梁艳

摘 要：文章探讨了随参数变化的线性参数变化（Linear Parameter-Varying）系统的鲁棒峰值—峰值滤波问题，这类系统的状态空间矩阵是实时可测且在闭集上变化的时变参数的仿射函数。针对给定的LPV系统，建立使滤波误差系统渐近稳定且具有峰值—峰值性能的约束条件。通过引入附加矩阵以及应用投影引理，消除了参数依赖Lyapunov函数矩阵和系统矩阵之间的乘积项，推导出此系统解耦的鲁棒峰值—峰值性能准则。在此基础上，笔者根据参数线性矩阵不等式技术设计该系统鲁棒峰值—峰值滤波器，利用近似基函数和网格方法将滤波器的设计，转化为有限维的参数线性矩阵不等式凸优化求解问题。最后，用数值仿真验证所提出方法的可行性。

关键词：线性参数变化系统;鲁棒滤波;峰值—峰值性能;参数依赖Lyapunov函数

中图分类号：TP273 文献标识码：A 文章编号：1674-1064（2021）12-00-03

DOI：10.12310/j.issn.1674-1064.2021.12.002

线性参数变化（Linear Parameter-Varying）系统是一类重要的时变系统，能够描述动态系统中存在的非线性和时变特性。近年来，LPV系统理论随着增益调度控制技术[1-2]的成熟得到了飞速发展，广泛应用在工业、通讯、航天等多个领域。对这类LPV系统的研究成为控制领域关注的热点，而与增益调度控制相对偶的滤波问题是目前研究的棘手问题。滤波是依据可以测量到的输出信号对系统内部的不可测量的信号进行估计[3-4]，设计滿足一定要求的滤波器具有重要的理论意义。目前，对LPV系统的滤波问题主要集中在鲁棒H∞（只要求能量有界）滤波[5]的问题上。而在自然界中，系统经常受到来自外部持续有界扰动作用，比如飞机飞行振动控制系统、海洋结构物承受风力或规则海浪波的正弦干扰力作用等。针对这种情况，即输入不是能量有界的信号，而是峰值有界的信号，要求输出信号也不是能量有界的，而是要保证峰值有界。显然，此时选峰值—峰值性能指标是必要的，研究在更一般意义下的扰动系统的滤波问题，具有重要现实意义。

文章针对线性参数变化系统，研究了鲁棒峰值—峰值滤波问题。首先基于参数依赖Lyapunov函数思想，得出滤波误差系统的峰值—峰值性能判据，应用近似基函数和网格技术，将滤波器的设计转化为有限维的参数线性矩阵不等式的求解问题。针对峰值有界的外界扰动信号，滤波误差系统的噪声抑制水平小于一定值，最后用数值仿真验证所提出方法的可行性。

1 问题描述

考虑如下的线性参数变化系统（LPV）：

x·（t）=A（ρ（t））x（t）+B（ρ（t））ω（t）

y（t）=C（ρ（t））x（t）+D（ρ（t））ω（t）    （1）

z（t）=G（ρ（t））x（t）

其中，x（t）∈Rn是状态变量;y（t）∈Rm是测量输出;z（t）∈Rp是要估计的信号;ω（t）∈Rq是扰动输入;假定在系统（1）中的矩阵A（·），B（·），C（·），D（·），G（·）为时变参数ρ（t）的函数，参数向量ρ（t）=[ρ1（t），ρ2（t）...ρs（t）]T满足ρi（t）实时可测，以下用ρ和ρi代表ρ（t）和ρi（t），且ρi（t）∈[ρi，ρi]以及参数变化率τi（t）∈[τi，τi]。

构造如下形式的依赖于参数的滤波器：

x·f （t）=Af （ρ）xf （t）+Bf （ρ）y（t）

zf （t）=Cf （ρ）xf（t） （2）

xf （0）=0

则滤波器误差系统的状态方程为：

ξ·（t）=A（ρ）ξ（t）+B（ρ）ω（t）

e（t）=C（ρ）ξ（t） （3）

其中：ξ（t）=[xT（t） xTf（t）]T，e（t）=z（t）-zf（t），且：

，，

（4）

为了求取（2）形式的滤波器，要保证有以下两个条件成立：

（a）滤波误差系统（3）渐近稳定;

（b）在零初始条件下，对于所有非零ω∈L∞[0，∞），滤波误差系统（3）具有给定的峰值—峰值扰动抑制水平γ（即‖Teω‖L1<γ，其中Teω是输入ω（t）到输出e（t）映射算子）。定义：

其中：

‖Teω‖L1对应是Teω的最大峰—峰增益。满足以上两个条件的滤波器，被称为鲁棒峰值-峰值滤波器。

2 峰值—峰值性能准则

在这一部分中，笔者将建立鲁棒峰值—峰值性能准则，以保证滤波误差系统渐近稳定地具有峰值—峰值性能约束。

定理1：考虑滤波误差系统（3），给定μ∈R+，对于任意时刻t确定ρ（t），系统渐近稳定且具有峰值—峰值噪声抑制水平的γ的充分条件是，存在正定对称矩阵P（ρ）∈Rn×n满足：

（5）

（6）

证明：针对滤波误差系统（3）选定参数依赖Lyapunov函数：V（t）=ξT（t）P（ρ）ξ（t）

其中，P（ρ）是实对称参数正定矩阵，求V（ξt，ρ）的时间导数：

V·（ξt，ρ）=ξT（t）〔AT（ρ）P（ρ）+P（ρ）A（ρ）+P·（ρ）〕ξ（t）+2ξT（t）P（ρ）BT（ρ）ω（t）=ξT（t）〔AT（ρ）P（ρ）+P（ρ）A（ρ）+ΣS （τi  ）〕ξ（t）+2ξT（t）P（ρ）BT（ρ）ω（t） （7）

选取Ψ（t）=[ξT（t） ωT（t）]T，由（7）可得：

V·（ξt，ρ）=ΨT（t）ΔΨ（t）+μwT（t）w（t）

  =ΨT（t）ⅡΨ（t）+μwT（t）w（t）-μV（ξt，ρ）

其中：

Δ=

Ⅱ= AT（ρ）P（ρ）+P（ρ）A（ρ）+μP（ρ）+ΣS  （τi  ） P（ρ）B（ρ） （8）

不等式（8）等價于不等式（5），则保证Ⅱ<0，这样就可得到：

V·（ξt，ρ）<μwT（t）w（t）-μV（t）                               （9）

对于所有Ψ（t）≠0和ω（t）=0，不等式（9）意味V·（t）<0，因此滤波误差系统（3）是渐近稳定的。

定义℧={ξ：V（ξt，ρ）≤1}，对于滤波误差系统（3）的状态ξ（t），当满足‖ω（t）‖L∞≤1和零初始条件（即V（ξt，ρ）|t=0=0）时，下面在以下两种条件下分别讨论（9）式：

（a）对于V·（ξt，ρ）≥0，根据式（14）容易得出V（ξt，ρ）<ωT（t）ω（t）;

（b）对于V·（ξt，ρ）<0，由于V（ξt，ρ）|t=0=0，得出t>0，V（ξt+，ρ）<V（ξt，ρ）。如果在第一个条件下V（ξt，ρ）小于1，那么在第二个条件下，V（ξt，ρ）不会达到1。根据以上讨论，得出℧是不变集。定义：

f（t）=‖C（ρ）ξ（t）‖22-μξT（t）P（ρ）ξ（t）-（γ-μ）ωT（t）ω（t）

= ξ （t） CT（ρ）C（ρ）-μP（ρ） 0 ξ （t）

= ω（t） 0 -（γ-μ）I ω（t）

根（6）由Schur补引理f（t）<0，进一步得：

‖C（ρ）ξ（t）‖22<γ[μξT（t）P（ρ）ξ（t）+（γ-μ）ωT（t）ω（t）]（10）

由于V（ξt，ρ）≤1意味着ξT（t）P（ρ）ξ（t）<1，对于所有的‖ω（t）‖L∞≤1，根据式（10）得出‖C（ρ）ξ（t）‖22≤γ2ωT（t）ω（t），进一步得到sup‖e（t）‖L∞<γ。定理得证。

注1：当变量μ确定常数时，条件（6）是参数线性矩阵不等式。而式（5）实际为参数ρ（t）的非线性矩阵不等式。另外，根据不等式（5）需要保证：

AT（ρ）P（ρ）+P（ρ）A（ρ）+μP（ρ）+ΣS  （τi  ） <0

则为了保证不等式（5）的正定解存在，α必须位于下面的区间内，即：

0<α<-2max Re（λ（A（ρ））-max Re（τi  ）

因此，峰-峰增益的上确界γ的最小值依赖于μ的选择，为了获得更紧的γ界，需要执行μ的一个线性搜索。

式（5）中含有Lyapunov函数矩阵与系统矩阵之间的耦合，为了解决这个问题，通过引进附加矩阵来达到解耦的目的，从而得到下面的定理2。

3 鲁棒峰值—峰值滤波器的设计

下面根据解耦之后的峰值—峰值性能准则，提出了一种有效的鲁棒滤波器的设计方法。

定理2：考虑LPV系统（1）具有（2）形式的滤波器，给定标量μ，γ∈R+，对于所有的参数变化轨迹，如果存在连续可微的对称正定矩阵P（ρ）∈Rn×n和一般的矩阵：R∈Rn×n，F∈Rn×n，U∈Rn×n以及AF（ρ）∈Rn×n，BF（ρ）∈Rn×m，CF（ρ）∈Rp×n使得不等式（11）和（12）成立。

-R-RT -F-UT Σ13 Σ14 Σ15 RT UT

* -U-UT Σ23 Σ24 Σ25 FT UT

* * Σ33 Σ34 0 0 0

* * * Σ44 0 0 0                               <0（11）

* * * * -μI 0 0

* * * * * -P11（ρ） -P12（ρ）

* * * * * * -P22（ρ）

-μP11（ρ） -μP12（ρ） 0 GT（ρ）

* -μP22（ρ） 0 -CTf （ρ）

* * -（γ-μ）I 0

* * * -γI

其中：

Σ13= -P11（ρ）+RTA（ρ）+Bf （ρ）C（ρ）   Σ23=PT12（ρ）+FTA（ρ）+Bf （ρ）C（ρ）

Σ33= -P11（ρ）+μP11（ρ）+Σsi=1（τi  ） Σ14=P12（ρ）+Af （ρ）

Σ34= -P12（ρ）+μP12（ρ）+Σsi=1（τi  ） Σ24=P22（ρ）+Af （ρ）

Σ44= -P22（ρ）+μP22（ρ）+Σsi=1（τi  ） Σ15=RTB（ρ）+Bf （ρ）D（ρ）

Σ25=FTB（ρ）+Bf （ρ）D（ρ）

若上述的参数线性矩阵不等式（11）和（12）有可行解，则滤波器的参数矩阵可由下式给出：

Af （ρ） Bf （ρ） U -T 0 Af （ρ） Bf （ρ）

Cf （ρ） 0    * I     Cf （ρ） 0

证明：若存在滤波器矩阵Af （ρ），Bf （ρ），Cf （ρ）以及P（ρ）>0满足不等式（6）和（11），为不失一般性，首先对定理2中的V和P（ρ）写成如下的分块形式：

P（ρ）= P11（ρ） P12（ρ） ，V=V1 V2                                             （14）

PT12（ρ） P22（ρ）        V=V3 V4

假设V3和V4可逆，定义矩阵：

J= I    0        （15）

* V -14V3

P（ρ）=J TP（ρ）J= P11（ρ） P12（ρ）                                   （16）

P（ρ）=J TP（ρ）J= PT12（ρ） P12（ρ）

那么J可逆，用diag{J J I J}和diag{J I I}对（11）和（6）式进行全等变换，这样得到的参数矩阵不等式为：

-JT（V+VT）J JT（P（ρ）+VTA（ρ））J JTVTB（ρ） JTVTJ

* JT{-P（ρ）+μP（ρ）+Σsi=1 （τi  ）}J 0   0

*                        * -μI    0

*                        *        * -JTP（ρ）J

-α JTP（ρ）J 0 JTCT（ρ）

*               -（γ-μ）I 0 <0                     （18）

*                 *              -γI

將（4）、（14）和（15）、（16）带入上面两式得到：

JTVJ= V1 V2V4-1V3

V3TV4-TV3   V3TV4-TV3

JTVTA（ρ）J=      V1TA（ρ）+V3TBf （ρ）C（ρ）    V3TAf （ρ）V4-1V3

V3TV4-TV2TA（ρ）+V3TBf （ρ）C（ρ） V3TAf （ρ）V4-1V3

JTVTB（ρ）=       V1TB（ρ）+V3TBf （ρ）D（ρ）

V3TV4-TV2TB（ρ）+V3TBf （ρ）D（ρ）

JTCT（ρ）=            GT（ρ）

-V3TV4-TCfT（ρ）                                          （19）

定义：Af （ρ） Bf （ρ） = V3T 0 Af （ρ） Bf （ρ） V4-1V3 0

Cf （ρ） 0 0 I Cf （ρ） 0 0 I

R=V1，F=V2V4-1V3，U=V3TV4-TV3                                                        （20）

再将式（19）和（20）带入（17）和（18），便可得到式（11）和（12）。

滤波器（13）从y（t）到zf（t）的传递函数表示为Tzfy=Cf （ρ）（s I-Af （ρ））-1Bf （ρ）

将式（20）中的滤波器参数矩阵代入上式，得到：

Tzfy=Cf （ρ）V3-1V4[s I-V3-TAf （ρ）V3-1V4]-1V3-TBf （ρ）

Tzfy=Cf （ρ）[s I-V3-1V4V3-TAf （ρ）]-1V3-1V4V3-TBf （ρ）

所以Cf （ρ）=Cf （ρ），Af （ρ）=U-TAf （ρ），Bf （ρ）=U-TBf （ρ）。

由此得到，满足要求的滤波器（2）的参数矩阵可由（13）式得到。

4 数值算例

考虑形如（1）的LPV系统，已知如下参数矩阵：

A（ρ）=    0 2+0.2ρ1（t）  ，B（ρ）=     0.2ρ1（t）     ，D（ρ）=0.2+0.1ρ1（t）

-3 -4+0.1ρ1（t） 0.1+0.1ρ1（t）

C（ρ）=[0.8+0.2ρ1（t） 0.2-0.1ρ1（t）]，G（ρ）=[-0.2+0.1ρ1（t）

0.3+0.1ρ1（t）]

其中：ρ1（t）=sin（t）和ρ2（t）=|cos（t）|为时变参数，满足ρ1（t）∈[-1，1]，ρ2（t）∈[-1，1]。根据文献中的近似基函数和网格技术，将定理2中（11）和（12）中的无限维线性矩阵不等式，转化为有限维线性矩阵不等式组，选取基函数：

F1（ρ）=1，F2（ρ）=ρ1（t），F3（ρ）=ρ2（t）

于是有：Y（ρ）=Y1+ρ1（t）Y2+ρ2（t）Y3

应用Matlab线性矩阵不等式工具箱，可得L1噪声抑制水平的γ=0.6328，μ=0.3245，以及可求得峰值—峰值滤波器参数：

Af （ρ）= -0.8563 2.3085 + 1.0503 -0.0734 ρ 1（t）+ 0.7526 -0.2612 ρ 2（t）

Af （ρ）= -2.8083 -3.9954 + 0.1606    0.0677 ρ 1（t）+    0.2345 -0.0761

Bf（ρ）= 0.6988 + -1.2181 ρ1（t）+ -0.5960 ρ2（t）

Bf（ρ）= -0.3224   -0.2966 ρ1（t）+ -0.1585

Cf（ρ）=[0.1987 -0.2904]+[-0.0992 -0.0977]ρ1（t）+[-0.0022 0.0002]ρ2（t）

若取外部的擾动为w（t）=e-2t，滤波误差系统的状态如图1所示，所设计的峰值—峰值滤波器满足预定的要求。

5 结语

文章研究了线性参数变化系统的鲁棒峰值—峰值滤波问题。根据参数Lyapunov稳定性理论、投影引理以及通过引入附加矩阵，消除了系统矩阵和参数依赖Lyapunov函数矩阵之间的耦合，推导出此系统解耦的鲁棒峰值—峰值性能准则，进而提出了鲁棒峰值—峰值滤波器存在的充分条件。通过近似基函数和网格技术，将滤波器设计中无限维的问题转化成有限维的凸优化问题。最后，用数值仿真验证所提出方法的可行性。

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