李冬冬， 张成俊,2， 左小艳,2， 张 弛,2， 李红军， 周向阳

(1. 武汉纺织大学 机械工程与自动化学院， 湖北 武汉 430073；2. 武汉纺织大学 湖北省数字化纺织装备重点实验室， 湖北 武汉 430073)

织针驱动是横机中重要的组成部分，在传统凸轮式织针驱动方法上，提出阵列式混合磁悬浮织针电磁驱动方法[1]，消除机械传动所致的震动、发热和噪声等问题。目前，混合磁悬浮驱动方法已经得到了广泛应用，如直线电动机[2]、悬浮列车[3]、悬浮轴承[4]、同步电动机[5]、悬浮球[6]、织针悬浮驱动[7]等，随着该驱动方法应用领域的扩展，混合磁悬浮驱动磁场相关计算也越来越被学者所重视。

Muzhitskii等[8]基于等效磁网络法，推导出磁极尺寸、磁芯长度和极间距离的数学公式，确定了用于无损磁测试磁化的多边形磁体的最佳尺寸； Huang等[9]运用等效荷电法，提出了一种新型的电磁章动齿轮传动方法，设计了新型结构来获得传动装置的啮合特性；王海峰等[10]利用直接耦数值计算法，分析了永磁操动机构的动态特性，表明瞬态电磁场可满足工程设计要求；Salons等[11]运用有限元和边界元法，分析了在求解电磁场时轴对称几何模型的边界条件，阐述了电磁计算时二者相结合的优点。虽然,国内外学者对混合磁悬浮理论进行了大量的研究，也取得了丰硕的成果，但在横机织针电磁耦合驱动的复杂工况下，永磁场空间分布规律的研究还处于起步阶段。

本文通过3个方面对横机混合磁悬浮永磁织针空间磁场分布进行研究。首先，建立永磁织针等效磁路模型，推导空间磁感应强度的计算公式；其次，利用数学分析软件对解析式进行数值求解，并通过磁场有限元软件对2种不同形状的永磁织针进行静磁场仿真；最后，搭建实验平台，对其空间磁场进行测量，通过对比分析数值结果和测量数值，获得永磁织针在空间的磁场分布规律。

1 混合磁悬浮织针驱动结构

混合磁悬浮是由永磁体与电磁铁共同作用，对被悬浮物体施加悬浮力。混合磁悬浮织针驱动由两部分构成：上部分是永磁织针(永磁体与织针为一体式结构)，下部分是通电线圈。通过给线圈通入给定的电流，线圈产生空间磁场，磁极性与永磁织针的极性相反。根据同性相斥原理，永磁织针被磁悬浮在磁场中。在单一式混合磁悬浮的基础上，设计了阵列式悬浮结构，如图1所示。通过改变混合悬浮结构中电磁永磁正对面积及磁积面积，从而改变永磁织针的Z向位移，实现编制三位功[1](集圈、浮线、成圈)。

图1 织针磁驱动结构示意图Fig.1 Diagram of magnetic driving structure for knitting needles

2 永磁织针磁感应强度的数学模型

2.1 圆柱形永磁织针等效模型

不同的铁磁材料沿特定方向上充磁所表现的磁性及磁场分布往往不同。图2示出横机的混合电磁悬浮驱动织针几何和等效环流模型。

图2 圆柱形永磁织针几何和等效环流模型Fig.2 Geometric model (a) and equivalent circulation model (b) of permanent magnet

由图2可知，横机的单一式混合电磁悬浮模型，主要由永磁织针、支撑级片、电磁铁组成；由于织针对数学建模和有限元仿真分析没有影响，依据永磁织针的简化模型，显示当永磁体沿着Z轴正向充磁，磁感线从N极出发指向S极。在永磁材料选定情况下，永磁体外部磁感线的疏密主要与永磁体的几何尺寸有关。

2.2 圆柱形永磁织针磁感应强度数学模型

根据安培环路定理，可把磁场等效成电场，磁路等效成电流，利用磁路中的安培定律，把永磁体等效为Z方向上有n圈电流环，半径方向上也有n圈电流环[12]，电流密度为J。永磁体在空间上一点的磁感应强度解析模型如图3所示。

注：a表示P在XY平面的投影点。图3 空间中一点的磁感应强度等效模型Fig.3 Equivalent model of magnetic induction of point in space

总电流密度为

Jz=∑∑Jm

(1)

式中：Jz为永磁电流环总电流密度，A/m3；Jm为单圈永磁电流环电流密度，A/m3。

则永磁体空间外点P的磁感应强度是由永磁体半径和高度方向上产生的磁场叠加，如式(2)所示。根据电磁场安培环路定律和磁场叠加原理，P点在空间中磁感应强度为：

dB=BX+BY+BZ

(2)

(3)

(4)

(5)

式中：B、BX、BY、BZ分别表示空间磁感应强度和在X、Y、Z方向的磁感应强度，T；I为永磁体面等效电流，A；HC为永磁体的矫顽力，A/m；h为永磁体的高度，mm；z为永磁体Z轴高度值，mm；d为永磁体的直径，mm；l为电流元的长度，mm；μr永磁体的相对磁导率，H/m；μ0为真空磁导率，H/m。

设定P点的Z坐标随永磁体高度方向递增，则公式(4)中的z等于零，将参数代入公式(4)得到：

BZ=1.19h/(h+1.065d+1.065h)

(6)

从式(5)可看出永磁体空间磁感应强度和永磁体的高度与直径有关，且不是线性关系。主要与永磁体的磁化曲线有关。铷磁体的退磁曲线如图4所示。

图4 铷磁体的退磁曲线Fig.4 Demagnetization curve of neodymium magnet

由图4可知，在a～b段，磁感应强度的变化超前于磁场强度，磁感应强度变化较快；在b～c段，磁感应强度还在增加，但增加的幅度明显比a～b段小；在c～d段，磁感应强度变化最慢，基本接近磁饱和。

2.3 长方形永磁织针等效模型

从圆柱形永磁体空间磁场分布模型，类推到长方形永磁体空间磁场分布模型。长方形永磁体的长宽高分别是L、W、H，沿着Z向充磁，假设永磁体达到磁饱和，内部磁场均匀，内部磁感线基本平行，磁感应强度B的绝对值为一定值，如图5(a)所示。根据等效安培环路定律，长方形永磁磁场等效为Z方向上n圈电流环面产出的磁场累加，每个环面的电流密度为J，所以永磁铁在宏观上表现为只有面电流而无体电流。如图5(b)所示，理论情况下，磁势均匀落在磁铁表面，两级的磁感线两两平行。

图5 长方体永磁等效模型Fig.5 Cuboid permanent magnet equivalent model. (a) Ampere stack model;(b) Ideal magnetic field distribution model

(7)

(8)

式中：C()表示P点在空间中收到电流激励元各个方向的激励合值；φ(x,y,z)表示空间中P点在X，Y，Z方向的函数；φ(x),φ(y),φ(z)为φ(x，y，z)在X,Y,Z方向的分量。

(9)

(10)

(11)

式中：I为源电流，A；a、b、c为点P的三维坐标值，mm；r为电流环半径，mm；H表示永磁的厚度，mm。

从式(6)可看出在计算磁感应强度时，要提前确定磁铁的电流密度，对设计永磁铁带来了不便。为了提高理论计算效率，利用计算圆柱形永磁织针磁感应强度，引入X与Y方向的磁阻，为研究方便，现只对Z向磁感应强度进行推导得：

(12)

(13)

式中：x,y,z分别表示电流激励元空间坐标。设定P点在永磁铁内部沿Z方向往永磁外部移动，将P点Z向坐标值，代入公式得：

(14)

将已知参数代入式(12)得到：

(15)

3 永磁织针磁场空间分布规律

3.1 有限元仿真分析

首先建立永磁织针的三维仿真模型，由于织针对空间磁场影响不大，所以只需建立永磁体仿真模型，然后对模型添加材料，将被分析对象分解为多个单元，设定边界条件，通过磁场求解器进行后处理，得到永磁体磁场的磁感应强度和磁矢走向。永磁体的结构参数如表1所示。

织针模型建模后划分单元，选择On Selection-Length Based Refinement剖分设置，在软件中网格的大小影响最后的求解，所以选择大小为3 mm的三角形单元网格。由于圆柱形永磁没有锐角，三角形单元网格分布比较均匀，而长方体的网格呈现两头

表1 2种永磁体的结构参数Tab.1 Structural parameters of two ermanent magnets

密集中间稀疏，符合长方体永磁两边的磁力线分散中间磁力线集中的特性。

通过对2种形状的永磁体进行有限元仿真，得到不同尺寸下，磁感应强度的变化规律，给定永磁体的材料是ND35，充磁方向沿着Z轴正向，空间中磁感应强度数值分布如图6所示。

图6 磁感应强度仿真结果Fig.6 Magnetic induction simulation results. (a) Cylindrical permanent magnets with different aspect ratios; (b) Cuboidal permanent magnets with different aspect ratios

由图6可知，厚径比越大磁感应强度也就越大；当直径不变，磁感应强度随厚度的增加而增大，织针的驱动加速度增加；其中直径为4 mm的圆柱形永磁体在厚度为3～4 mm的区间磁感应强度变化较慢，加速度变化较小，在2～2.5和4～5 mm的厚度变化趋势基本一致，加速度变化率相同；当直径为6 mm时，磁感应强度和加速度变化率先增加后减少。在厚度一定长方形永磁的长宽比系数k越小磁感应强度就越大；当k不变，磁感应强度随厚度的增加而增大，但厚度为3～4 mm时，磁感应强度随k值增大而减小；在4～5 mm的厚度变化趋势基本与k等于2，3一致。

3.2 数值计算

根据式(5)、(13)，利用MatLab中的surf函数，可得到圆柱形和长方形永磁体的磁感应强度随尺寸变化的数值结果分布图，如图7所示。

图7 磁感应强度变化三维云图Fig.7 Three-dimensional cloud image of magnetic induction intensity change. (a) Cylindrical; (b) Cuboidal

由图7可知，永磁体在厚度不变的条件下，磁感应强度随直径的增大而减小，反之，随厚度的增加而变大；长方体永磁体在厚度不变的条件下，磁感应强度随长度的增大而减少，反之，随厚度的增加而变大。

图8示出不同厚径比的圆柱形永磁织针和不同长宽比的长方形永磁织针磁感应强度数值结果。可知，磁感应强度与永磁体的厚度成线性关系，当厚度一定，永磁的磁感应强度随直径的增大而增大；磁感应强度与永磁的长宽比系数k成线性关系，当厚度一定，永磁的磁感应强度随长宽比系数的增大而减少。

图8 磁感应强度数值结果Fig.8 Magnetic induction numerical results. (a) Cylindricalpermanent magnets with different aspect ratios; (b) Cuboidal permanent magnets with different aspect ratios

4 实验验证

为验证永磁织针数学模型的正确性，分别对32组永磁织针进行测量，织针空间磁场采用三轴试验台，CH3600型高精度高斯计，实验结果如图9所示。

图9 磁感应强度实验结果Fig.9 Magnetic induction test results. (a) Cylindrical; (b) Cuboidal

由图9可知，圆柱体永磁的厚径比越大，磁感应强度也就越大，织针的驱动力增加，驱动速度增大，与理论结果相符。在厚度为4～5 mm时，直径为8 mm的永磁体的磁感应强度发生了一点误差，主要是由于生产的永磁结构缺陷和充磁不均所致;在长宽比k一定的条件下，磁感应强度随着厚度的增加而变大；在长宽比为4、厚度为2 mm和长宽比为3、厚度为5 mm的点，磁感应强度的变化与理论结果不同，原因和圆柱体永磁效果相同。

由图8、9可知，长方体永磁织针的实验值和理论值相差明显，数值结果最大值为0.15 T左右，而实验结果最大值在0.25 T上下，增长趋势基本相同，只有个别实验值出现反增长，这主要和测量的设备移动位置不准，永磁缺陷等因素造成的；由于上述原因，需要对长方体永磁体空间磁感应强度解析公式进行修正，这里给出修正系数c等于100。修正后的数值理论结果与仿真结果及实验结果的误差比较如图10所示。

图10 误差值分布Fig.10 Error value distribution. (a) Cylindrical permanent magnet needle;(b) Rectangular permanent magnet needle

由图10可知，在永磁厚度一定时，磁感应强度的理论值和仿真值误差较大，但理论值与实验值误差在25%之内，相差不大。个别永磁由于加工、充磁不均匀和微小破损等原因，导致实验测量不均，误差较大，但大多数的永磁的误差范围比较小，符合计算精度要求。

5 结束语

在安培环流定理和磁场叠加原理的基础上，本文推导出织针横机混合磁悬浮驱动中永磁体在外部空间中磁感应强度的数值表达式。为验证解析式的正确性，通过建立永磁仿真模型进行有限元分析，获得了具体尺寸下永磁体磁感应强度的变化规律；为了验证磁感应强度的变化规律，通过对实物进行实验测量。结果表明，厚径比越大圆柱形永磁织针的空间磁感应强度越大，长方体永磁在等厚的条件下，长宽比越大磁感应强度越小。永磁的磁感应强度的理论值和实验值的误差范围都在25%之内，证明了磁感应强度解析公式对于计算不同形状尺寸的永磁的计算比较符合，为阵列式横机混合磁悬浮驱动理论中永磁体空间磁场理论研究提供参考。