一种基于弹性能释放率的岩石新型统计损伤本构模型

2021-01-21刘文博孙博一张树光

水文地质工程地质 2021年1期

刘文博，孙博一，陈雷，张树光

（1.广西岩土力学与工程重点实验室，广西桂林 541004；2.辽宁工程技术大学土木工程学院，辽宁阜新 123000）

国内外学者在大量研究和试验中发现，岩石在加载过程中力学性质劣化规律具有离散性和随机性[1-3]。结合概率论和统计学理论假设岩岩石损伤规律满足Weibull 分布函数[4-5]，以此建立统计损伤本构模型，可以更好地描述岩石破坏变形规律。因此，对岩石统计损伤本构理论进行进一步研究，可为今后研究和试验分析奠定基础。

已有研究将损伤变量当作联系岩土材料结构特征和力学行为特性之间的重要变量，进而建立岩石损伤本构模型[6-9]。Lai 等[10]开展了在不同含水率、不同温度下的冻土单轴力学特性试验，建立了考虑含水率和温度的统计损伤模型；Li 等[11]基于连续性损伤介质理论以及岩石微元强度满足Weibull 分布的假设，建立了可以较好反映岩石应变软化特性的损伤模型；张德等[12]在考虑孔隙体积变化对应变特性影响的基础上，建立了一种新型损伤模型，可以较好地反映损伤与孔隙率的演化规律；王苏生等[13]通过对冻砂性土在σ-τ平面上微元强度特性的分析，利用连续性损伤理论建立了统计损伤本构模型和体积损伤模型；王凯等[14]研究不同含水率对煤岩变形破坏变化规律的影响，进而建立反映含水率对煤岩应力-应变影响的损伤统计模型；曹文贵等[15]假设岩石是由颗粒骨架和空隙两部分组成，从微观角度分析岩石变形破坏机理与应力应变关系，通过引入损伤统计力学建立了考虑空隙变形的损伤模型；Zhou 等[16]开展了岩石应力-温度循环加卸载试验，分析了岩石在应力-温度循环加卸载作用下的变形破坏机理，并通过统计损伤理论建立了应力-温度耦合场的岩石损伤本构模型。

通过分析上述岩石损伤模型及岩石变形特性的研究可知，当岩土类材料不存在明显的缺陷，其应力-应变曲线应该是一条连续光滑的曲线，应力并不会随应变的增大发生突变；建立的本构方程在全应变范围内应当只有一个统一形式。通过统计损伤原理构建的损伤本构模型完全满足上述要求，且此种方法也受到学者的广泛应用，使得构建的损伤模型可较好地描述岩石变形破坏全过程。因此，本文基于弹性能、弹性能释放率和应变等效原理对广义胡克定律进行修正，建立一种新型的统计损伤本构模型，并讨论分析岩石损伤劣化机理和损伤模型应力-应变关系；并将分布参数代入到修正后的弹性能模型中，探讨了分布参数对弹性能变化规律的影响。

1 基于弹性能的岩石损伤本构模型

在三轴受压状态时，岩石主应力方向的弹性能释放率（G3）[17]可表示为：

式中：K3—材料常数；

G3—弹性能释放率；

We—弹性能/（MJ·m-3）；

σ1—轴向应力/MPa；

σ3—围压/MPa。

当弹性能释放率（G3）达到临界值（Gc）时，岩石单元体内储存的应变能将首先沿该方向释放，即两者之间的关系满足G3=Gc。同时，可知在单轴条件下岩石的弹性能计算公式为：

式中：σc—岩石单轴抗压强度/MPa；

W'e—单轴状态下弹性能/（MJ·m-3）；

E—弹性模量/GPa。

将式（2）代入式（1），结合条件G3=Gc，得

三轴压缩条件下，岩石的弹性能[18]为：

式中：σ1、σ2、σ3—三个不同方向上的主应力/MPa；

ε1、ε2、ε3—三个不同方向上的弹性主应变/%。

其中，本文试验应力满足σ1＞σ2=σ3。将式（4）代入式（3）中，得

显然式（5）中具有轴向应变（ε1）和径向应变（ε3）两种应变，并不能直接反映岩石轴向应力-应变关系，故需要将式（5）转化为轴向应力关于轴向应变的本构方程。

岩石的强度表达式[19-20]如下：

式中：v—泊松比。

式（6）又可以表示为：

由广义虎克定律可知，在单向应力状态时，理想弹性体径向-轴向应变关系为：

三向应力状态下，理想弹性体径向-轴向应变关系为：

假设单向和三向应力状态下，理想弹性体径向-轴向应变关系都满足以下关系：

式中：μ—与应力状态有关的系数。

在单向应力状态时，与应力状态有关的系数μ满足条件：

三向应力状态下，与应力状态有关的系数μ满足条件：

将式（10）代入式（5），简化得

由于在三轴试验中岩石的轴向应力一直为正值，故在式（13）转化为轴向应力（σ1）关于轴向应变（ε1）的关系式为：

根据有效应力原理可知，应力（σi）与有效应力（σi*）之间存在以下关系：

式中：D—损伤变量。

结合有效应力原理将式（14）转化为损伤本构方程：

式（16）中的D为描述岩石内部应力-应变变化规律的内变量。

根据Kachanov[21]对损伤变量的定义可知，材料的损伤可由其内部损伤单元个数（Nf）和材料总单元个数（N）比值来表示，即

岩石微元在发生破坏时，岩石的强度满足Weibull分布函数，即

式中：F—屈服强度；

m、F0—分布参数。

微观上，岩石受到外荷载达到屈服强度时，岩石内部微元损伤数目可以达到Nf，即

联立式（16）～（19），得

将式（20）代入式（16）中，得

2 损伤模型参数的确定方法

岩石损伤演化本构方程中具有6个参数，分别为E、v、m、F0、μ、σc。其中，σc、E、v、μ可以根据岩石的应力-应变曲线计算；分布参数m、F0需要通过文献[22]中的方法来确定。

2.1 分布参数确定

由式（16）得

岩石微元强度为：

通过式（22）和式（20）得

式中：A—参数。

通过对式（24）两边取对数、移项、再次取对数的数学变换，得

对式（25）进行参数替代，令

联立式（24）—（28），得

式中：Y、X—定义的新变量；

m、B—待定参数，利用三轴试验结果即可确定。

2.2 力学参数与变形参数确定

弹性模量（E）、泊松比（v）计算公式如下：

式中：Z—径向应变和轴向应变的比值。

文中的试验曲线为偏应力-应变曲线，上述推导过程中的峰值应力（σ1c）和峰值应变（ε1c）不是该曲线峰值点对应的峰值应力（σ'1c）和峰值应变（ε'1c）[23]，故σ'1c和ε'1c可通过式（31）和式（32）计算，即

式中：a、b—常数，可由岩石在不同围压下的应力-应变曲线的峰值应变拟合得到；

c'、φ'—岩石峰值强度时的黏聚力和内摩擦角。

3 三轴压缩室内试验

3.1 试验结果分析

采用MTS815.02 岩石试验系统对取自阜新恒大煤矿的砂岩进行三轴室内压缩试验。步骤为：（1）将围压加载到预定值后维持围压不变，逐渐增加轴压直至试样破坏；（2）轴向和径向以位移加载方式控制，以0.002 mm/s的加载速率施加荷载；（3）试验数据由试验机自动采集并换算成对应的应变与应力输出到数据采集系统。此次试验的围压（σ3）分别选0，10，20，30 MPa，三轴试验结果见表1，轴向应力-应变曲线如图1。

表1 三轴压缩试验结果Table1 Triaxial compression test results

图1 轴向应力-应变曲线Fig.1 Axial stress-strain curve

由图1可知，不同围压下的应力-应变曲线变化趋势基本一致，都呈现出典型的砂岩脆性特性。压密变形阶段：在外荷载作用下，岩石内部原有孔隙逐渐闭合，曲线变化规律接近于直线；弹性变形阶段：围压的增大使得轴向应变受到束缚的程度加剧，且轴向应变随着偏应力的增大而增大；塑性变形阶段：随着围压继续增大，曲线的非线性特征越明显，且岩石的峰值应力也越大；峰后软化变形阶段：随着轴向应变的持续增大，轴向应力迅速下降，直至保持一个数值不变；残余变形阶段：此阶段的应力-应变曲线基本为一条水平的直线，即应力随着应变的持续增大而保持不变。

3.2 模型验证

不同围压条件下岩石损伤模型分布参数值见表2。

表2 参数计算值Table2 Parameter values

表2中的分布参数值只是特定围压下的参数值，并不能代表所有情况下分布参数与围压之间的关系，故需要建立围压与分布参数之间的关系[24]。分布参数与围压之间的拟合曲线见图2、拟合公式见式（33）和式（34）。将分布参数值代入式（21）中，得到改进的统计损伤本构模型曲线与试验曲线对比图（图3）。

图2 分布参数Fig.2 Distribution parameters

图3 试验与模型曲线对比Fig.3 Comparison of the test and model curves

由图3可知，模型曲线与试验曲线拟合程度较高（试验曲线的变化趋势基本一致），故本文建立的损伤本构模型可以较好反映砂岩的应力-应变特性；但是该模型不能很好地描述应力-应变曲线残余变形阶段，需要进一步研究。

为了进一步验证本文建立模型的正确性与合理性，将模型曲线和试验数据与文献[2]和文献[7]中的模型曲线进行对比分析(图4）。

由图4可知，砂岩在不同围压作用下，模型曲线变化规律和试验曲线变化规律基本一致。模型曲线与试验曲线在峰前变形阶段几乎重合，说明损伤模型很好地反映了岩石的线弹性变形特性；模型曲线与试验曲线在峰后阶段吻合度不是很好，但对岩石的非线性变形变化规律也具有较好的描述；同时，随着围压的逐渐增大，围岩的峰值、残余强度也逐渐增大。

3.3 损伤演化规律

结合广义虎克定律和强度公式（7），将式（20）变为式（35）形式，绘制出不同围压作用下围岩损伤演化规律如图5。

由图5可知，在初始加载阶段，岩石的损伤变量随着轴向应变的增大而增大，说明了在荷载作用下，岩石内部裂隙逐渐发展发育，使得岩石材料的损伤逐步积累；在围压达到10 MPa 以上时，损伤-应变曲线基本重合。在初始加载时刻，损伤-应变曲线增长率急剧上升，大约在岩石的应变为0.000 1时，损伤-应变曲线趋于平稳变化状态，且由于岩石在峰值应力点附近损伤迅速累积，进而使得损伤变量在数值上快速增大到1，这说明了围压的增大使得岩石破坏极限得到显著的提升。

4 损伤模型弹性能分析

4.1 弹性能变化规律分析

将式（9）—（11）、（21）、（15）代入式（4），得到弹性能计算公式：

绘制出不同围压条件下岩石弹性能与轴向应变的关系图（图6)。

由图6可知，随着围压的增大，砂岩内部储存的弹性能也逐渐增大，这说明了围压的增大可以有效提升岩石的储能能力。（1）压密变形阶段：由于岩石内部裂隙和空洞等缺陷的发育需要消耗能量，此时弹性能变化规律几乎为一条水平直线；（2）弹性变形阶段（即在屈服点之前时）：岩石从外界吸收的能量主要以弹性能形式储存，故此阶段弹性能增长幅度急剧上升；（3）在屈服点之后、峰值应力点之前的变形阶段：岩石从外界吸收的能量一部分继续以弹性能形式储存，另一部能量则以耗散能形式释放出，此阶段岩石的弹性能增长幅度有所减缓；（4）待加载到峰值应力点的变形阶段：原来储存在岩石内部弹性能瞬间释放，导致岩石内部缺陷贯通形成明显的破坏面，岩石试样发生了失稳破坏。

图4 试验与模型曲线对比Fig.4 Comparison of the test and model curves

图5 损伤演化规律Fig.5 Damage evolution

图6 弹性能与轴向应变Fig.6 Elastic energy and axial strain

结合图2可知，岩石弹性能-轴向应变曲线和应力-应变曲线各阶段的破坏变形具有较好的对应与划分。（1）弹性变形阶段：应力-应变曲线的变化速率开始迅速增大，对应的弹性能-轴向应变曲线的变化速率也迅速增大；（2）峰前塑性变形阶段：岩石在外荷载作用下损伤程度逐渐加剧，且随着应变的增大，应力增长速率逐渐减小，此时岩石内部的能量耗散急剧增加，弹性能增长幅度开始下降。

4.2 分布参数对弹性能的影响

为了探讨分布参数m和F0对于弹性能变化规律的影响，绘制出能量演化曲线（图7，以围压10 MPa为例）。

由图7可知，当分布参数m固定不变时，随着分布参数F0的增大，岩石的弹性能-应变曲线的变化规律呈现增长趋势。这是由于随着分布参数F0增大、损伤变量逐渐减小，即岩石的损伤程度减小，使得砂岩微观裂隙扩展发育有所减缓，故砂岩在压缩试验中耗散能量减小，外界荷载做功转化的能量就相对较多，存储在岩石内部的弹性能较多；当分布参数F0固定不变时，随着分布参数m的增大、损伤变量逐渐增大，此时岩石的损伤程度逐渐加剧，微观上裂隙发育更加完全、消耗的能量更多，使存储在岩石内部的弹性能较少。