法中，基于FFRLS的在线参数识别和ASR-UKF滤波算法交替迭代进行完成SOC估计。首先，基于收集到的电流和电压数据，运用FFRLS来完成LIC等效模型参数的在线识别。然后，将识别出的参数结果代入模型的状态空间，以通过ASR-UKF获得SOC估计值。再从开路电压与荷电状态关系中获得开路电压，以便可以使用FFRLS更新模型参数。通过整个更新迭代过程，可以自动校正由于初始参数引起的一些误差，最终可以获得精度更高的SOC估计值。

4 仿真分析

为了验证FFRLS在线参数辨识和ASR-UKF联合算法的有效性和估计效果，本文在NEWARE公司电池测试系统平台上对Taiyo 3200F的单体锂离子电容进行HPPC工况和模拟工况实验，实验选用恒温箱BPHJS-060A为温湿度可调实验箱。所测试的单体电容的初始SOC为1，在初始值准确的情况下，本文使用安时积分法来计算实际工况各个时间点的SOC作为真值与ASR-UKF估计值进行对比。

4.1 HPPC工况仿真分析

联合算法的SOC估计效果波形如图5所示。将其局部放大可以看出，放电初期由于给定的初始SOC不准确，所以估计误差较大。但ASR-UKF算法很快就能够修正由于初值不准确所带来的误差，之后便能收敛至真实的SOC附近，跟随理论值效果良好。由误差波形图6可以看出，放电初期锂离子电容内部极化效应较强，ASR-UKF算法的估计误差比后期要大，最大误差约为0.82%，但在后期，算法估计误差非常小，估计精度很高。

图5 HPPC工况下联合算法的SOC估计图

图6 HPPC工况下联合算法的SOC估计误差图

4.2 模拟工况分析

在车辆实际运行过程中，锂离子电容一般不以恒流方式充放电，因此本文设计一种综合模拟工况进行仿真分析，验证算法在动态工况下的估计效果。图7为该工况下电流变化脉谱图，在该工况下对锂离子电容进行10次循环充放，得到的SOC估计效果如图8所示。

图7 模拟工况的电流变化脉谱图

图8 模拟工况下联合算法的SOC估计图

图9为误差波形。由图9可知，算法在实验初期误差较大，约为1.5%。但算法很快(200 s)能够逼近理论值，即使在电流不断变化的情况下，联合算法的估计值仍能够很好地跟随真实的SOC。并且算法估计曲线波动很小，这说明该算法在电流变化剧烈的工况下能够有效降低噪声的影响，具有良好的鲁棒性和抗干扰性能。

图9 模拟工况下联合算法的SOC估计误差图

5 结论

本文基于锂离子电容的二阶等效电路模型，采用FFRLS方法进行模型参数的在线辨识，避免参数不精确引起的误差。然后根据动态更新的模型，采用ASR-UKF算法对锂离子电容SOC进行估算。实验和仿真表明，联合算法在HPPC工况下，最大误差约0.82%。即使在电流变化剧烈的动态工况中，仍然能够实时更新模型参数和SOC，算法估计误差在1.5%以内。联合估计算法估计精度高，并且能够快速有效地消除初始误差，收敛至SOC真值附近，抗扰动性能优良。