广东省东莞高级中学 (523128) 刘心华

习题课是高中数学课的主要课型之一.新修订的《普通高中数学课程标准》(2017年版)提出高中生在数学学习中应培养好数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析六大核心素养，其基本框架是以培养“全面发展的人”为核心.习题是发展学生数学学科核心素养的平台，“看过问题三百个，不会解题也会问”.新课标要求在教学活动中，教师应结合教学任务及其蕴含的数学学科核心素养设计合适的情境和问题，引导学生用数学的眼光观察现象、发现问题，使用恰当的数学语言描述问题，用数学的思想、方法解决问题.在问题解决的过程中，理解数学内容的本质，促进学生数学学科核心素养的形成和发展.

二、教学设计

椭圆是圆锥曲线部分所学的第一种曲线，椭圆及其几何性质研究的内容、方式及方法，对进一步研究双曲线和抛物线及其几何性质，起到一个示范作用．

以下椭圆的习题课教学设计，从一道课本习题入手，探求问题解法并对其进行变式引申，让学生掌握一类焦点三角形问题的解答，帮助学生理解椭圆的几何性质及一般解题方法和规律，发展能力，感悟思想，积累经验，培养学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养.

1、创设情景、引入新课

设计意图：这是原人教版《数学》选修2-1习题2.2A组第6题，本节课把它作为典型探究性问题，是因为该题可把与椭圆焦点有关的性质、面积问题的处理方法等知识联系起来，问题处于知识的交汇点上，学生入手容易.

2、自主探究、合作学习

教师用几何画板展示本题的图形，学生独立思考尝试解答问题，教师巡视，指导学生通过作图、找关键词理解题意，用数学语言、图形语言、符号语言翻译转化问题的条件和结论，引导学生用多种方法解题，指导学生在学习小组内进行交流、讨论．

设计意图：多媒体展示本题的图形，引导学生自主获取资源，为学生解决问题提供直观，为学生探索规律启发思路，增强学生作图、识图、用图的意识，熟悉题目的条件与结论，正确理解题意，寻找解法，提升数学抽象和直观想象素养.

3、成果展示、汇报交流

设计意图：学生1的解法应该也是大多数同学的解法，在解析几何中，点通常用坐标来表示，要求点的坐标就要根据条件列出其坐标满足的两个方程组成的方程组．点在椭圆上，其坐标满足椭圆方程是显而易见的，关键是列出另一个方程．由于S△PF1F2=1，联想三角形面积的计算公式，就可列出一个方程，从而求解，问题的解答体现了坐标法和方程思想的运用．

是否还有其他解法呢？有学生尝试在焦点三角形中运用正余弦定理及面积公式求解：

师生探讨：学生2是在焦点三角形中，通过正余弦定理及面积公式求解，思路是可行的，做不下去的原因是没有找到θ角与P点纵坐标间的关系，下面一起来寻找问题解决方法：

设计意图：学生2是在焦点三角形中运用正余弦定理及面积公式求解问题，几何法的特点明显，问题解决对三角函数运算能力要求较高，显然这种解法比学生1方法要复杂，比较两种解法可以感受到坐标法的简洁性.反思学生2解法之所以复杂，其中一个主要因素是∠F1PF2的大小对解题的影响，如果∠F1PF2是一个特殊角，比如∠F1PF2=90°，情况会怎么样呢？于是设计如下的变式问题.

学生解答并展示学生的解答如下：

设计意图：解决焦点三角形问题要明确以|F1F2|为直径的圆与椭圆的位置关系，用几何画板展示，当b、c大小关系变化时，验证圆与椭圆的交点个数的变化情况．观察当点P在不同的椭圆弧上运动时，∠F1PF2的大小变化情况，于是有下面的问题：

设计意图：设计变式问题2是让学生明确椭圆中的焦点三角形中有关角的问题常用处理方法，可以运用平面向量数量积的方法，也可运用正(余)弦定理的方法.椭圆上的点对两焦点的张角以椭圆短轴端点最大，这一结论的推导需要学生有较强的逻辑推理和数学运算素养.

4、高考链接、本质变式

(1)(2018全国新课标Ⅱ文)已知F1、F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，则C的离心率为( ).

设计意图：习题课要引发学生的体验学习，教师要确定通过什么样的内容来提升发展学生，即提供恰当的教学材料，习题课中引入高考真题能很好地缩短了教学内容与学生的心理距离，更为具体，也更具操作性和活动性.

5、拓展延伸、迁移应用

(1)(2019年高考全国Ⅰ卷理科10)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0)，过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|，则C的方程为( ).

设计意图：问题(1)比前面的变式问题要复杂，需在椭圆焦点三角形中转化两个等式，结合椭圆定义找到|AF1|=|AF2|的等量关系，由|AF2|=2|F2B|得到点B的坐标，求得椭圆的标准方程.问题设计要考虑学生对解析几何中通性通法的掌握程度，问题解决可以帮助学生提升数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算等学科核心素养.

设计意图：问题(2)虽然不是焦点三角形问题，但问题解决的方法与思路完全可以借鉴前面的焦点三角形问题，所以有下面的方法一与方法二，这是习题课教学中的迁移应用.把一个看似未知的问题转化为几个已经具备的经验可以解决的问题，是数学常规解题策略，这个任务不可能一蹴而就，但可以水滴石穿，进一步的挖掘，可以让问题简单化，应用价值就更高，看似一小步，其实一大步.

学生14：(方法二)设焦点在x轴上，点M(x,y)，过点M作x轴的垂线交x轴于点N，则N(x,0)故tan∠AMB=tan(∠AMN+∠BMN)=

设计意图：问题(3)的焦点三角形中涉及到角平分线的长度问题，在焦点三角形中运用正(余)弦定理、角平分线定理、面积公式等入手，解决看似有一定困难，但若将问题中的长度全部转化为角度，运用三角函数的变换求解，问题很快得以解决.教师要基于教学目的去设计并引导学生的主动学习活动与学习进程，提供这样的教学材料，能更好地促进学生解题活动，提升数学素养.

设计意图：习题课的问题设计，要引发学生的积极思考和数学活动，教师不要因学生学习困难就降低难度，教师的作用就是要帮助学生成为教学的主体，主动去挑战困难、克服困难，促进学生的发展，从现有水平主动积极地走向未来水平.

6、归纳总结、分层作业

(5)结合本节课的探究性问题，请自编一道“改变条件或改变结论”(特殊化、一般化)的变式问题．

设计意图：作业是习题课的自然延伸，教师在布置作业时要尊重学生的差异，找准学生学习的最近发展区，优化设计阶梯式分层作业，让不同层次学生选择，达到相应单元的学业要求，同时更深层次地唤醒学生对数学学习的需要，实现不同的人在数学上得到不同的发展.

三、教学反思

本节习题课设计了环环相扣的问题链，充分体现了以发展学生数学核心素养为导向的教学理念.从一道课本习题引入新课，引导学生自主探究合作学习,鼓励学生充分发表自己的感受和见解，让学生在问题解决的过程中充分参与课堂活动.变式问题1比课本习题入手更容易，学生可以从更多的角度切入解题，让不同水平的学生思维都动起来.变式问题2的设计让学生在解决问题的过程中，通过学生自己的思维活动进一步将符号化的知识打开，将静态的知识激活，全身心地体验问题丰富的内涵与意义.高考链接本质变式题组的设计是让学生再次经历问题解决的关键环节，让学生与自己正在学习的内容之间建立一种紧密的联系，通过解题活动去把握数学问题的本质，发展着学生的思维品质，提升学生的核心素养. 拓展延伸迁移应用题组的设计抓住了知识生长点，又扣住了问题的本质，有浓浓的数学问味.在习题课教学活动中，迁移应用是对本质变式的印证与检验，有联想才能有迁移，有结构才能去应用.归纳总结分层作业设计了必做题与选做题，必做题由易到难、结构由简单到复杂、要求由低到高，学生人人都有会做的题，个个都有信心去尝试，给不同层次的学生创造了成功的机会.