邵云

迎面较远处俯视时盛满水的碗中斜插筷子的虚像长度分析

邵云

（南京晓庄学院 电子工程学院，江苏 南京 211171）

利用已有光学知识计算出迎着筷身方向在较远处（约1 m外）俯视时盛满水的碗中30°斜插入筷子的虚像位置，证明了在较远处观察时筷子的虚像都是直线段；作出此时筷子在不同视角下的虚像图，并证明了21.27°视角下筷子的虚像最短．运用Excel软件计算出筷子虚像的实际长度和它在人眼视觉中的视角长度，指出它们随视角相反的变化规律，并分别应用代数和几何方法证明了前者的最小值就是后者的最大值．同时推得“虚像端点轨迹的切点即为该切线视角下筷子虚像的端点”这一重要结论，并依据该结论给出一种相对准确地手绘出筷子虚像的实用方法．

筷子；虚像；轨迹；视角；长度

图1 迎面较远处俯视观察时盛满水的碗中的筷子及其虚像

图2 侧面较远处俯视观察时盛满水的碗中的筷子及其虚像

1　迎面较远处俯视时碗内水中筷子的虚像方程

图3 来自水下物点S的某一束折射光线成像

2　迎面较远处俯视时筷子虚像的位置及其长度

图4 在较远处迎着筷身俯视时的筷子实物及其在几个视角下的虚像

3　人眼视觉中筷子虚像的长度

图5 筷子虚像的倾角α、视角r、虚像法线与视角方向的夹角β

按照视角长度的定义有

将式（14）代入式（15）即得

表1 不同视角r下筷子虚像的倾角α、长度l和视角长度l'

对比式（17）便知，此时有

5　筷子虚像端点的轨迹与一种实用的手绘筷子虚像的方法

其轨迹见图6．在图6中同时作出筷子实物和它在，视角下的虚像及相关光线，其中已使用了“虚像端点轨迹的切点即为该切线视角下的筷子虚像端点”这一结论．该结论是由来自同一物点的折射光线的非单心性[4]30和单调性（注：从折射定律易推得）所决定的，也即相邻折射光线的反向延长线的近似交点（即虚像点）不可能处在另一条不相邻的折射光线的反向延长线上，更一般地说，来自同一物点的３条不相邻的折射光线不可能共点[7]．根据这一结论，图6中的像点轨迹在起始端（）和末端（）应分别与轴方向和轴方向相切．

这种大致手绘筷子虚像的方法对于日常教学或有帮助．

图7 1 m深处物点P的像点随视角的变化轨迹及典型像点坐标

图8 最短的筷子虚像长度也即最长的视角长度

7　总结与说明

图9 较远处顺着筷身俯视时的筷子实物及其在几个视角下的虚像

[1] 邵云．侧面俯视时盛满水的碗中斜插筷子的虚像位置研究[J]．物理教师，2019，40（2）：78-79

[2] 邵云．盛满水的碗中斜插筷子的虚像位置研究[J]．大学物理，2020，39（6）：18-24，77

[3] 姚启钧．光学教程[M]．4版．北京：高等教育出版社，2008：119，154-156

[4] 邵云，窦瑾．水中物点的虚像位置及其随视角的变化规律研究[J]．大学物理，2018，37（8）：29-30，43

[5] 邵云．物点通过空气与水的界面折射成像的性质及位置特点分析[J]．首都师范大学学报：自然科学版，2020，41（2）：15-19

[6] 杨亮．平面视觉设计中造型的“错视”[J]．今日南国：理论创新版，2008（7）：114，119

[7] 程靖龙．分析立体光路 找准水下物像[J]．物理通报，2018（2）：107-108

[8] 汪志荣，苏银凤．物理教科书光学插图设计问题与对策[J]．物理教师，2019，40（2）：27-32，36

[9] 蔡肖兵．对物理学之几何化发展的哲学思考[J]．哲学研究，2011（3）：86-92

[10] 邵云，窦瑾．简析极坐标系下曲线曲率半径的数学与力学推理方法[J]．大学物理，2020，39（8）：14-17

Analysis of the virtual image length of chopsticks inserted obliquely in a bowl full of water when looking down face-to-face from a distance

SHAO Yun

（School of Electronic Engineering，Nanjing Xiaozhuang College，Nanjing 211171，China）

Based on the existing optical knowledge，calculates the virtual image positions of chopsticks inserted obliquely at 30 degrees in a bowl full of water when looking down face-to-facefrom a distance（about 1 m away），confirms that the virtual image of chopsticks is indeed a straight line segment when observed from relatively far away， draws the virtual images of chopsticks of different angles of view at this time，and proves that the virtual image of chopsticks is the shortest under the angle of view of 21.27 degrees．It was calculated the actual lengths of the virtual images of chopsticks，and their visual angle lengths in human vision by using Excel software，points out their contrary change rules with the angle of view，and proves that the minimum of the former are the maximum of the latter，by using algebraic and geometric methods respectively．At the same time，deduces the important conclusion that the tangent point of the virtual image endpoint track is the endpoint of the virtual image of chopsticks under the tangent direction perspective．Based on this conclusion，a relatively accurate practical method of hand-drawing the virtual images of chopsticks is given．

chopsticks；virtual image；track；angle of view；length

O435.1

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2020.11.011

1007-9831（2020）11-0046-08

2020-07-20

江苏省教育科学“十三五”规划课题（D/2020/01/55）

邵云（1973-），男，江苏镇江人，讲师，从事理论物理研究．E-mail：shaoyun1973@163.com