赵劲松，孙鑫宇，董杰，王春发，徐嘉祥，王志鹏

（1.燕山大学河北省重型机械流体动力传输与控制实验室，河北秦皇岛，066004；2.浙江大学流体动力与机电系统国家重点实验室，浙江杭州，310027；3.燕山大学机械工程学院，河北秦皇岛，066004）

基于Stewart 平台的液驱并联机构多维力加载系 统 （electro-hydraulic multi-dimensional force loading system with parallel mechanism， EHMDLPM）具有自由度多、结构紧凑、刚度大和承载能力强的优点[1-2]，因此，它被广泛应用在机器人、数控机床、医疗器械以及航空航天机械等多个领域[3-4]。EH-MDLPM 各通道间存在耦合力干扰，传统控制方法难以满足其动态性能和加载精度要求[5-6]，因此，针对上述问题，研究相应的控制方法具有重要意义。

针对飞行模拟器操纵负荷力加载控制系统不稳定现象，王辉等[7]采用前馈补偿和PID 反馈调节相结合的复合控制算法提高系统稳定性，但力加载跟踪仍存在约8%的相对误差；王博等[8]采用PID控制及动压反馈控制将正交并联六自由度力控系统加载误差降低到1%，然而，该系统存在严重输出力耦合现象；UKIDVE等[9]假设雅可比矩阵恒定不变，利用此性质设计出具有容错能力的并联机构，提高其运动精度且实现工作范围局部解耦；YANG 等[10]利用3 个RPRS 支腿支撑运动平台，其他支腿关节轴垂直基面且相互平行，实现并联机构工作范围全域解耦，但该机构结构复杂且搭建困难；赵春红等[11]提出二阶滑模控制器，抑制外界波形干扰，提高驱动液压缸活塞运动轨迹的输出精度与控制系统的稳定性；张达等[12]提出自适应滑模控制器，有效估计并克服3-UPS/PU 并联机构关节摩擦干扰，消除驱动的抖振现象，提高系统控制精度与动态品质；刘希等[13]提出自适应反演滑模控制器，实现并联运动平台支链电液伺服运动快速、稳定和高精度位置控制，且对系统的外加干扰具有很强的鲁棒性；黄道敏等[14]提出分数阶积分滑模控制器，提高六自由度水下机械手系统收敛的快速性与抗干扰能力。考虑到并联机构的结构固有属性、柔性负载引起的耦合影响和力控系统解耦的复杂性，将滑模控制用于EH-MDLPM中进一步研究。

本研究以降低EH-MDLPM 耦合力为目的，建立其模型，分析其耦合机理，并采用改进的滑模控制器提高系统控制性能。基于Lyapunov 定理分析该控制方法的稳定性。通过实验，验证改进滑模控制方法在参数时变系统中的有效性，为EHMDLPM解耦提供了一种有效控制方法。

1 系统建模

图1 所示为Stewart 平台结构简图。由图1 可见：多维力加载系统采用Stewart平台为基础结构，上平台通过胡克铰，活塞杆以及液压缸筒连接下平台。以上平台中心为坐标原点，建立与上平台固连的动坐标系OP- XPYPZP，当上平台至运动中心位置时，动坐标系重合于惯性坐标系O-XYZ，Ai为第i 个上铰点在动坐标系中的坐标矢量，Bi为第i个下铰点在惯性坐标系中的坐标矢量。工作时，活塞杆伸缩，输出力和位移，通过胡克铰将力和位移传递到上平台，实现上平台广义空间六自由度力加载。

1.1 动力学建模

EH-MDLPM动力学建模如下[15]。

Stewart平台的运动学反解矩阵方程为

式中：l 为6 个液压缸的位置矩阵；A 为上平台各铰点在动坐标系下的位置矩阵；B为下平台各铰点在惯性坐标系下的位置矩阵；C为上平台中心在惯性坐标系下的位置矩阵；R为动坐标系与惯性坐标系之间旋转变换矩阵。

工作空间中EH-MDLPM动力学模型为

式中：Mq（q）为自由度空间广义质量矩阵；Gq（q）为自由度空间重力项矩阵；Kq为弹性负载在工作空间的刚度矩阵；q 为上平台的广义位移；为上平台的广义加速度；J为广义速度与缸伸缩速度的雅可比矩阵；Fa为各支腿输出的力矢量。

关节空间中EH-MDLPM动力学方程为

根据上述建模可建立多维力加载系统并联机构的动力学框图，如图2所示，表示各支腿液压缸输出力克服重力、弹性力及其惯性力从而产生位移。

图2 多维力加载系统并联机构的动力学框图Fig.2 Dynamic diagram of parallel mechanism of multi-dimensional loading system

1.2 液压动力元件建模

EH-MDLPM 采用非对称液压缸作为执行机构进行力加载，阀控非对称液压缸原理图如图3 所示，图3中p1为活塞杆无杆腔压力；A1为活塞杆无杆腔面积；q1为活塞杆无杆腔流量；p2为活塞杆有杆腔压力；A2为活塞杆有杆腔面积；q2为活塞杆有杆腔流量；ps为进油压力；p0为出油压力。

图3 阀控非对称液压缸原理图Fig.3 Schematic diagram of valve controlled asymmetric cylinder

液压动力元件建模分为阀的流量方程、液压缸流量方程以及力平衡方程[16]。

伺服阀流量方程为

式中：qL为负载流量；xv为伺服阀阀芯位移；pL为负载压力；Kq为伺服阀的流量增益；Kc为伺服阀的流量-压力系数。

非对称液压缸流量方程为

式中：Cta为系统泄漏系数；Ctc为油缸总泄漏系数；Vt为液压缸有效容积；βe为液压油体积弹性模量；p˙L为负载压力变化率；xp为活塞杆位移；x˙p为活塞杆速度。

非对称液压缸负载力平衡方程为

式中：m 为负载与活塞杆折算到活塞上的总质量；Bp为负载与活塞杆的黏性阻尼系数；FL为活塞杆上的外负载力；x¨p为活塞杆加速度。

对式（4）~（6）进行拉氏变换，得

根据式（7）建立单通道伺服阀控非对称液压缸的方框图，如图4 所示，图4中，Kce为总流量-压力系数，其中，Kce=Ctc+Kc。由图4可见：空载流量部分用于活塞运动消耗，剩余的流量在压缩和泄漏的作用下产生负载压力，进而作用于活塞面积上，驱动外部负载。

图4 阀控非对称液压缸方框图Fig.4 Block scheme of valve control asymmetric hydraulic cylinder

1.3 系统整体建模

EH-MDLPM 上平台与伺服阀控非对称液压缸活塞杆可视为刚性连接，并且Ml和Gl中分别包括上平台与活塞杆映射至关节空间中的质量项与重力项，因此，力平衡方程可重新写为

高频响伺服阀在0.5 Hz 以内的低频段工作时，控制信号与伺服阀阀芯位移的传递关系可视为比例环节，表示为

式中：u 为伺服阀驱动电信号；Ka为伺服阀放大系数。

由式（8）可知：6套阀控非对称液压缸的输出力组成的力矢量即为EH-MDLPM动力学模型的输入力矢量。因此，结合图2 和图4，即可得到EHMDLPM在关节空间中的整体力控模型，如图5所示，其中6个通道采用规格型号相同的伺服阀与非对称液压缸，具有相等的性能参数，被视为常数项的CtaPs与干扰项的Gl（l）没有加入方框图中。

2 系统耦合分析

根据式（7）可以得到阀控非对称液压缸输出力为

式中：I为单位矩阵。

结合式（8）~（10）可得，在各位姿下阀控非对称液压缸输出力Fa为

式中：G1（s）为驱动信号到阀控非对称液压缸输出力的传递函数。

由式（11）可知：映射至关节空间的质量矩阵和刚度矩阵为非对角阵，在进行多维力加载过程中第i 通道的控制信号会影响第j（ j ≠i）通道的输出力，因此，EH-MDLPM存在动力学耦合。

结合关节空间单通道力闭环P控制，系统的闭环传递函数可表示为

式中：Kp为控制器矩阵；Fd为各支腿指令的力矢量。

图5 液驱并联机构多维力加载系统模型Fig.5 Model of electro-hydraulic multi-dimensional force loading system with parallel mechanism

由式（12）可知，Ml与Kl均不是对角阵，在自由度空间中，由输出力Fa到输入指令Fd的传递函数矩阵中系数项不是对角阵。因此，在进行多维力加载时，各通道之间存在严重的输出力耦合现象[17]。

3 滑模控制改进及其稳定性分析

3.1 名义模型计算

为了进行多维力加载系统的滑模控制器设计，首先需知其名义模型，名义模型所需的有关参数如表1所示。

EH-MDLPM 上平台和阀控非对称液压缸映射至关节空间中的实际质量矩阵与弹性负载映射至关节空间中的实际刚度矩阵不能准确获得，但EHMDLPM 各部分的方程形式是相同的。式（3）所表达的机理模型中实际质量阵M1和实际刚度阵Kl与二者各自对应的名义质量阵M*l和名义刚度阵K*l并不相同，但其相应的各元素数值大致接近，用M*l和K*l对系统传递函数分子项补偿，并作为滑模控制器设计的名义模型，从而降低设计难度，并起到滤波作用。因此，把系统Fa与v的传递函数简化为

表1 多维力加载系统名义模型参数Table 1 Nominal model of multi-dimensional force loading system

式中：v 为整体模型（分子项补偿前和补偿后）驱动信号。式（13）可进一步简化为

其中：M*l为上平台和活塞杆映射至关节空间中的名义质量矩阵；K*l为弹性负载映射至关节空间的名义刚度矩阵；K*ce为名义总流量-压力系数；K*q为伺服阀的名义流量增益；Δ（Ml）为关节空间的实际质量矩阵与名义质量矩阵的误差；Δ（Kl）为关节空间的实际刚度矩阵与名义刚度矩阵的误差；Δδ 为实际矩阵取逆与矩阵误差的乘积。

Δδ有界，假设Δδ ≤α，式中：α为常数矩阵。

定义

将式（16）代入式（14），式（14）可以重新写为

根据式（17）进行滑模控制器设计。与式（17）方程形式相似，加入分子项补偿的理论模型为

其中，A3，A2，A1和A0分别为通过实验得到的实际值。

EH-MDLPM 是三阶单输入单输出的非线性系统，结合文献[18-19]设计滑模控制器。第i个通道的滑模控制器设计过程如下所示。结合式（18），定义

式中：Anii（i = 0，1，2，3）为An的各对角元素。

3.2 控制器设计

第i个通道力跟踪误差ei为

式中：Fai为第i通道的输出力矢量；Fdi为第i通道的指令力矢量。

定义第i个通道滑模面为

根据线性化反馈技术，结合所设计的名义模型和滑模面，第i个通道滑模控制律可设计为

其中，

结合式（18），（20）和（26），第i 个通道滑模控制律为

式中：sgn（s0i）为第i个通道滑模面的符号函数。

由式（29）可知，增大切换增益ρi导致伺服阀电信号的抖振增大。

3.3 稳定性分析

根据式（21）可得

当名义模型与实际模型的输出力相等时，将式（29）和（30）代入式（17）可得到如下关系式：

将式（32）代入式（31），可得

其中：

令

由式（34）可知，ΔA3ii，ΔA2ii，ΔA1ii和ΔA0ii均为有界的建模误差；Δvi为第i个通道滑模控制律的建模误差，可得建模误差Δχi（t）有界。由于输出力的导数与输出力频率有关，因此，增大输出力的频率会导致Δχi（t）数值增大。

设Lyapunov函数为

结合式（36）和式（37）可得，Lyapunov 函数的一阶导数为成立。

从改进的滑模控制稳定性条件可知，当切换增益ρi大于不确定边界时，滑模控制器的控制律vi可接近滑模面。当vi沿滑模面移动时，si趋于0。此时，c1和c2越大，e越小，从而保证了动态力跟踪精度。

EH-MDLPM 各力加载通道间存在耦合力，耦合力可以被视为是一种干扰[20]，由式（38）可以看出，滑模控制减轻控制信号的抖动现象，降低干扰的影响，提高动态跟踪性能。

4 实验验证

4.1 实验方案

液驱并联机构多维力加载系统由机械结构、液压系统和控制系统3部分组成。机械结构主体采用Stewart 平台，选取伺服阀控非对称缸驱动。控制系统采用基于Matlab/xPC Target的快速原型控制技术，其组成如图6所示，上位机和下位机分别采用PC 机与工控机。在上位机中采用MATLAB/Simulink 软件搭建模型与编写程序并编译为C 语言，通过网线将上位机中编译的代码传输至下位机中运行。下位机装有AD 和DA 板卡，位移传感器、拉压力传感器与六维力传感器采集的信号经调理输入到AD 板卡，DA 板卡输出信号经调理至伺服阀，形成闭环系统，且上位机实时监控系统运行状态。

4.2 实验结果

4.2.1 PI控制

在PI 控制作用下，当向Fx和Fy自由度力加载通道方向各输入400 N/0.5 Hz的正弦力信号，向Fz自由度力加载通道方向输入0 N的力信号，向Rx和Rz自由度力加载通道方向各输入50 N·m/0.5 Hz 的正弦力矩信号，向Ry自由度力加载通道方向输入0 N·m的力矩信号时，调整PI控制器参数，使力加载跟踪性能达到最佳，此时，各自由度方向力加载通道的力加载跟踪性能曲线如图7所示。

由图7可见：在PI控制作用下，其他自由度通道对Fz自由度力加载通道产生范围为-192~251.8 N的耦合力，其他自由度通道对Ry自由度力加载通道产生范围为-11.5~14.1 N·m的耦合力矩。Fx自由度力加载通道的力跟踪曲线存在一定幅值衰减，Rx和Rz自由度力加载通道呈现较大的相位滞后，并且受到其他自由度通道对其产生的耦合力影响，导致Rx自由度力加载通道的力矩跟踪范围扩大到-71.8~63.3 N·m，Rz自由度力加载通道的力矩跟踪范围值扩大到-48.8~79.7 N·m。因此，EH-MDLPM各自由度存在严重的耦合力，并且在动态跟踪过程中存在幅值衰减和相位滞后现象。

4.2.2 滑模控制

在滑模控制作用下，当向Fx和Fy自由度力加载通道方向各输入400 N/0.5 Hz的正弦力信号，向Fz自由度力加载通道方向输入0 N的力信号，向Rx和Rz自由度力加载通道方向各输入50 N·m/0.5 Hz的正弦力矩信号，向Ry自由度力加载通道方向输入0 N·m的力矩信号时，调整滑模控制器参数，使力加载跟踪性能达到最佳，此时，各自由度方向力加载通道的力加载跟踪性能曲线如图8所示。

由图8可见：在滑模控制作用下，其他自由度通道对Fz自由度力加载通道产生范围为-32.3~27.7 N的耦合力，其他自由度通道对Ry自由度力加载通道产生范围为-3.8~4.9 N·m 的耦合力矩。与PI 控制器相比，Fz自由度力加载通道的耦合力范围缩小86.5%，Ry自由度力加载通道的耦合力矩范围缩小66%，Fx自由度力加载通道的力跟踪曲线幅值衰减得到改善，Fy自由度力加载通道的动态跟踪性能得到提高，Rx和Rz自由度加载通道的力矩跟踪曲线相位滞后得到改善，受到其他自由度通道对其产生的耦合力影响减小。

通过以上多维力加载实验可知，在滑模控制器下EH-MDLPM的耦合力降低，耦合力干扰受到抑制，从而实现解耦，并且动态跟踪性能得到提高。

图6 实验方案Fig.6 Experimental scheme

图7 PI控制各自由度力加载通道跟踪曲线Fig.7 Tracking curve of each force loading channel by PI control

图8 滑模控制各力加载通道跟踪曲线Fig.8 Tracking curve of each force loading channel by sliding mode control

5 结论

1）提出了一种改进的滑模控制算法，该算法有效降低了系统参数时变与模型摄动对EHMDLPM控制精度的影响。

2）建立了机构动力学模型，系统广义质量和广义刚度为非对角阵是导致EH-MDLPM各通道间输出力耦合的主要因素。

3）通过Lyapunov 理论分析了改进的滑模控制结构的稳定性，与切换增益、机构参数、液压缸参数及伺服阀参数相关的稳定条件，即ρi>|Δχ A3ii|。

4）与PI 控制相比，改进的滑模控制耦合力减小了86.5%，耦合力矩减小了66%，提高了系统动态响应速度与输出精度。