姜莲霞 张四保

(喀什大学数学与统计学院，新疆 喀什 844008)

0 引 言

欧拉函数φ(n)是数论中重要内容之一，其在理论研究和实际应用中都有着十分重要的意义[1].对于包含欧拉函数φ(n)的方程的正整数解的研究有着大量的研究成果，如文献[2-8].在将 Lehmer同余式从模素数的平方推广到模任整数的平方时[9]，Cai[10]引入了广义欧拉函数φe(n).对于广义欧拉函数φe(n)的性质以及方程解的研究，有文献[11-16]进行了一定的研究，为探讨欧拉函数φ(n)与广义欧拉函数φe(n)结合的性质，本文将讨论广义欧拉函数φ3(n)与欧拉函数φ(n)混合方程式

的可解性问题.

1 引 理

2 结论及其证明

当k=2 时，式(1)有整数解 (x，y)=(1，3)、(1，4)、(1，6)、 (2，3)、 (3，1)、 (4，1)、 (6，1)、 (3，2)、(1，10)、(10，1)、(3，4)、(4，3)；

当k=3 时，式(1)有整数解 (x，y)=(3，3)、(3，6)、(6，3)；

当k=4 时，式(1)有整数解 (x，y)=(1，5)、(1，8)、(1，12)、(2，5)、(5，1)、(8，1)、(12，1)、(5，2)、(1，20)、(1，30)、(20，1)、(30，1)、(2，4)、(2，6)、(4，2)、(6，2)、(2，10)、(10，2)、 (3，5)、(3，8)、(5，3)、(8，3)、(3，16)、(16，3)、(3，22)、(22，3)；

当k=5 时，式(1)有整数解 (x，y)=(2，22)、(22，2)、(3，11)、(11，3)、(3，25)、(25，3)；

当k=6 时，式(1)有整数解 (x，y)=(3，12)、(12，3)、(3，15)、(3，24)、(15，3)、(24，3)；

当k=8 时，式(1)有整数解 (x，y)=(2，8)、(2，12)、(8，2)、(12，2)、(2，20)、(2，30)、(20，2)、(30，2)、 (3，48)、 (48，3)、 (3，51)、 (3，96)、 (51，3)、(96，3)、 (3，30)、 (30，3)、 (3，132)、 (3，150)、(132，3)、(150，3).

结合以上讨论，可得定理1.