尹玉琼

(东营职业学院 石油装备与机电工程学院，山东 东营 257091)

低渗油气藏的高效开发得益于水平井多段压裂技术的推广应用[1-4]，而产能评价为水平井多段压裂技术的关键内容[5-7]。水平井多段压裂产能评价由来已久，郎兆新[8]最早采用复变函数方法推导了多裂缝压裂井的产能公式。在此基础上，宁正福[9]采用复势理论，结合缝内径向流动方程，建立了低渗透多裂缝压裂井的产能计算方法。曾凡辉[10]、徐严波[11]等依据格林函数方法，采用平面径向流不稳定流基本解，给出了多裂缝井的产能计算公式。王树平[12]等在保角变换的基础上，推导了考虑裂缝干扰的气藏压裂水平井产能预测模型。Li Yanjie[13]基于平均质量守恒方法，并考虑启动压力梯度，得到多裂缝水平井稳定产量近似公式。李龙龙[14]等区分裂缝无限导流和有限导流两种情况，推导了分段多簇压裂水平井产能计算方程。

综合以上研究，水平井多段压裂产能计算公式均是针对无限大地层的情况，未充分考虑油藏边界形状对产能计算的影响。在国内外低渗等油气藏的开发中，条带状地层尤为常见[15]。有必要研究条带状地层多段压裂的产能计算方程。为此，本文依据复变函数理论，推导了带形地层复势函数，并考虑有限导流裂缝内流动摩阻，建立了带形地层多段压裂的产能计算模型，并采用Matlab语言编写计算程序，对条带状地层多段压裂的影响因素进行了敏感性分析。

1 模型及计算方法

1.1 物理模型

如图1为带形油藏多段压裂示意图。水平井水平段沿油藏x轴方向延伸，裂缝高度为h，油藏厚度为H，裂缝面垂直于水平井筒。假设油藏渗透率、孔隙度等物性参数均质各向同性，流动过程为等温过程，流体粘度等性质不发生改变，裂缝内流体流动为层流型态。

图1 带形地层多段压裂示意图

1.2 基本解的推导

考虑带形地层单条裂缝的复势基本解，考虑到问题的对称性，只考虑裂缝上半平面。把具有割痕0≤y≤h/2，x=xi的带形0≤y≤H/2映射到带形0

(1)

式中，xi为i裂缝的横坐标，m；z '为点(x,y)的复数表示。

将这个具有割痕的带形映射到去掉了单位圆周上一段弧的上半平面。再通过映射

(2)

把这段圆弧变换成虚轴上一段线段。然后利用

(3)

将(2)变换后区域映射到上半平面。最后再通过分式映射和对数映射，即

(4)

将该区域映射到带形0

综合以上各步映射，最终得到变换形式为

(5)

式中，q为汇强度，m2/s。

由此得到复势为

(6)

因此，势函数为

(7)

式中，c.c为复常数。

1.3 多裂缝产量计算方法

根据带形地层势函数，将各裂缝产生的势函数叠加即为地层流体流动产生的总势场。

(8)

考虑裂缝有限导流，则裂缝内流体压力与井底压力的关系为

(9)

式中：μ为流体粘度，mPa·s；w为裂缝宽度，mm；Kf为裂缝渗透率，mD；rw为井筒半径，m。

(10a)

(10b)

式中，i=1,2,….,Nf，K为基质渗透率，mD。

联立(10a)和(10b)，共Nf+1个方程，Nf+1未知数，因此构成封闭线性方程组，可采用高斯列主元消去法直接求解。

2 实例计算分析

油藏参数及裂缝/井的参数如表1所示。

表1 模型参数表

采用表1所述参数，压裂20条等间距横向缝，计算得到每条的缝的产量如图2所示。结果表明，裂缝产量呈U型对称分布，两端裂缝产量高，中间裂缝产量低。中间裂缝产能很小，两端裂缝是产量的主要贡献部分。

水平井的入流剖面为U型分布，均匀布置裂缝后，入流剖面仍是U型分布，因此均匀分布裂缝并没有改变入流剖面。为得到更好地压裂效果，压裂缝的分段布置应尽可能让每段裂缝都有贡献，即尽力发挥每条裂缝的作用。接下来，对水平井段长度、渗透率、导流能力等因素进行敏感性分析。

图2 每个裂缝的产量图

2.1 水平段长度

图3为不同长度水平段产量与裂缝数量关系图。相同裂缝数量的水平井，水平段越长，产量越大。对于水平段长为300～500 m的水平井，最好压裂3～5条裂缝，多余5条缝后增产效果不明显；对于水平段长500～1000 m的水平井，压裂缝在10条以上时，增产幅度较小。

图3 不同长度水平段(300～1000 m)的产量与裂缝数量关系图

2.2 油藏渗透率

图4为不同渗透率的压裂井产量与裂缝数量关系图。油藏渗透率越大，压裂增产效果越好。渗透率在0.05 mD以下时，压裂增产效果不明显。对于某个渗透率的油藏，裂缝数存在最优值，超过最优数，增产效果不明显。

图4 不同渗透率的压裂井产量与裂缝数量关系图

2.3 导流能力

图5为不同导流能力裂缝的压裂井产量与裂缝数量关系图。导流能力从1 D·cm到10 D·cm时，增产幅度明显；在10 D·cm以上时，增产幅度很小。即，导流能力大约在10 D·cm就能达到很好的增产效果，而不用追求过高的导流能力。

图5 不同导流能力裂缝的压裂井产量与裂缝数量关系图

3 结论

(1)通过共形映射原理推导了带形地层裂缝势函数，并考虑缝内流动摩阻，建立了带形地层多段压裂的产能计算模型。

(2)水平段均匀布置压裂缝不能改变水平井的入流剖面。

(3)裂缝数量、水平段长度、渗透率和导流能力等因素对压裂水平井产能的影响均是先增大后平稳的形式。压裂缝数量可以根据水平段长度而定，水平段越长，压裂缝应越多。